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1、第七讲机器人动力学本讲稿第一页，共七十八页第四章第四章 机器人动力学机器人动力学2023/4/122023/4/12动力学研究的问题动力学研究的问题：机器人各个关节的运动与关节需要的机器人各个关节的运动与关节需要的驱动力（矩）之间的关系。驱动力（矩）之间的关系。正问题正问题：已知关节运动，求：已知关节运动，求 关节驱动力（矩）。关节驱动力（矩）。逆问题逆问题：已知关节驱动力（矩），：已知关节驱动力（矩），求关节运动。求关节运动。本讲稿第二页，共七十八页数学模型数学模型：关节运动关节运动位移、速度、加速度变化位移、速度、加速度变化 关节驱动力（矩）关节驱动力（矩）驱动力或驱动力矩驱动力或驱动力矩

2、i动力学方程动力学方程：，i=1，n正问题正问题：已知：已知 ，求，求i。逆问题逆问题：已知：已知i ，求，求 。第四章第四章 机器人动力学机器人动力学2023/4/122023/4/12本讲稿第三页，共七十八页4.1 4.1 动力学模型动力学模型1 1、力学分析、力学分析2 2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法3 3、动力学模型、动力学模型2023/4/122023/4/12本讲稿第四页，共七十八页4.1 4.1 动力学模型动力学模型1 1、力学分析、力学分析2023/4/122023/4/12（1 1）静力学分析）静力学分析 机器人各个关节处于静止状态。机器人各个关节处于静止状态。当负载为一

3、重物时：当负载为一重物时：关节承受的力和力矩：关节承受的力和力矩：关节需要的驱动力（矩）：关节需要的驱动力（矩）：mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2l2l1m1=mg(l1+l2)1=02=mgl23=mg本讲稿第五页，共七十八页4.1 4.1 动力学模型动力学模型1 1、力学分析、力学分析2023/4/122023/4/12（1 1）静力学分析）静力学分析 机器人各个关节处于静止状态。机器人各个关节处于静止状态。考虑杆件自重时：考虑杆件自重时：关节承受的力和力矩：关节承受的力和力矩：关节需要的驱动力（矩）：关节需要的驱动力（矩）：mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2

4、l2l1m1=mg(l1+l2)1=02=mgl23=mgm3gm2gm1g本讲稿第六页，共七十八页4.1 4.1 动力学模型动力学模型1 1、力学分析、力学分析2023/4/122023/4/12（2 2）动力学分析）动力学分析 机器人各个关节处于运动状态。机器人各个关节处于运动状态。当负载为一重物时：当负载为一重物时：关节承受的力和力矩：关节承受的力和力矩：关节需要的驱动力（矩）：关节需要的驱动力（矩）：f3f2f1m2l2l1m1123m3本讲稿第七页，共七十八页4.1 4.1 动力学模型动力学模型2 2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2023/4/122023/4/12拉格朗日方程的一

5、般形式为：拉格朗日方程的一般形式为：式中，式中，广义力，它可以是力，也可以是力矩；广义力，它可以是力，也可以是力矩；系统选定的广义坐标；系统选定的广义坐标；广义坐标对时间的一阶导数，即速度；广义坐标对时间的一阶导数，即速度；拉格朗日函数，又称为拉格朗日算子，它被定义拉格朗日函数，又称为拉格朗日算子，它被定义为系统的动能与势能之差为系统的动能与势能之差L=T-U。本讲稿第八页，共七十八页4.1 4.1 动力学模型动力学模型2 2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2023/4/122023/4/12 对给定的机器人，可以按以下几个步骤建立拉对给定的机器人，可以按以下几个步骤建立拉格朗日动力学方程：格

6、朗日动力学方程：（1 1）选取完全并独立的广义坐标；）选取完全并独立的广义坐标；（2 2）选定广义力；）选定广义力；（3 3）求出系统的动能）求出系统的动能T T和势能和势能U U，并用其构造拉格，并用其构造拉格朗日函数朗日函数L L=T T-U U；（4 4）将以上结果代入拉格朗日方程式中，即可求）将以上结果代入拉格朗日方程式中，即可求得机器人的动力学方程。得机器人的动力学方程。本讲稿第九页，共七十八页4.1 4.1 动力学模型动力学模型2 2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2023/4/122023/4/12例：例：已知二关节机器人如图所示，机器人的两个已知二关节机器人如图所示，机器人的两

7、个连杆长度分别为连杆长度分别为l1和和l2，质量分别为，质量分别为m1和和m2，且集，且集中在各连杆的端部。若将机器人直接悬挂在加速中在各连杆的端部。若将机器人直接悬挂在加速度为度为g的重力场中，试用拉格朗日方程建立该机器的重力场中，试用拉格朗日方程建立该机器人的动力学方程。人的动力学方程。解：解：选取连杆绕关节的转角选取连杆绕关节的转角为变量为变量1和和2，则系统的广义，则系统的广义坐标就可以选为坐标就可以选为 ，即，即 转动关节对应的是力矩，转动关节对应的是力矩，所以广义力就选为所以广义力就选为 ，即即 。12m1m2xy关节关节1 1关节关节2 2本讲稿第十页，共七十八页4.1 4.1

8、动力学模型动力学模型2 2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2023/4/122023/4/12求出各连杆的动能和势能：求出各连杆的动能和势能：连杆连杆l1的动能为：的动能为：连杆连杆l1的势能为：的势能为：对连杆对连杆l2求动能和势能时，要先写出其质心在直求动能和势能时，要先写出其质心在直角坐标系中的位置表达式：角坐标系中的位置表达式：然后求微分，则其速度就为：然后求微分，则其速度就为：由此可得连杆的速度平方值为：由此可得连杆的速度平方值为：本讲稿第十一页，共七十八页4.1 4.1 动力学模型动力学模型2 2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2023/4/122023/4/12求出各连杆的动能和

9、势能：求出各连杆的动能和势能：从而连杆从而连杆l2的动能为：的动能为：势能为：势能为：则可构造出拉格朗日函数为：则可构造出拉格朗日函数为：本讲稿第十二页，共七十八页4.1 4.1 动力学模型动力学模型2 2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2023/4/122023/4/12求出机器人动力学方程：求出机器人动力学方程：先将拉格朗日函数对先将拉格朗日函数对 和和 进行微分，即：进行微分，即：本讲稿第十三页，共七十八页4.1 4.1 动力学模型动力学模型2 2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2023/4/122023/4/12求出机器人动力学方程：求出机器人动力学方程：再将拉格朗日函数对再将拉格朗日

10、函数对 和和 进行微分，即：进行微分，即：本讲稿第十四页，共七十八页4.1 4.1 动力学模型动力学模型2 2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法2023/4/122023/4/12求出机器人动力学方程：求出机器人动力学方程：将以上结果代入方程即可得关节上的力矩分别为：将以上结果代入方程即可得关节上的力矩分别为：本讲稿第十五页，共七十八页4.1 4.1 动力学模型动力学模型3 3、动力学模型、动力学模型2023/4/122023/4/12将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：当机器人有当机器人有n个关节时，上式可推广为普遍形式：个关节时，上式可推广为普遍形

11、式：本讲稿第十六页，共七十八页4.1 4.1 动力学模型动力学模型3 3、动力学模型、动力学模型2023/4/122023/4/12将上式进一步简化为如下所示的矩阵形式：将上式进一步简化为如下所示的矩阵形式：上式也称为机器人的动力学模型。上式也称为机器人的动力学模型。式中：式中：是机器人动力学模型中的惯性力项，是机器人动力学模型中的惯性力项，表示机器人操作机的质量矩阵，它是表示机器人操作机的质量矩阵，它是nn阶的对称阶的对称矩阵，。矩阵，。是是n1阶矩阵，表示机器人动力学模型中非线性阶矩阵，表示机器人动力学模型中非线性的耦合力项，包括离心力（自耦力）和哥氏力（互耦力）的耦合力项，包括离心力（自

12、耦力）和哥氏力（互耦力）。也是也是n1阶矩阵，表示机器人动力学模型中的重力项。阶矩阵，表示机器人动力学模型中的重力项。本讲稿第十七页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2023/4/122023/4/121 1、牛顿、牛顿欧拉方程欧拉方程2 2、递推计算公式、递推计算公式3 3、递推算法应用、递推算法应用本讲稿第十八页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2023/4/122023/4/12牛顿牛顿欧拉方程原理欧拉方程原理：将机器人的每个杆件看成刚体，并：将机器人的每个杆件看成刚体，并确定每个杆件质心的位置和表征其质量分布的惯性张量矩阵。确定每个杆件质心的

13、位置和表征其质量分布的惯性张量矩阵。当确定机器人坐标系后，根据机器人关节速度和加速度，则可当确定机器人坐标系后，根据机器人关节速度和加速度，则可先由机器人机座开始向手部杆件先由机器人机座开始向手部杆件正向递推正向递推出每个杆件在自身出每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度，再用牛顿坐标系中的速度和加速度，再用牛顿欧拉方程得到机器欧拉方程得到机器人每个杆件上的惯性力和惯性力矩，然后再由机器人末端关人每个杆件上的惯性力和惯性力矩，然后再由机器人末端关节开始向第一个关节节开始向第一个关节反向递推反向递推出机器人每个关节上承受的出机器人每个关节上承受的力和力矩，最终得到机器人每个关节所需要的驱动力（矩）

14、，力和力矩，最终得到机器人每个关节所需要的驱动力（矩），这样就确定了机器人关节的驱动力（矩）与关节位移、速度这样就确定了机器人关节的驱动力（矩）与关节位移、速度和加速度之间的函数关系，即建立了机器人的动力学方程。和加速度之间的函数关系，即建立了机器人的动力学方程。本讲稿第十九页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2023/4/122023/4/12牛顿牛顿欧拉方程递推过程欧拉方程递推过程：正向递推正向递推：已知机器人各个关节的速度和加速度：已知机器人各个关节的速度和加速度从从1n递推递推出机器人每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度出机器人每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度

15、机器机器人每个杆件质心上的速度和加速度人每个杆件质心上的速度和加速度再用牛顿再用牛顿欧拉欧拉方程得到机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。方程得到机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。反向递推反向递推：根据正向递推的结果：根据正向递推的结果从从n1递推出机器人每递推出机器人每个关节上承受的力和力矩个关节上承受的力和力矩得到机器人每个关节所需要的驱得到机器人每个关节所需要的驱动力（矩）。动力（矩）。本讲稿第二十页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2023/4/122023/4/121 1、牛顿、牛顿欧拉方程欧拉方程（1 1）牛顿方程）牛顿方程惯性力惯性力 矢量。矢量。质

16、心上的线加速度。质心上的线加速度。本讲稿第二十一页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2023/4/122023/4/121 1、牛顿、牛顿欧拉方程欧拉方程（2 2）欧拉方程）欧拉方程惯性力矩惯性力矩 矢量。矢量。质心上的惯性张量矩阵。质心上的惯性张量矩阵。本讲稿第二十二页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2023/4/122023/4/121 1、牛顿、牛顿欧拉方程欧拉方程（2 2）欧拉方程）欧拉方程惯性力矩惯性力矩惯性张量矩阵：惯性张量矩阵：a.a.坐标系：与杆件坐标系同向，位于杆件质心上。坐标系：与杆件坐标系同向，位于杆件质心上。b.b.元素名称

17、：元素名称：Icxx，Icyy，Iczz惯性矩；惯性矩；Icxy=Icyx,Icyz=Iczy,Iczx=Icxz惯性积。惯性积。本讲稿第二十三页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2023/4/122023/4/121 1、牛顿、牛顿欧拉方程欧拉方程（2 2）欧拉方程）欧拉方程惯性力矩惯性力矩惯性张量矩阵：惯性张量矩阵：理论计算方法：理论计算方法：实验测试法：实验测试法：惯量摆仪器。惯量摆仪器。本讲稿第二十四页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2023/4/122023/4/122 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：已知机器

18、人各个关节的速度和加速度：已知机器人各个关节的速度和加速度：从从1n递推出机器人每个杆件在自身坐标系中的速度和递推出机器人每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度；加速度；机器人每个杆件质心上的速度和加速度；机器人每个杆件质心上的速度和加速度；机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。本讲稿第二十五页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2023/4/122023/4/122 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：以第一种杆件坐标系为例以第一种杆件坐标系为例杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式建立相邻

19、两个杆件的坐标系：建立相邻两个杆件的坐标系：i-1i-1、i i。Oiii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZi本讲稿第二十六页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式已知：已知：i i关节速度和加速度关节速度和加速度 i-1 i-1杆件速度和加速度杆件速度和加速度计算：计算：i i杆件速度和杆件速度和 加速度加速度2023/4/122023/4/12ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi本讲稿第二十七页，共七十八页4.2 4.2

20、牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式分析：分析：I I、坐标系、坐标系:相邻杆件位姿矩阵相邻杆件位姿矩阵IIII、关节速度和加速度、关节速度和加速度 的矢量化：的矢量化：2023/4/122023/4/12ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi本讲稿第二十八页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式2023/4/122023/4/1

21、2ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi本讲稿第二十九页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式2023/4/122023/4/12ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi本讲稿第三十页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式2023/4/122023/4/12关节关节iii-1Xi-1Z i

22、-1Oi-1XiZiOi本讲稿第三十一页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件质心上的速度和加速度杆件质心上的速度和加速度2023/4/122023/4/12iXiZiOi本讲稿第三十二页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件质心上的惯性力和惯性力矩杆件质心上的惯性力和惯性力矩惯性力惯性力：惯性力矩惯性力矩：2023/4/122023/4/12iXiZiOi本讲稿第三十三页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方

23、程法2023/4/122023/4/122 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：以第二种杆件坐标系为例以第二种杆件坐标系为例杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式建立相邻两个杆件的坐标系：建立相邻两个杆件的坐标系：i-1i-1、i i。ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi本讲稿第三十四页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式已知：已知：i i关节速度和加速度关节速度和加速度 i-1 i-1杆件速度

24、和加速度杆件速度和加速度计算：计算：i i杆件速度和加速度杆件速度和加速度2023/4/122023/4/12ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi本讲稿第三十五页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式分析：分析：I I、坐标系、坐标系:相邻杆件位姿矩阵相邻杆件位姿矩阵IIII、关节速度和加速度、关节速度和加速度 的矢量化：的矢量化：2023/4/122023/4/12ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi本讲稿第三十六页

25、，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式2023/4/122023/4/12ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi本讲稿第三十七页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件速度和加速度递推计算公式杆件速度和加速度递推计算公式2023/4/122023/4/12ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi本讲稿第三十八页，共七十八页4.2 4.2 牛顿

26、牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件质心上的速度和加速度杆件质心上的速度和加速度2023/4/122023/4/12iXiZiOi本讲稿第三十九页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（1 1）正向递推）正向递推：杆件质心上的惯性力和惯性力矩杆件质心上的惯性力和惯性力矩惯性力惯性力：惯性力矩惯性力矩：2023/4/122023/4/12iXiZiOi本讲稿第四十页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2023/4/122023/4/122 2、递推计算公式、递推计算公式

27、（2 2）反向递推）反向递推：已知机器人各个杆件的惯性力和惯性力矩：已知机器人各个杆件的惯性力和惯性力矩：从从n1递推出机器人每个关节承受的力和力矩；递推出机器人每个关节承受的力和力矩；机器人每个关节的驱动力或驱动力矩。机器人每个关节的驱动力或驱动力矩。本讲稿第四十一页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2023/4/122023/4/122 2、递推计算公式、递推计算公式（2 2）反向递推）反向递推：以第二种杆件坐标系为例以第二种杆件坐标系为例关节承受的力和力矩关节承受的力和力矩 递推计算公式递推计算公式 建立相邻两个杆件的建立相邻两个杆件的坐标系：坐标系：i-1i-1、

28、iiii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi本讲稿第四十二页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（2 2）反向递推）反向递推：关节承受的力和力矩关节承受的力和力矩 递推计算公式递推计算公式已知：已知：i-1i-1杆件的惯性力杆件的惯性力 和惯性力矩和惯性力矩 i i关节承受的力和力矩关节承受的力和力矩计算：计算：i-1i-1关节承受的力和关节承受的力和 力矩力矩2023/4/122023/4/12ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi本讲稿第四十三页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2

29、 2、递推计算公式、递推计算公式（2 2）反向递推）反向递推：关节承受的力和力矩关节承受的力和力矩 递推计算公式递推计算公式分析：分析：I I、坐标系、坐标系:相邻杆件位姿矩阵相邻杆件位姿矩阵IIII、i-1i-1杆件受力分析：杆件受力分析：2023/4/122023/4/12ii-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1XiZiOi本讲稿第四十四页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（2 2）反向递推）反向递推：关节承受的力和力矩关节承受的力和力矩 递推计算公式递推计算公式以以i-1i-1杆件为研究对象，杆件为研究对象，由达朗贝尔原理可得：

30、由达朗贝尔原理可得：2023/4/122023/4/12i-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1Oi本讲稿第四十五页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（2 2）反向递推）反向递推：关节承受的力和力矩关节承受的力和力矩 递推计算公式递推计算公式以以i-1i-1杆件为研究对象，杆件为研究对象，由达朗贝尔原理可得：由达朗贝尔原理可得：2023/4/122023/4/12i-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1Oi本讲稿第四十六页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法2 2、递推计算公式、递推计算公式（2 2）反向递推）反向

31、递推：关节驱动力（矩）关节驱动力（矩）平移关节：平移关节：回转关节：回转关节：则关节驱动力（矩）为：则关节驱动力（矩）为：2023/4/122023/4/12i-1关节关节iXi-1Z i-1Oi-1本讲稿第四十七页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用（1 1）递推初始条件）递推初始条件正向递推正向递推机座机座0 0的速度和加速度：的速度和加速度：*考虑杆件自重或手部负载为重物时：考虑杆件自重或手部负载为重物时：为描述在机座坐标系为描述在机座坐标系00中的标准重力加速度。中的标准重力加速度。2023/4/122023/4/12gx0z0o0

32、本讲稿第四十八页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用（1 1）递推初始条件）递推初始条件反向递推反向递推机器人手部负载：机器人手部负载：2023/4/122023/4/12本讲稿第四十九页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用（2 2）递推应用条件）递推应用条件已知机器人的关节变量已知机器人的关节变量 及其速度及其速度 和加速度和加速度 ；已知任一杆件已知任一杆件i i相对于与自身坐标系相对于与自身坐标系ii方向相同的坐标系方向相同的坐标系CCi i 所描述的惯性张量所描述的惯性张量 及其

33、质心在自身坐标系及其质心在自身坐标系ii中的位中的位置矢量置矢量 （可用实验等方法确定）；（可用实验等方法确定）；已知相邻杆件的位姿矩阵及必要的初始数据。已知相邻杆件的位姿矩阵及必要的初始数据。2023/4/122023/4/12本讲稿第五十页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用（2 2）递推应用条件）递推应用条件第二种坐标系下递推算法第二种坐标系下递推算法正向递推正向递推:2023/4/122023/4/12本讲稿第五十一页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用（2 2）递推应用条件）递

34、推应用条件第二种坐标系下递推算法第二种坐标系下递推算法反向递推反向递推:2023/4/122023/4/12本讲稿第五十二页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用例：已知二自由度机器人如图例：已知二自由度机器人如图所示，机器人两个杆件的长度所示，机器人两个杆件的长度分别为分别为 和和 ，且其质量，且其质量 和和 都集中在杆件的端头。若用第都集中在杆件的端头。若用第二种方法建立机器人的坐标系，二种方法建立机器人的坐标系，当机器人各个关节的位移当机器人各个关节的位移 、速度、速度 和加速度和加速度 已知已知时，试用牛顿时，试用牛顿欧拉递推算欧拉递

35、推算法计算各关节的驱动力矩。法计算各关节的驱动力矩。2023/4/122023/4/1212m1m2xy关节关节1 1关节关节2 2本讲稿第五十三页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：建立坐标系如图所示。相解：建立坐标系如图所示。相邻杆件的位姿矩阵为：邻杆件的位姿矩阵为：2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2本讲稿第五十四页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(1)(1)正向递推正向递推已知关节速度和加速度分别为已

36、知关节速度和加速度分别为 ，由于考虑杆件的重量，所以机，由于考虑杆件的重量，所以机座的运动参数（初始条件）设为：座的运动参数（初始条件）设为：2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第五十五页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(1)(1)正向递推正向递推2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第五十六页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解

37、：(1)(1)正向递推正向递推2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第五十七页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(1)(1)正向递推正向递推2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第五十八页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(1)(1)正向递推正向递推2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2

38、2x1x2y1y2g本讲稿第五十九页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(1)(1)正向递推正向递推2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第六十页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(1)(1)正向递推正向递推2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第六十一页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、

39、递推算法应用解：解：(1)(1)正向递推正向递推2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第六十二页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(1)(1)正向递推正向递推2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第六十三页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(1)(1)正向递推正向递推2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节

40、1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第六十四页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(1)(1)正向递推正向递推2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第六十五页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(1)(1)正向递推正向递推2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第六十六页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3

41、 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(1)(1)正向递推正向递推2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第六十七页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(2)(2)反向递推反向递推 由于机器人手部无负载，所由于机器人手部无负载，所以初始条件为：以初始条件为：2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第六十八页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解

42、：解：(2)(2)反向递推反向递推关节关节2 2受的力和力矩：受的力和力矩：2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第六十九页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(2)(2)反向递推反向递推关节关节2 2受的力和力矩：受的力和力矩：2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第七十页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(2)(2)反向递推反向

43、递推关节关节2 2的驱动力矩：的驱动力矩：2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第七十一页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(2)(2)反向递推反向递推关节关节1 1受的力和力矩：受的力和力矩：2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第七十二页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(2)(2)反向递推反向递推关节关节1 1受的力和力矩：

44、受的力和力矩：2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第七十三页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(2)(2)反向递推反向递推关节关节1 1受的力和力矩：受的力和力矩：2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第七十四页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(2)(2)反向递推反向递推关节关节1 1的驱动力矩：的驱动力矩：2023/4/12

45、2023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第七十五页，共七十八页4.2 4.2 牛顿牛顿欧拉方程法欧拉方程法3 3、递推算法应用、递推算法应用解：解：(2)(2)反向递推反向递推关节关节1 1和和2 2的驱动力矩为：的驱动力矩为：2023/4/122023/4/1212m1m2x0y0关节关节1 1关节关节2 2x1x2y1y2g本讲稿第七十六页，共七十八页习习 题题1.1.机器人动力学解决什么问题？什么是动力学正问题和机器人动力学解决什么问题？什么是动力学正问题和逆问题？逆问题？2.2.写出动力学模型，并简述各项的含义写出动力学模型，并简述各项

46、的含义?3.3.什么是牛顿方程？什么是欧拉方程？有何作用？什么是牛顿方程？什么是欧拉方程？有何作用？4.4.什么是惯性张量矩阵？如何计算？什么是惯性张量矩阵？如何计算？5.5.正向递推的作用是什么正向递推的作用是什么?分哪几步实现？分哪几步实现？6.6.反向递推的作用是什么反向递推的作用是什么?分哪几步实现？分哪几步实现？7.7.正向递推和反向递推的初始条件各是什么？当考虑杆正向递推和反向递推的初始条件各是什么？当考虑杆件自重或手部负载为重物时，初始条件有何变化？件自重或手部负载为重物时，初始条件有何变化？2023/4/122023/4/12本讲稿第七十七页，共七十八页习习 题题2023/4/122023/4/12400400m本讲稿第七十八页，共七十八页