晶体的对称性.ppt

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1、 晶体的对称性晶体的对称性重点：重点：1）基本的对称操作；）基本的对称操作；2）宏观对称类型；宏观对称类型；3）微观对称类型；）微观对称类型；1.对称的概念对称的概念 对对称称就就是是物物体体相相同同部部分分有有规规律律的的重重复复。此此外外，对对称称的的图图形形还还必必须须符符合合另另一一个个条条件件，那那就就是是这这些些相相同同的的部部分分，通通过过一一定定的的对对称称操操作作(如如旋旋转转、反反映映、镜镜面面)可可以以发发生生重重复复；换换句句话话说说也也就就是是相相同同的的部部分分通通过过一一定定的的操操作作彼彼此此可可以以重重合合起起来来，使使图图形形恢恢复复原原来来的的形形象。象。

2、对对称称操操作作是是指指凭凭借借对对称称要要素素能能够够使使对对称称物物体体中中的的各各个个相相同同部部分分，作作有有规规律律重重复复的的变变换换动动作作。而而对对称称要要素素则则是是指指在在进进行行对对称称操操作作时时所凭借的几何要素所凭借的几何要素点、线、面等。点、线、面等。2.晶体对称性的判定晶体对称性的判定 由于晶体的自限性，使得晶体内部的原子的规则排列反映由于晶体的自限性，使得晶体内部的原子的规则排列反映在晶体的宏观形态上，晶体表现出对称性。在晶体的宏观形态上，晶体表现出对称性。对于外表具有很多晶面的晶体，往往不能直接判别它的对对于外表具有很多晶面的晶体，往往不能直接判别它的对称特征

3、，必须经过称特征，必须经过测角测角和和投影投影以后，才可对它的对称规律进行以后，才可对它的对称规律进行分析研究。通过对大量晶体进行测角和投影，归纳成分析研究。通过对大量晶体进行测角和投影，归纳成32种典型种典型的的宏观对称类型宏观对称类型。由于在由于在宏观对称类型宏观对称类型，全部对称要素相交于，全部对称要素相交于一点一点(晶体中心晶体中心)，在进行对称操作时至少有一点不移动，因此，在进行对称操作时至少有一点不移动，因此称之为点群。称之为点群。该点群中的对称操作中不包括该点群中的对称操作中不包括平移平移。而若对称操作中包括平移，。而若对称操作中包括平移，共构成了共构成了230中微观的对称类型中

4、微观的对称类型。所有以上的对称类型都源于以。所有以上的对称类型都源于以下基本对称操作的组合。下基本对称操作的组合。3.基本的对称操作1）简单对称操作的变换关系（a）线性变换线性变换：和和刚刚体体一一样样，晶晶格格中中任任何何两两点点间间的的距距离离，在在操操作作前前后后应应保保持持不不变变，在在数数学学上上表表示示，这这些些操操作作就就是是熟熟知知的的线线性性交交换换。注注意意：在在讨讨论论晶晶体体问问题题时时，一一般般应应采采用用斜斜坐坐标标系系，但但为为方方便便起起见见，这这里里采采用直角坐标系，并不会影响结论的正确性。用直角坐标系，并不会影响结论的正确性。设经过某个操作，把晶体中任一点设

5、经过某个操作，把晶体中任一点x变为变为x，该操作可以表该操作可以表示为线性变换：示为线性变换：xj=ajixi，（i，j=1，2，3）式中 x=ix1+jx2+kx3 x=ix1+jx2+kx3若采用矩阵表示若采用矩阵表示：x=Ax其中其中x=x=A=x1x3x2（x1,x2,x3)（x1,x2,x3)由于操作前后，两点间的距离保持不变，即由于操作前后，两点间的距离保持不变，即而而所以所以其中其中I是单位矩阵，所以得出是单位矩阵，所以得出A为正交矩阵为正交矩阵。如令如令 代表矩阵代表矩阵A的行列式，则得到的行列式，则得到又又所以所以（b）转动转动x1x3x2（x1,x2,x3)（x1,x2,x

6、3)将将某某一一图图形形绕绕x1转转过过角角，该该图图形形中中任任一一点点（x1,x2,x3)变变为为另另一一点点（x1,x2,x3)，则变换关系如下：，则变换关系如下：x1=x1x2=x3=则正交变换则正交变换正交矩阵正交矩阵A为为（c）中心反演中心反演 取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点（x1,x2,x3)变变为另一点（为另一点（-x1,-x2,-x3)，则变换关系如下，则变换关系如下x1=-x1，x2=-x2，x3=-x3则正交变换则正交变换正交矩阵正交矩阵A为为（d）镜像镜像x1x3x2（x1,x2,x3)（x1,x2,-x3)镜像对称

7、操作是将图形的任一点镜像对称操作是将图形的任一点（x1,x2,x3)变为另一点（变为另一点（x1,x2,-x3)，即以，即以x3=0面作为镜面。面作为镜面。则变换关系如下：则变换关系如下：x1=x1，x2=x2，x3=-x3则正交变换则正交变换正交矩阵正交矩阵A为为2）基本的对称操作（a）n度旋转对称轴度旋转对称轴 如果晶体绕某一对称轴旋转如果晶体绕某一对称轴旋转=2/n以后自身能重合，则称以后自身能重合，则称该轴为该轴为n度旋转对称轴。由于晶格周期性的限制，晶体可能的转度旋转对称轴。由于晶格周期性的限制，晶体可能的转动讨论如下。动讨论如下。由于晶格的对称操作并不涉及到由于晶格的对称操作并不涉

8、及到晶格的平移，在操作时应至少保晶格的平移，在操作时应至少保持一点不同，所以采用双转轴来持一点不同，所以采用双转轴来推导晶体的旋转对称轴，存在一推导晶体的旋转对称轴，存在一定的局限性，应采用单转轴推导定的局限性，应采用单转轴推导方法。方法。A1 1ABB1 1 如图如图A、O、B 是某一晶列上相邻的三个格点，周期为是某一晶列上相邻的三个格点，周期为a。如果。如果绕过绕过O 点垂直于晶列的转轴顺时针转点垂直于晶列的转轴顺时针转角，角，A转到转到A1，晶体自身晶体自身重合，则重合，则A1点必为一格点。再绕过点必为一格点。再绕过O 点的转轴逆时针转点的转轴逆时针转角，角，晶体恢复到未转动时的状态，但

9、此时晶体恢复到未转动时的状态，但此时B处格点转到处格点转到B1点，则点，则B1处必为一格点。可以知道处必为一格点。可以知道AB/A1B1，平行晶列具有相同的周期，平行晶列具有相同的周期，则则其中其中n为正整数或零为正整数或零n=2，|cos|=1，=，2；n=1，|cos|=1/2，=/3，2/3，4 /3，5 /3；n=0，|cos|=0，=/2，3/2OBAA1B1晶体中允许的旋转对称轴只能是晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。度轴。综合上述证明得：综合上述证明得：12346因为顺时（或逆时）针转动因为顺时（或逆时）针转动4 /3，3/2，5 /3分别等价于分别等价于逆时（

10、或顺时）针转动逆时（或顺时）针转动2 /3，/2，/3，所以晶格转动的所以晶格转动的独立转角为独立转角为：2，2/3，/2，/3；晶体中不存在5度或6度以上的转轴。上上述述结结果果也也可可以以直直观观的的理理解解为为：长长方方形形、正正三三边边形形、正正方方形形、正正六六边边形形可可以以在在平平面面内内周周期期性性的的重重复复排排列列，而而不不留留空空隙隙，但但正正五五边边形形却却不不能能相相互互紧紧密密排排列列做做重重复复排排列列而而不不留留空空隙隙，因因此此晶晶体中不存在体中不存在5度的转轴。度的转轴。对 称 轴的度数n2346符号对称轴度数的符号表对称轴度数的符号表晶体中对称轴的度数常用

11、不同的符号代表，如下表所示晶体中对称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示（b）n度旋转度旋转-反演轴反演轴若绕某一固定轴若绕某一固定轴u旋转旋转2/n角度以后，再经过中心反演（即角度以后，再经过中心反演（即x-x，y -y，z -z），），晶体能够自身重合，则称晶体能够自身重合，则称u为为n度旋转度旋转-反演反演轴。轴。这样的对称轴只有这样的对称轴只有1，2，3，4，6度。为了区别于转轴，在轴的度。为了区别于转轴，在轴的度次上加度次上加“-”来表示旋转来表示旋转-反演轴。即反演轴。即 。12121234566=3+m12345661234ABDCEFGH正四面体既无四度轴也无对称心，正四面体

12、既无四度轴也无对称心，是基本的对称操作。是基本的对称操作。总上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种的基本对称操作，即总上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种的基本对称操作，即1，2，3，4，6，i，m，。所有点对称操作都可由这所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。一种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个个晶体的全部对称操作构成一个群群，每个操作都是群的一个元素。，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋由旋转、中心反演、镜象和旋转转-反演点对称操作构成的群，反演点对称操作构成的群，全部对称要素相交

13、于一点全部对称要素相交于一点(晶体晶体中心中心)，在进行对称操作时至少有一点不移动，在进行对称操作时至少有一点不移动，称之为称之为点群点群。理论证明，所有晶体只有理论证明，所有晶体只有3232种点群，即只有种点群，即只有32种不同的点对种不同的点对称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。如果考虑平移，如果考虑平移，多出以下两类微观对称操作类型多出以下两类微观对称操作类型：n度螺度螺旋轴和滑移反映面。旋轴和滑移反映面。根据晶体的对称性

14、，按有无某种特征对称元素为标准，将晶体分根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为标准，将晶体分成成7个晶系：个晶系：立方晶系：在立方晶胞立方晶系：在立方晶胞4个方向体对角线上均有三重旋转轴个方向体对角线上均有三重旋转轴(a=b=c,=90)六方晶系：有六方晶系：有1个六重对称轴个六重对称轴(a=b,=90;,=120;)四方晶系：有四方晶系：有1个四重对称轴个四重对称轴(a=b,=90;)三方晶系：有三方晶系：有1个三重对称轴个三重对称轴(a=b,=90;,=120;)正交晶系：有正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对个互相垂直的对称面称面(=90;)单斜晶系：有单斜晶系：有1个二重对称轴或对称面个二重对称轴或对称面(=90;)三斜晶系：没有特征对称元素三斜晶系：没有特征对称元素