第7章圆轴扭转.ppt

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1、第第7章圆轴扭转章圆轴扭转7.1扭扭转转的概念和外力偶矩的的概念和外力偶矩的计计算算7.2扭矩和扭矩扭矩和扭矩图图7.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件7.4圆轴圆轴扭扭转时转时的的变变形及形及刚刚度条件度条件小小结结 7.1扭扭转转的概念和外力偶矩的的概念和外力偶矩的计计算算7.1.1扭扭转转的概念的概念 机机械械中中的的轴轴类类零零件件往往往往承承受受扭扭转转作作用用如如汽汽车车传传动动轴轴图图7-1(a)7-1(a)，左左端端受受发发动动机机的的主主动动力力偶偶作作用用，右右端端受受传传动动齿齿轮轮的的阻阻抗抗力力偶偶作作用用，于于是是轴轴就就产产生生了了扭扭转转变变

2、形形图图7-1(b)7-1(b)是是汽汽车车传传动动轴轴的的计计算算简简图图此此外外，带带传传动动轴轴、齿齿轮轮传传动动轴轴及及丝丝锥锥、钻钻头头、螺螺钉钉旋旋具具等等，工工作作时时均均受受到到扭扭转转作用作用 从从以以上上实实例例可可以以看看出出，杆杆件件产产生生扭扭转转变变形形的的受受力力特特点点是是:在在垂垂直直于于杆杆件件轴轴线线的的平平面面内内，作作用用着着一一对对大大小小相相等等、方方向向相相反反的的力力偶偶图图7-7-1(b)1(b)杆杆件件的的变变形形特特点点是是:各各横横截截面面绕绕轴轴线线发发生生相相对对转转动动(图图7-27-2)杆杆件件的的这这种种变变形称形称为为扭扭转

3、变转变形形 工工程程中中把把以以扭扭转转变变形形为为主主要要变变形形的的杆杆件件称称为为轴轴，工工程程中中大大多多数数轴轴在在传传动动中中除除有有扭扭转转变变形形外外，还还伴伴随随有有其其他他形形式式的的变变形形本本章章只只研研究究等等截截面面圆轴圆轴的扭的扭转问题转问题。上一页上一页 下一页下一页 返回返回1 7.1扭扭转转的概念和外力偶矩的的概念和外力偶矩的计计算算7.1.2外力偶矩的外力偶矩的计计算算 为为了了求求出出圆圆轴轴扭扭转转时时截截面面上上的的内内力力，必必须须先先计计算算出出轴轴上上的的外外力力偶偶矩矩在在工工程程计计算算中中，作作用用在在轴轴上上的的外外力力偶偶矩矩的的大大

4、小小往往往往是是不不直直接接给给出出的的，通通常常是是给给出出轴轴所所传传递递的的功功率率和和轴轴的的转转速速。第第4 4章章已已述述功功率率、转转速速和和力力偶矩之偶矩之间间存在如下关系存在如下关系 式式中中，M为为外外力力偶偶矩矩，Nm;P为为轴轴传传递递的的功功率率，kW;n为为轴轴的的转转速，速，r/min 上一页上一页 下一页下一页 返回返回2 7.1扭扭转转的概念和外力偶矩的的概念和外力偶矩的计计算算 应应当当注注意意，在在确确定定外外力力偶偶矩矩M的的转转向向时时，凡凡输输入入功功率率的的主主动动外外力力偶偶矩矩的的转转向向与与轴轴的的转转向向一一致致;凡凡输输出出功功率率的的从

5、从动动力力偶偶矩矩的的转转向向与与轴轴的的转转向相反向相反 上一页上一页 返回返回37.2扭矩和扭矩扭矩和扭矩图图7.2.1扭矩扭矩 圆圆轴轴在在外外力力偶偶矩矩作作用用下下发发生生扭扭转转变变形形时时，其其横横截截面面上上将将产产生生内内力力求求内内力力的的方方法法仍仍用用截截面面法法如如图图7-3(a)7-3(a)所所T T受受扭扭转转圆圆轴轴为为例例，假假想想地地将将圆圆轴轴沿沿任任一一横横截截面面1-11-1切切开开，并并取取左左段段作作为为研研究究对对象象图图7-3(b)7-3(b)由由于于整整个个轴轴是是平平衡衡的的，所所以以左左段段也也处处于于平平衡衡状状态态轴轴上上已已知知的的

6、外外力力偶偶矩矩为为M M，因因为为力力偶偶只只能能与与力力偶偶来来平平衡衡，显显然然截截面面1-1上上分分布布的的内内力力必必构构成成力力偶偶，内内力力偶偶矩矩以以符符号号T表表示示，方方向向如如图图7-37-3所所示示，其其大大小小可可由由左左段段的的平平衡衡条件乏条件乏 求得。求得。上一页上一页 下一页下一页 返回返回47.2扭矩和扭矩扭矩和扭矩图图 由此可由此可见见，杆件扭，杆件扭转时转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶内的力偶，其力偶矩矩T称称为为截面截面1-1上的扭矩上的扭矩 扭矩的扭矩的单单位与外力偶矩的位与外力偶矩的单单位

7、相同，常用的位相同，常用的单单位位为为牛米牛米(Nm)，或用千牛米或用千牛米(kNm)表示表示 如取截面的右如取截面的右侧为侧为研究研究对对象象图图7-3(c)7-3(c)，也可得到同，也可得到同样样的的结结果取果取截面左截面左侧侧与取截面右与取截面右侧为侧为研究研究对对象所求得的扭矩，象所求得的扭矩，应应数数值值相等而相等而转转向向相反，因相反，因为为它它们们是作用与反作用的关系是作用与反作用的关系为为了使从两段杆上求得的同一了使从两段杆上求得的同一截面上的扭矩的符号相同，扭矩的正截面上的扭矩的符号相同，扭矩的正负负号用右手螺旋法号用右手螺旋法则则判定判定:将扭矩将扭矩看作矢量，右手的四指弯

8、曲方向表示扭矩的看作矢量，右手的四指弯曲方向表示扭矩的转转向，大拇指表示扭矩矢向，大拇指表示扭矩矢量的指向若扭矩矢量的方向离开截面，量的指向若扭矩矢量的方向离开截面，则则扭矩扭矩为为正正图图7-4(a),(b);7-4(a),(b);反之，若扭矩矢量的方向指的截面，反之，若扭矩矢量的方向指的截面，则则扭矩扭矩为负为负图图7-4(c),(d);7-4(c),(d);这这样样，同一截面左右两，同一截面左右两侧侧的扭的扭转转，矛但数，矛但数值值相等，而且符号相同。相等，而且符号相同。上一页上一页 下一页下一页 返回返回57.2扭矩和扭矩扭矩和扭矩图图 7.2.2扭矩扭矩图图 通常，扭通常，扭转圆轴转

9、圆轴各截面上的扭矩是不同的，扭矩各截面上的扭矩是不同的，扭矩T T是截面的位置是截面的位置x x函数即函数即 以与以与轴线轴线平行的平行的x x轴轴表不横截面的位置，以垂直于表不横截面的位置，以垂直于x x轴轴的的T T轴轴表示表示扭矩，扭矩，则则由函数由函数T=T(x)绘绘制的曲制的曲线线称称为为扭矩扭矩图图 例例7.17.1图图7-5(a)7-5(a)所示所示为为一一齿轮轴齿轮轴已知已知:轴轴的的转转速速n=300 r/min，主，主动齿轮动齿轮A输输入功率入功率PA=50 kW，从，从动齿轮动齿轮B和和C输输出功率分出功率分别为别为PB=30 kW,PC=20 kW试计试计算算1-1,2

10、-2截面上的扭矩，并画出主截面上的扭矩，并画出主轴轴ABC的扭矩的扭矩图图 上一页上一页 下一页下一页 返回返回67.2扭矩和扭矩扭矩和扭矩图图 解解:(1):(1)计计算外力偶矩算外力偶矩.由式由式(7.1)(7.1)得得 主动力偶矩主动力偶矩MA的方向与轴的转向一致同理可得的方向与轴的转向一致同理可得 从动力偶矩从动力偶矩MB和和MC的方向与轴的转向相反的方向与轴的转向相反 (2)(2)计算扭矩将轴分为计算扭矩将轴分为AB,BC两段，逐段计算扭矩对两段，逐段计算扭矩对AB段，设段，设轮几和轮轮几和轮B之间的截面之间的截面1-1上的扭矩上的扭矩T1为正号为正号图图7-5(b)7-5(b)，则

11、根据平衡，则根据平衡条件有条件有 上一页上一页 下一页下一页 返回返回77.2扭矩和扭矩扭矩和扭矩图图 对对BC段段，设轮设轮B和和轮轮C之之间间的截面的截面2-2上的扭矩上的扭矩T2为为正号正号图图7-5(c)7-5(c)，则则根据平衡条件有根据平衡条件有 (3)(3)画扭矩画扭矩图图根据以上根据以上计计算算结结果，按比例画出扭矩果，按比例画出扭矩图图图图7-5(d)7-5(d)由由图图可以看出，在集中力偶作用可以看出，在集中力偶作用处处，扭矩，扭矩值发值发生突生突变变，其突，其突变值变值等于等于该该集中外力偶矩的大小最大扭矩集中外力偶矩的大小最大扭矩发发生在生在AB段内，其段内，其值值Tm

12、ax=1592Nm 从本例中可以从本例中可以归纳归纳出截面法求扭矩的方法如下出截面法求扭矩的方法如下 (1)(1)假假设设某截面上的扭矩均某截面上的扭矩均为为正号，正号，则该则该截面上的扭矩等于截面一截面上的扭矩等于截面一侧侧(左或右左或右)轴轴上的所有外力偶矩的代数和上的所有外力偶矩的代数和 上一页上一页 下一页下一页 返回返回87.2扭矩和扭矩扭矩和扭矩图图 (2)(2)计计算扭矩算扭矩时时外力偶矩正外力偶矩正负负号的号的规规定是定是:使右手拇指与截面外法使右手拇指与截面外法线线方向一致，若外力偶矩的方向一致，若外力偶矩的转转向与其他四指的向与其他四指的转转向相同，向相同，则则取取负负号号

13、;反之反之取正号取正号这样这样，正的外力偶矩，正的外力偶矩产产生正的扭矩，生正的扭矩，负负的外力偶矩的外力偶矩产产生生负负扭矩扭矩当外力偶矩的代数和当外力偶矩的代数和为为正正时时，截面上的扭矩，截面上的扭矩为为正正;反之反之为负为负。应应用上述方法直接求某截面上的扭矩非常用上述方法直接求某截面上的扭矩非常简简便便现现仍以仍以图图7-5(a)7-5(a)为为例，将各截面的扭矩例，将各截面的扭矩计计算如下算如下 上一页上一页 返回返回97.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件7.3.1圆轴圆轴扭扭转时转时横截面上的横截面上的应应力力 为为了求得了求得圆轴圆轴扭扭转时转时横截面上的

14、横截面上的应应力，必力，必须须了解了解应应力在截面上的力在截面上的分布分布规规律律为为此，首先此，首先进进行扭行扭转变转变形的形的实验观实验观察，作察，作为为分析分析问题问题的依据的依据取取图图7-6(a)7-6(a)所示所示圆轴圆轴，实验实验前，先在它的表面上划若十垂直于前，先在它的表面上划若十垂直于轴线轴线的的圆圆周周线线和平行于和平行于轴线轴线的的纵纵向向线实验时线实验时，在，在圆轴圆轴两端加力偶矩两端加力偶矩为为M的的外力偶，外力偶，圆轴圆轴即即发发生扭生扭转变转变形形图图7-6(b)7-6(b)在在变变形微小的情况下，可以形微小的情况下，可以观观察到如下察到如下现现象象 (1)(1)

15、两条两条纵纵向向线倾线倾斜了相同的角度，原来斜了相同的角度，原来轴轴表面上的小方格表面上的小方格变变成了歪成了歪斜的平行四斜的平行四边边形形 (2)(2)轴轴的直径、两的直径、两圆圆周周线线的形状和它的形状和它们们之之间间的距离均保持不的距离均保持不变变 上一页上一页 下一页下一页 返回返回107.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件 根据根据观观察到的察到的这这些些现现象，可推断，象，可推断，圆轴圆轴扭扭转转前的各个横截面在扭前的各个横截面在扭转转后仍后仍为为互相平行的平面，只是相互相平行的平面，只是相对对地地转过转过了一个角度了一个角度这这就是扭就是扭转时转时的平面假的平

16、面假设设 根据平面假根据平面假设设，可得两点，可得两点结论结论 (1)(1)圆轴圆轴横截面横截面变变形前形前为为平面，平面，变变形后仍形后仍为为平面，其大小和形状不平面，其大小和形状不变变，由此，由此导导出横截面上沿半径方向无切出横截面上沿半径方向无切应应力力;又由于相又由于相邻邻截面的截面的间间距不距不变变，所以横截面上没有正，所以横截面上没有正应应力力 (2)(2)由于相由于相邻邻截面相截面相对对地地转过转过了一个角度，即横截面了一个角度，即横截面间发间发生了旋生了旋转转式的相式的相对错动对错动，纵纵向向线倾线倾斜了同一角度斜了同一角度 ，出，出现现了切了切应变应变，故横截面，故横截面上必

17、然有垂直半径方向的切上必然有垂直半径方向的切应应力存在力存在 上一页上一页 下一页下一页 返回返回117.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件 为为了求得切了求得切应应力在横截面上的分布力在横截面上的分布规规律，我律，我们们从从轴轴中取出微段中取出微段dxdx来研究来研究(图图7-77-7)圆轴圆轴扭扭转转后，微段的右截面相后，微段的右截面相对对于左截面于左截面转过转过一个微小角度一个微小角度 ，半径，半径O2B转转到到O2B1，半径，半径为为 的内的内层圆层圆柱上的柱上的纵线纵线EF倾倾斜到斜到EF1，倾倾斜角斜角 为为，此，此倾倾斜角斜角 即即为为一切一切应变应变在在弹弹

18、性范性范围围内剪内剪应变应变 是很是很小的，由小的，由图图7-77-7中的几何关系有中的几何关系有 即即 上一页上一页 下一页下一页 返回返回127.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件 由于由于 对对同一横截面上的各点同一横截面上的各点为为一常数，故一常数，故(7.2)(7.2)式表明式表明:横横截面上任一点的切截面上任一点的切应变应变 与与该该点到点到圆圆心的距离心的距离 成正比成正比这这就是就是圆轴圆轴扭扭转时转时的的变变形形规规律律 根据剪切胡克定律，横截面上距根据剪切胡克定律，横截面上距圆圆心心为为 处处的切的切应应力力 ,与与该处该处的剪的剪应变应变 成正比，即成

19、正比，即 将式将式(7.2)(7.2)代入上式，得代入上式，得 上一页上一页 下一页下一页 返回返回137.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件 上式上式说说明明:横截面上任一点横截面上任一点处处的切的切应应力的大小，与力的大小，与该该点到点到圆圆心的心的距离距离 成正比也就是成正比也就是说说，在截面的，在截面的圆圆心心处处切切应应力力为为零，在周零，在周边边上切上切应应力最大力最大显显然，在所有与然，在所有与圆圆心等距离的点心等距离的点处处，切，切应应力均相等力均相等实实心心圆轴圆轴和和空心空心圆轴圆轴横截面上的切横截面上的切应应力分布力分布规规律如律如图图7-87-8所示

20、，切所示，切应应力的方向与力的方向与半径垂直半径垂直 式式(7.3)(7.3)虽虽然表明了切然表明了切应应力的分布力的分布规规律，但其中律，但其中 尚未知，所尚未知，所以必以必须须利用静力平衡条件建立利用静力平衡条件建立应应力与内力的关系，才能求出切力与内力的关系，才能求出切应应力力 在横截面上离在横截面上离圆圆心心为为 的点的点处处，取微面，取微面积积dA(图图7-97-9)微面微面积积上的上的内力系的合力是内力系的合力是 ，它，它对圆对圆心的力矩等于心的力矩等于 ,整个截面上整个截面上这这些些力矩的力矩的总总和等于横截面上的扭矩示和等于横截面上的扭矩示.即即 上一页上一页 下一页下一页 返

21、回返回147.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件 式中式中:A:A为为整个横截面的面整个横截面的面积积将式将式(7.3)(7.3)代入上式，得代入上式，得 因因G G，均均为为常量，故上式可写成常量，故上式可写成 式中，式中，积积分分 与横截面的几何形状、尺寸有关，它表示截面与横截面的几何形状、尺寸有关，它表示截面的一种几何性的一种几何性质质，称，称为为横截面的极横截面的极惯惯性矩，用性矩，用I Ip表示，即表示，即 上一页上一页 下一页下一页 返回返回157.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件 其量其量纲纲是是长长度的四次方，度的四次方，单单位位为为m

22、m4或或m4.于是，于是，(7.4)(7.4)式可写成式可写成 或或 将将(7.5)(7.5)式代入式代入(7.2)(7.2)式，即得横截面上距式，即得横截面上距圆圆心心为为 处处的切的切应应力力计计算算公式公式为为 对对于确定的于确定的轴轴T,I,Ip都是定都是定值值。因而最大切。因而最大切应应力必在截面周力必在截面周边边各点各点上，即上，即 =R时时 ，故，故 上一页上一页 下一页下一页 返回返回167.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件 若令若令 则则式式(7.6)(7.6)可写成如下形式可写成如下形式 Wp称称为为抗扭截面系数，其抗扭截面系数，其单单位位为为mm3或

23、或m3 必必须须指出，由指出，由实验证实验证明，平面假明，平面假设设只只对圆对圆截面直杆才是正确的，截面直杆才是正确的，所以公式所以公式(7.6)(7.6)和和(7.7)(7.7)只适用于等直只适用于等直圆圆杆另外，在杆另外，在导导出公式出公式时时，应应用了用了剪切胡克定律，所以只有在剪切胡克定律，所以只有在 不超不超过过材料的剪切比例极限材料的剪切比例极限时时，上述，上述公式才适用公式才适用上一页上一页 下一页下一页 返回返回177.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件 7.3.2圆圆截面极截面极惯惯性矩性矩IP及扭及扭转转截面系数截面系数WP的的计计算算 1.实实心心圆圆

24、截面截面 对实对实心心圆圆截面，可取半径截面，可取半径为为 宽宽度度为为 的的圆环圆环形微面形微面积积(图图7-7-1010)，如，如，则实则实心心圆圆截面的极截面的极惯惯性矩性矩I Ip p为为 上一页上一页 下一页下一页 返回返回187.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件 实实心心圆圆截面的抗扭截面系数截面的抗扭截面系数Wp为为 2.2.空心空心圆圆截面截面 对对空心空心圆圆截面截面(图图7-117-11)其其惯惯性矩性矩I Ip可以采用和可以采用和实实心心圆圆截面相同截面相同的方法求出的方法求出 如令如令d/D=a，则则上式可写成上式可写成 上一页上一页 下一页下一页

25、 返回返回197.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件 圆环圆环形截面的抗扭截面系数形截面的抗扭截面系数Wp为为 例例7.27.2一一轴轴AB传递传递的功率的功率P=7.5 kW，转转速速n=360 r/min轴轴的的AC段段为实为实心心圆圆截面，截面，CB段段为为空心空心圆圆截面，如截面，如图图7-127-12所示已知所示已知D=30 mm，d=20 mm。试计试计算算AC段横截面段横截面边缘处边缘处的切的切应应力以及力以及CB段段横截面上横截面上外外边缘边缘和内和内边缘边缘上的切上的切应应力力 解解:(1):(1)计计算扭矩由式算扭矩由式(7.1)(7.1)可求得可求得轴

26、轴上的外力偶矩上的外力偶矩为为 上一页上一页 下一页下一页 返回返回207.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件 由由计计算扭矩的算扭矩的规规律可律可知知AC段和段和CB段的段的扭矩均扭矩均为为 (2)(2)计计算极算极惯惯性矩性矩 (3)(3)计计算切算切应应力力AC段段轴轴横截面横截面边缘处边缘处的切的切应应力力为为 上一页上一页 下一页下一页 返回返回217.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件 CB段段轴轴横截面内外横截面内外边缘处边缘处的切的切应应力分力分别为别为 上一页上一页 下一页下一页 返回返回227.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强

27、强度条件度条件 7.3.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的强强度条件度条件 为为保保证圆轴证圆轴正常工作，正常工作，应应使危使危险险截面上最大工作切截面上最大工作切应应力力 不超不超过过材料的材料的许许用切用切应应力由此得出力由此得出圆轴圆轴扭扭转转的的强强度条件度条件 扭扭转转强强度条件也可用来解决度条件也可用来解决强强度校核、度校核、选择选择截面尺寸及确定截面尺寸及确定许许可可载载荷等三荷等三类计类计算算问题问题 例例7.37.3图图7-17-1所示汽所示汽车传动轴车传动轴AB由无由无缝钢缝钢管制成，已知管制成，已知传递传递的最的最大扭矩大扭矩M=2.5 kNm，外径，外径D=100 mm，内径，

28、内径d=94 mm，材料的，材料的许许用用应应力力=60 MPa(1)(1)试试校核校核该轴该轴的的强强度度;(2);(2)若改用相同材料的若改用相同材料的实实心心轴轴，并和原并和原传动轴传动轴强强度相同，度相同，试计试计算其直算其直径径D1;(3);(3)空心空心轴轴和和实实心心轴轴所用材所用材料的料的质质量之比量之比 解解:(1):(1)校核校核轴轴的的强强度度 上一页上一页 下一页下一页 返回返回237.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件 扭矩扭矩T为为 抗扭截面系数抗扭截面系数Wp为为 最大切应力为最大切应力为 上述数据表明，传动轴上述数据表明，传动轴AB的强度足够

29、的强度足够 上一页上一页 下一页下一页 返回返回247.3圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力与力与强强度条件度条件 (2)(2)改改为实为实心心轴轴，当材料和扭矩相同，当材料和扭矩相同时时，要使它，要使它们们的的强强度相同，度相同，即使抗扭截面系数即使抗扭截面系数Wp相等，即相等，即:0.2D3=43 850 mm3，故故实实心心轴轴的直的直径径为为 (3)(3)当两者的材料及当两者的材料及长长度相等度相等时时，空心，空心轴轴与与实实心心轴轴所用的材料所用的材料质质量比即量比即为为它它们们的横截面面的横截面面积积之比，即之比，即 上一页上一页 下一页下一页 返回返回257.3圆轴圆轴扭扭转时转时的

30、的应应力与力与强强度条件度条件 即空心即空心轴轴的的质质量量仅为实仅为实心心轴轴的的32.3%32.3%由此可由此可见见，在条件相同的情况下，采用空心，在条件相同的情况下，采用空心轴轴可以可以节节省大量材料，省大量材料，减减轻轻自重，提高承自重，提高承载载能力因此在机床、汽能力因此在机床、汽车车、飞飞机中的机中的轴类轴类零件大多零件大多采用空心采用空心轴轴。上一页上一页 返回返回267.4圆轴圆轴扭扭转时转时的的变变形及形及刚刚度条件度条件7.4.1圆轴圆轴扭扭转时转时的的变变形形 如前所述，如前所述，轴轴的扭的扭转变转变形用横截面形用横截面问绕轴线问绕轴线的相的相对转对转角即扭角即扭转转角角

31、甲来表示由式甲来表示由式(7.5)(7.5)可知，相可知，相距距dx的的两截面两截面间间的扭的扭转转角角为为 所以，所以，对对于相距于相距l l的两横截面的两横截面间间的扭的扭转转角角则为则为 式式(7.10)(7.10)就是等直就是等直圆轴圆轴相相对转对转角的角的计计算公式相算公式相对转对转角角 的的单单位是位是弧度弧度(rad)，其，其转转向向则则与扭矩的与扭矩的转转向相同，所以扭向相同，所以扭转转角的正角的正负负 上一页上一页 下一页下一页 返回返回277.4圆轴圆轴扭扭转时转时的的变变形及形及刚刚度条件度条件 随扭矩的正随扭矩的正负负而定而定对对于于阶阶梯状梯状圆轴圆轴以及扭矩分段以及

32、扭矩分段变变化的等截面化的等截面圆轴圆轴，须须分段分段计计算相算相对转对转角，然后求代数和角，然后求代数和 由式由式(7.10)(7.10)可以看出，可以看出，当当T和和L一定的情况下，一定的情况下，GI Ip越大，越大，则则扭扭转转角角 越小，越小，说说明明圆轴圆轴的的刚刚度越大故称度越大故称GI Ip为为截面的抗扭截面的抗扭刚刚度，它反映了度，它反映了材料和横截面的几何因素材料和横截面的几何因素对对扭扭转变转变形的抵抗能力形的抵抗能力 上一页上一页 下一页下一页 返回返回287.4圆轴圆轴扭扭转时转时的的变变形及形及刚刚度条件度条件 7.4.2圆轴圆轴扭扭转时转时的的刚刚度条件度条件 圆轴

33、圆轴扭扭转时转时，不，不仅仅要要满满足足强强度条件，度条件，还应还应有足有足够够的的刚刚度，否度，否则则将将会影响机械的会影响机械的传动传动性能和加工所要求的精度工程上通常是限制性能和加工所要求的精度工程上通常是限制单单位位长长度上的度上的转转角角 ，使它不超，使它不超过规过规定的定的许许可可转转角角 。于是，建立于是，建立圆轴圆轴扭扭转转的的刚刚度条件度条件为为 式中，式中，的的单单位位为为rad/m 工程工程实际实际中，中，许许用用转转角角 的的单单位位为为度度/米米(/m)，考，考虑单虑单位的位的换换算，算，则则得得 上一页上一页 下一页下一页 返回返回297.4圆轴圆轴扭扭转时转时的的

34、变变形及形及刚刚度条件度条件 单单位位长长度的度的许许可可转转角角 的数的数值值，根据，根据对对机器的精度、工作条件等来确机器的精度、工作条件等来确定，可定，可查阅查阅有关工程手册。有关工程手册。例例7.47.4阶阶梯梯轴轴如如图图7-13(a)7-13(a)所示，已知所示，已知:M1=5 kNm,M2=3.2 kNm,M3=1.8 kNm;AB=200 mm，BC=250 mm,=80 rad，=50 rad，G=80 GPa,=,=1.5/m (1)(1)求求C截面相截面相对对于于A截面的扭截面的扭转转角角 (2)(2)校核校核该轴该轴的的刚刚度。度。解解:(1):(1)画扭矩画扭矩图图按

35、按计计算扭矩的算扭矩的规规律算得各段的扭矩律算得各段的扭矩为为 根据上述根据上述结结果即可画出扭矩果即可画出扭矩图图如如图图7-13(b)7-13(b)所示所示 (2)(2)求求C截面相截面相对对于于A截面的扭截面的扭转转角角上一页上一页 下一页下一页 返回返回307.4圆轴圆轴扭扭转时转时的的变变形及形及刚刚度条件度条件由已知条件得由已知条件得所以所以 (3)(3)校核校核轴轴的的刚刚度度 上一页上一页 下一页下一页 返回返回317.4圆轴圆轴扭扭转时转时的的变变形及形及刚刚度条件度条件 所以所以该轴该轴的的刚刚度不度不够够 例例7.57.5等截面等截面传动轴传动轴如如图图7-14(a)7-

36、14(a)所所T T已知已知M1=4.5 kNm,M2=9 kNm,M3=3 kNm,M4=1.5 kNm，材料的切，材料的切变变模量模量G=80 GPa，许许用用切切应应力力 =8 =80MPa,许许用用转转角角 =0.3/m,试设计轴试设计轴的直径的直径.解解:(1):(1)画扭矩画扭矩图图 计计算各截面扭矩得算各截面扭矩得TAB=M1=4.5 kNm,TBC=M1-M2=-4.5 kNm，扭扭矩矩图图如如图图7-14(b)7-14(b)所所T T由扭矩由扭矩图图可知，可知，Tmax=4.5kNm发发生在生在AB段和段和BC段段 (2)(2)按按强强度条件度条件设计轴设计轴的直径由剪切的直

37、径由剪切强强度条件度条件 及及 得得 上一页上一页 下一页下一页 返回返回327.4圆轴圆轴扭扭转时转时的的变变形及形及刚刚度条件度条件 (3)(3)按按刚刚度条件度条件设计轴设计轴的直径由的直径由刚刚度条件度条件 及及 得得 经经上上述述强强度度计计算算和和刚刚度度计计算算结结果果可可知知，该该轴轴之之直直径径应应由由刚刚度度条条件件确定，确定，现选现选用用d=105mm。上一页上一页 返回返回33小小结结 (1)(1)圆圆轴轴扭扭转转时时，轴轴上上所所受受的的载载荷荷是是作作用用面面垂垂直直于于轴轴线线的的力力偶偶用用截截面面法法和和平平衡衡条条件件可可以以求求出出内内力力扭扭矩矩T扭扭转

38、转圆圆轴轴横横截截面面上上只只有有切切应应力力，其其方方向向垂垂直直于于半半径径;其其大大小小与与到到截截面面圆圆心心的的距距离离成成正正比比，在在圆圆心心处处为为零零，边缘处边缘处最大，呈最大，呈线线性分布最大切性分布最大切应应力力计计算公式算公式 (2)(2)Wp是是圆圆轴轴横横截截面面的的抗抗扭扭截截面面系系数数，它它是是度度量量轴轴抵抵抗抗扭扭转转破破坏坏能能力的一个几何量力的一个几何量 对实对实心心圆圆截面截面 对对空心空心圆圆截面截面 上一页上一页 下一页下一页 返回返回34小小结结 (3)(3)圆轴圆轴扭扭转转强强度条件是度条件是 利利用用强强度度条条件件可可以以解解决决强强度度

39、校校核核、确确定定截截面面尺尺寸寸和和许许用用载载荷荷等等三三类类强强度度计计算算问题问题 (4)(4)等截面等截面圆轴圆轴扭扭转时转时的的变变形形计计算公式算公式为为 等截面等截面圆轴圆轴扭扭转转的的刚刚度条件是度条件是 (5)(5)运用运用强强度条件和度条件和刚刚度条件解决度条件解决实际问题实际问题的步的步骤骤 计计算算轴轴上外力偶矩上外力偶矩;计计算内力算内力(扭矩扭矩)，并画出扭矩，并画出扭矩图图;上一页上一页 下一页下一页 返回返回35小小结结 分分析析危危险险截截面面，即即根根据据各各段段的的扭扭矩矩与与抗抗扭扭截截面面系系数数，找找出出最最大大切切应应力所在截面力所在截面;计计算危算危险险截面的截面的强强度，必要度，必要时还应进时还应进行行刚刚度度计计算算 上一上一页页 返回返回36返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回