非线性规划理论和算法PPT课件.ppt

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1、关于非线性规划理论关于非线性规划理论与算法与算法第一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月第二张，PPT共八十一页，创作于2022年6月3约束集或可行域约束集或可行域:非线性规划非线性规划x*是整体是整体(全局全局)极小点极小点x*是严格整体是严格整体(全局全局)极小点极小点x*是局部极小点是局部极小点x*是严格局部极小点是严格局部极小点非线性规划向量化表示非线性规划向量化表示非线性规划向量化表示非线性规划向量化表示p=q=0p=q=0即无约束规划即无约束规划即无约束规划即无约束规划第三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月4非线性规划的几个概念非线性规划的几个概念线性化可行方向线性化

2、可行方向:可行方向锥可行方向锥第四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月5定义定义3:积极约束积极约束:或起作用约束起作用约束（紧约束紧约束积极约束积极约束有效约束有效约束）。）。第五张，PPT共八十一页，创作于2022年6月6证明:定理定理1:定义定义4:可行下降方向可行下降方向第六张，PPT共八十一页，创作于2022年6月7定理2:定理3:证略极值点的必要条件:第七张，PPT共八十一页，创作于2022年6月8严格凸组合严格凸组合严格凸严格凸线性组合线性组合为为凸规划凸规划。若若f(x)是凸函数，是凸函数，S是凸集，是凸集，一般要求一般要求当当i=1,2,p时为凸函数，当时为凸函数，当i

3、=p+1,p+q时为线性函数。时为线性函数。凸规划凸规划的的局部解是整体解局部解是整体解！第八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月9第九张，PPT共八十一页，创作于2022年6月10定理：定理：可微函数解的必要条件：可微函数解的必要条件：x*是局部解是局部解,则：则：最优性条件最优性条件无约束规划无约束规划无约束规划无约束规划x*是驻点是驻点(稳定点稳定点)可微凸函数解的充要条件：可微凸函数解的充要条件：x*是整体极小解当且仅当是整体极小解当且仅当第十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月11约束规划最优性条件的几何表述约束规划最优性条件的几何表述约束规划最优性条件的几何表述约束规划

4、最优性条件的几何表述梯度共线梯度共线第十一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月12共面共面梯度被线性标示梯度被线性标示约束规划最优性条件的几何表述约束规划最优性条件的几何表述第十二张，PPT共八十一页，创作于2022年6月13结论：在解处仅等式结论：在解处仅等式(紧紧)约束有效！约束有效！约束规划最优性条件的几何表述约束规划最优性条件的几何表述约束规划最优性条件的几何表述约束规划最优性条件的几何表述第十三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月14对约束对约束定义定义7.有效约束有效约束(紧约束、积极约束紧约束、积极约束)active constraint在在x*处有处有则称在则称在x

5、*处处ci(x)是紧约束。是紧约束。x*处有效约束指标集处有效约束指标集梯度的负线性表示梯度的负线性表示!第十四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月15向量化表示向量化表示向量化表示向量化表示约束规划最优性约束规划最优性必要必要条件条件Karush-Kuhn-TuckerKarush-Kuhn-Tucker条件条件条件条件KKTKKT条件条件条件条件互补松互补松弛条件弛条件第十五张，PPT共八十一页，创作于2022年6月16LagrangeLagrange函数函数Karush-Kuhn-TuckerKarush-Kuhn-Tucker条件条件条件条件KKTKKT条件条件条件条件Lagra

6、ngeLagrange乘子：乘子：乘子：乘子：互补松弛条件：互补松弛条件：互补松弛条件：互补松弛条件：约束规格约束规格约束规格约束规格约束限制约束限制约束限制约束限制(规范规范规范规范)条件条件条件条件第十六张，PPT共八十一页，创作于2022年6月17约束规划最优性约束规划最优性充分充分条件条件鞍点鞍点鞍点鞍点条件条件同时同时同时同时的最优解！的最优解！的最优解！的最优解！证明：证明：证明：证明：由由 的任意性知的任意性知:且且且且进一步由不等式的后两部分知进一步由不等式的后两部分知进一步由不等式的后两部分知进一步由不等式的后两部分知:第十七张，PPT共八十一页，创作于2022年6月18凸规

7、划最优性凸规划最优性充要充要充要充要条件条件Karush-Kuhn-TuckerKarush-Kuhn-Tucker条件条件条件条件KKTKKT条件条件条件条件第十八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月19定理定理(Fritz John条件条件):其他最优性条件其他最优性条件第十九张，PPT共八十一页，创作于2022年6月20Fritz John 条件与条件与KKT条件的区别条件的区别:Fritz John 条件可能出现条件可能出现w0=0的情形。这时的情形。这时Fritz John 条件中实际上不包含目标函数的任何数条件中实际上不包含目标函数的任何数据，只是把起作用约束的梯度组合成零向

8、量。这样据，只是把起作用约束的梯度组合成零向量。这样的条件，对于问题的解的描述，没有多大价值。我的条件，对于问题的解的描述，没有多大价值。我们感兴趣的是们感兴趣的是w00的情形，所以为了保证的情形，所以为了保证 w00，还，还需要对约束施加某种限制。这种限制条件通常称为需要对约束施加某种限制。这种限制条件通常称为约约束规格束规格。在上一个定理中，如果增加。在上一个定理中，如果增加紧约束紧约束的梯度的梯度线性无关的线性无关的约束规格约束规格，则给出问题的，则给出问题的KKT条件。条件。第二十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月211)1)所有规划解的最优性所有规划解的最优性所有规划解的最优

9、性所有规划解的最优性必要必要必要必要条件条件条件条件=KKT=KKT条件条件条件条件+约束规格约束规格约束规格约束规格2)2)凸规划解的最优性凸规划解的最优性凸规划解的最优性凸规划解的最优性充分充分充分充分条件条件条件条件=KKT=KKT条件条件条件条件最优性条件总结最优性条件总结最优性最优性最优性最优性必要必要必要必要条件证明：需要用到凸集分离定理、择一性定理条件证明：需要用到凸集分离定理、择一性定理条件证明：需要用到凸集分离定理、择一性定理条件证明：需要用到凸集分离定理、择一性定理(Farkas(Farkas引理引理引理引理凸规划最优性凸规划最优性凸规划最优性凸规划最优性充分充分充分充分条

10、件证明较简单，但对非凸规划结果没有实际指导意义，条件证明较简单，但对非凸规划结果没有实际指导意义，条件证明较简单，但对非凸规划结果没有实际指导意义，条件证明较简单，但对非凸规划结果没有实际指导意义，蕴含着对偶原理蕴含着对偶原理蕴含着对偶原理蕴含着对偶原理LangrangeLangrange对偶对偶对偶对偶第二十一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月22例例:求约束极值问题求约束极值问题第二十二张，PPT共八十一页，创作于2022年6月23第二十三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月24第二十四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月25第二十五张，PPT共八十一页，创作于2022

11、年6月26最优性条件举例最优性条件举例线性规划线性规划线性规划线性规划最优性条件最优性条件最优性条件最优性条件是充分的？是必要的？是充分的？是必要的？是充分的？是必要的？是充分的？是必要的？标准形式：标准形式：标准形式：标准形式：练习：推广形式的最优练习：推广形式的最优练习：推广形式的最优练习：推广形式的最优性条件性条件性条件性条件第二十六张，PPT共八十一页，创作于2022年6月27最优性条件举例最优性条件举例最优性条件举例最优性条件举例二次规划二次规划二次规划二次规划最优性条件最优性条件最优性条件最优性条件什么条件下是充分的？什么条件下是充分的？什么条件下是充分的？什么条件下是充分的？什么

12、条件下是必要的？什么条件下是必要的？什么条件下是必要的？什么条件下是必要的？推广一：推广一：推广一：推广一：推广二：推广二：推广二：推广二：简化：简化：简化：简化：第二十七张，PPT共八十一页，创作于2022年6月第二十八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月29最大最小对偶最大最小对偶目标函数目标函数目标函数目标函数:x x方的目标是无论方的目标是无论方的目标是无论方的目标是无论y y怎样，都应使怎样，都应使怎样，都应使怎样，都应使F F越越越越小小小小越好；越好；越好；越好；y y方的目标是无论方的目标是无论方的目标是无论方的目标是无论x x怎样，都应使怎样，都应使怎样，都应使怎样，都

13、应使F F越越越越大大大大越好；越好；越好；越好；立于不败之地的决策方法立于不败之地的决策方法保守主义决策保守主义决策保守主义决策保守主义决策相关结论：相关结论：相关结论：相关结论：一对对偶问题一对对偶问题一对对偶问题一对对偶问题弱对偶定理弱对偶定理弱对偶定理弱对偶定理对偶间隙对偶间隙对偶间隙对偶间隙第二十九张，PPT共八十一页，创作于2022年6月30最大最小对偶举例最大最小对偶举例最大最小对偶举例最大最小对偶举例博弈博弈博弈博弈第三十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月31最大最小对偶最大最小对偶鞍点条件鞍点条件鞍点条件鞍点条件:对对对对相关结论：相关结论：相关结论：相关结论：弱对偶

14、定理弱对偶定理弱对偶定理弱对偶定理对偶间隙对偶间隙对偶间隙对偶间隙若有点若有点若有点若有点则称则称则称则称(x x*,*,y y*)*)满足鞍点条件。满足鞍点条件。满足鞍点条件。满足鞍点条件。强对偶定理强对偶定理强对偶定理强对偶定理满足鞍点条件。满足鞍点条件。满足鞍点条件。满足鞍点条件。第三十一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月32原规划原规划原规划原规划:Lagrange对偶对偶LagrangeLagrange函数函数函数函数LagrangeLagrange对偶对偶对偶对偶弱对偶性弱对偶性弱对偶性弱对偶性:弱对偶定理弱对偶定理弱对偶定理弱对偶定理对偶间隙对偶间隙对偶间隙对偶间隙原规划

15、原规划凹函数凹函数第三十二张，PPT共八十一页，创作于2022年6月33LagrangeLagrange对偶举例对偶举例对偶举例对偶举例第三十三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月34像集像集第三十四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月35第三十五张，PPT共八十一页，创作于2022年6月36第三十六张，PPT共八十一页，创作于2022年6月37连续可微凸规划连续可微凸规划连续可微凸规划连续可微凸规划:强对偶定理强对偶定理强对偶定理强对偶定理：连续可微凸规划，满足一：连续可微凸规划，满足一：连续可微凸规划，满足一：连续可微凸规划，满足一约束规格约束规格约束规格约束规格，则，则，则，

16、则LagrangeLagrange对偶的强对偶定理对偶的强对偶定理对偶的强对偶定理对偶的强对偶定理f f、g g可微凸，可微凸，可微凸，可微凸，h h线性线性线性线性1)1)：若原问题有解，则对偶问题也有解；：若原问题有解，则对偶问题也有解；：若原问题有解，则对偶问题也有解；：若原问题有解，则对偶问题也有解；2)2)：若原问题与对偶问题分别有可行解，则他们是最优解的充分必要条件是：若原问题与对偶问题分别有可行解，则他们是最优解的充分必要条件是：若原问题与对偶问题分别有可行解，则他们是最优解的充分必要条件是：若原问题与对偶问题分别有可行解，则他们是最优解的充分必要条件是他们对应相同的目标值他们对

17、应相同的目标值他们对应相同的目标值他们对应相同的目标值(对偶间隙为对偶间隙为对偶间隙为对偶间隙为0).0).证证证证1)1)：即证可微凸规划的最优解：即证可微凸规划的最优解：即证可微凸规划的最优解：即证可微凸规划的最优解与其与其与其与其KKTKKT条件的乘子条件的乘子条件的乘子条件的乘子满足鞍点条件！满足鞍点条件！满足鞍点条件！满足鞍点条件！证证证证2)2)：利用鞍点条件可得。：利用鞍点条件可得。：利用鞍点条件可得。：利用鞍点条件可得。3)3)：对偶问题无上界，则原问题不可行；原问题无下界，则对偶问题不可行。：对偶问题无上界，则原问题不可行；原问题无下界，则对偶问题不可行。：对偶问题无上界，则

18、原问题不可行；原问题无下界，则对偶问题不可行。：对偶问题无上界，则原问题不可行；原问题无下界，则对偶问题不可行。第三十七张，PPT共八十一页，创作于2022年6月38连续可微凸规划连续可微凸规划连续可微凸规划连续可微凸规划:WolfeWolfe对偶对偶对偶对偶：Wolfe对偶对偶对偶对偶f f、g g可微凸，可微凸，可微凸，可微凸，h h线性线性线性线性1)1)：若原问题有解，则对偶问题也有解；：若原问题有解，则对偶问题也有解；：若原问题有解，则对偶问题也有解；：若原问题有解，则对偶问题也有解；2)2)：若原问题与对偶问题分别有可行解，则他们是最优解得充分必要条：若原问题与对偶问题分别有可行解

19、，则他们是最优解得充分必要条：若原问题与对偶问题分别有可行解，则他们是最优解得充分必要条：若原问题与对偶问题分别有可行解，则他们是最优解得充分必要条件是他们对应相同的目标值件是他们对应相同的目标值件是他们对应相同的目标值件是他们对应相同的目标值(对偶间隙为对偶间隙为对偶间隙为对偶间隙为0).0).LagrangeLagrange函数函数函数函数WolfeWolfe对偶定理对偶定理对偶定理对偶定理：连续可微凸规划，满足一：连续可微凸规划，满足一：连续可微凸规划，满足一：连续可微凸规划，满足一约束规格约束规格约束规格约束规格，则，则，则，则第三十八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月39凸规

20、划对偶举例凸规划对偶举例(Q正定正定)二次规划二次规划二次规划二次规划(Q Q正定正定正定正定)推广一：推广一：推广一：推广一：推广二：推广二：推广二：推广二：LagrangeLagrange对偶对偶对偶对偶共轭对偶、广义共轭对偶、广义Lagrange对偶对偶参阅参阅非线性规划及其理论非线性规划及其理论(应玖茜、魏权龄应玖茜、魏权龄)第第6章章第三十九张，PPT共八十一页，创作于2022年6月第四十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月41惩罚函数法惩罚函数法 将有约束优化问题转化为一系列无约束优化问题进行求解。将有约束优化问题转化为一系列无约束优化问题进行求解。（Sequential U

21、nconstrained Minimization Technique-SUMT）1 1、算法思想：、算法思想：2 2、算法类型：、算法类型：q 外点法（外惩法）外点法（外惩法）q 内点法（内惩法）内点法（内惩法）3 3、问题：、问题：第四十一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月424 4、外点法（外部惩罚函数法）、外点法（外部惩罚函数法）第四十二张，PPT共八十一页，创作于2022年6月43第四十三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月44第四十四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月45（1 1）几何解释）几何解释第四十五张，PPT共八十一页，创作于2022年6月46（2 2

22、）算法步骤（外点法）：）算法步骤（外点法）：第四十六张，PPT共八十一页，创作于2022年6月47yesNo（3 3）外点法框图外点法框图外点法框图外点法框图第四十七张，PPT共八十一页，创作于2022年6月48（4 4）应注意的问题）应注意的问题第四十八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月49例:第四十九张，PPT共八十一页，创作于2022年6月50参阅参阅P207例例2关于关于2个约束的例子个约束的例子!第五十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月51q （5 5）一般模型的外点法）一般模型的外点法q q 算法步骤相同算法步骤相同第五十一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月

23、52(6)(6)算法收敛性算法收敛性详见详见P202，引理，引理8.1，定理，定理8.2.详见详见P203，定理定理8.4.第五十二张，PPT共八十一页，创作于2022年6月535 5、内点法（障碍函数法）、内点法（障碍函数法）（1 1）集合结构）集合结构第五十三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月54（2 2）算法思想）算法思想 内点法（障碍函数法）的迭代点是在可行域点集内部移动的，内点法（障碍函数法）的迭代点是在可行域点集内部移动的，对接近可行域边界上的点施加越来越大的惩罚，对可行域边界上的对接近可行域边界上的点施加越来越大的惩罚，对可行域边界上的点施加无限大的惩罚，这好比边界是一道

24、障碍物，阻碍迭代点穿越点施加无限大的惩罚，这好比边界是一道障碍物，阻碍迭代点穿越边界。边界。内点法要求可行点集的内点法要求可行点集的内点集合非空内点集合非空，否则算法无法运行。，否则算法无法运行。这样一来这样一来内点法只对不等式约束的优化问题内点法只对不等式约束的优化问题才可能有效。才可能有效。第五十四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月55（3 3）算法分析）算法分析第五十五张，PPT共八十一页，创作于2022年6月56第五十六张，PPT共八十一页，创作于2022年6月57（4 4）算法步骤（内点法）：）算法步骤（内点法）：第五十七张，PPT共八十一页，创作于2022年6月58内点法框

25、图内点法框图内点法框图内点法框图yesNo第五十八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月59例解第五十九张，PPT共八十一页，创作于2022年6月60用对数罚函数会更简单用对数罚函数会更简单其他例子见其他例子见P217-218.第六十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月61（5 5）算法收敛性：）算法收敛性：（6 6 6 6）罚函数法的缺点）罚函数法的缺点）罚函数法的缺点）罚函数法的缺点第六十一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月62(7)(7)内、外点法的优缺点的比较内、外点法的优缺点的比较1.x(0)S 0(参参阅阅P220讨论讨论内点的内点的选选取取)2.等式等式约约束束

26、不适用不适用3.障碍函数障碍函数B(x)在在S 0的可微的可微阶阶数与数与gi(x)相同相同(可可选选用的无用的无约约束最束最优优化方法广化方法广)4.迭代中迭代中x（k）R(随随时时可取可取x（k）x*)5.非凸非凸规规划适用划适用1.任意任意x(0)Rn2.等式约束适用等式约束适用3.惩罚项的二阶偏导在惩罚项的二阶偏导在S的边界上不的边界上不存在存在 4.迭代中迭代中x(k)R5.非凸非凸规规划适用划适用内点法内点法外点法外点法作业：作业：P246.1,2,4,7,8,9,10.补充补充求求2、9、10、11中规划的中规划的KKT点点.第六十二张，PPT共八十一页，创作于2022年6月63

27、6.6.乘子法乘子法乘子罚函数乘子罚函数:乘子罚函数与乘子罚函数与LangrangeLangrange函数及惩罚函数的区别：函数及惩罚函数的区别：多一项多一项。(1)(1)等式约束等式约束第六十三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月64乘子罚函数:第六十四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月65(2)等式、不等式约束等式、不等式约束第六十五张，PPT共八十一页，创作于2022年6月66算法步骤（乘子罚函数法）：算法步骤（乘子罚函数法）：第六十六张，PPT共八十一页，创作于2022年6月67解：1.惩罚函数法。对于惩罚函数惩罚函数法。对于惩罚函数例：问题 的最优解为的最优解为x x*

28、=(0.25,0.75),=(0.25,0.75),分别用惩罚分别用惩罚函数法和乘子法函数法和乘子法 求它的迭代点列。求它的迭代点列。可求得最优解为：可求得最优解为：2.乘子法。对于乘子罚函数乘子法。对于乘子罚函数可求得最优解为：可求得最优解为：第六十七张，PPT共八十一页，创作于2022年6月68 从表中可见，从表中可见，xk*比比 xk 近于近于x*的速度慢的速度慢得多，用乘子法迭代得多，用乘子法迭代6次就达到惩罚函数次就达到惩罚函数法迭代法迭代15次的效次的效 这里，惩罚因子在惩罚函数法中要增这里，惩罚因子在惩罚函数法中要增大到大到u153276.8，而在乘子法中只要，而在乘子法中只要增

29、大到增大到u6=6.4 相比之下，乘子法不需过分地增大相比之下，乘子法不需过分地增大惩罚因子，确实比惩罚函数法有效很多惩罚因子，确实比惩罚函数法有效很多.第六十八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月69Matlab求解约束非线性规划其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵，C(x)、Ceq(x)是约束向量的函数，f(x)为目标函数，f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数。第六十九张，PPT共八十一页，创作于2022年6月70函数 fmincon格式 x=fmincon(fun,x0,A,b)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x=fminc

30、on(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x,fval=fmincon()x,fval,exitflag=fmincon()x,fval,exitflag,output=fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda=fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda,grad=fmincon()x,fval,exitflag,output

31、,lambda,grad,hessian=fmincon()第七十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月71解:(1)写成标准形式：例例1第七十一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月72(2)先建立M-文件 fun1.m:function f=fun1(x);f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)2(3)再建立主程序youh1.m：x0=1;1;A=2 3;1 4;b=6;5;Aeq=;beq=;LB=0;0;UB=;x,fval=fmincon(fun1,x0,A,b,Aeq,beq,LB,UB)(4)在命令窗口中输入youh1,得运算结果为：运

32、算结果为：x=0.7647 1.0588 fval=-2.0294第七十二张，PPT共八十一页，创作于2022年6月73解：约束条件的标准形式为（1）在MATLAB编辑器中建立非线性约束函数文件：function c,ceq=nlcon(x)c=(x(1)-1)2-x(2);ceq=;%无等式约束第七十三张，PPT共八十一页，创作于2022年6月74（1 1）在）在MATLABMATLAB编辑器中建立非线性约束函数文件：编辑器中建立非线性约束函数文件：function c,ceq=nlcon(x)function c,ceq=nlcon(x)c=(x(1)-1)2-x(2);c=(x(1)-1

33、)2-x(2);ceq=;%ceq=;%无等式约束无等式约束（2 2）在命令窗口键入如下命令或建立）在命令窗口键入如下命令或建立MM文件：文件：fun2=x(1)2+x(2)2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2);%fun2=x(1)2+x(2)2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2);%目标函数目标函数x0=0 1;x0=0 1;A=-2 3;%A=-2 3;%线性不等式约束线性不等式约束b=6;b=6;Aeq=;%Aeq=;%无线性等式约束无线性等式约束beq=;beq=;lb=;%lb=;%x x没有下、上界没有下、上界ub=;ub=;x,fval,exitflag

34、,output,lambda,grad,hessianx,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian=fmincon(fun2,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nlcon)=fmincon(fun2,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nlcon)第七十四张，PPT共八十一页，创作于2022年6月75则结果为则结果为x=3 4fval=-13exitflag=%解收敛解收敛 1output=iterations:2 funcCount:9 stepsize:1 algorithm:medium-scale:SQP,Quasi-Newton,

35、line-search firstorderopt:cgiterations:lambda=lower:2x1 double%x下界有效情况，通过下界有效情况，通过lambda.lower可查看。可查看。upper:2x1 double%x上界有效情况，为上界有效情况，为0表示约束无效。表示约束无效。eqlin:0 x1 double%线性等式约束有效情况，不为线性等式约束有效情况，不为0表示约束有效。表示约束有效。eqnonlin:0 x1 double%非线性等式约束有效情况。非线性等式约束有效情况。ineqlin:2.5081e-008%线性不等式约束有效情况。线性不等式约束有效情况。i

36、neqnonlin:6.1938e-008%非线性不等式约束有效情况。非线性不等式约束有效情况。grad=%目标函数在最小值点的梯度目标函数在最小值点的梯度 1.0e-006*-0.1776 0hessian=%目标函数在最小值点的目标函数在最小值点的Hessian值值 1.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000第七十五张，PPT共八十一页，创作于2022年6月76二次规划问题（二次规划问题（quadratic programming）的）的Matlab解解 第七十六张，PPT共八十一页，创作于2022年6月77函数 quadprogx=quadprog(H,f,A,b,Aeq

37、,beq,lb,ub)%lb,ub分别为为x的下上界。x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)%x0为设置的初值x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%options为指定的优化参数x,fval=quadprog()%fval为目标函数最优值x,fval,exitflag=quadprog()%exitflag与线性规划中参数意义相同x,fval,exitflag,output=quadprog()%output与线性规划中参数意义相同x,fval,exitflag,output,lambda=quadprog(

38、)%lambda与线性规划中参数意义相同格式:x=quadprog(H,f,A,b)%其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)%Aeq,beq满足等约束条件第七十七张，PPT共八十一页，创作于2022年6月78在在MATLAB中实现如下：中实现如下：H=1-1;-1 2;f=-2;-6;A=1 1;-1 2;2 1;b=2;2;3;lb=zeros(2,1);x,fval,exitflag,output,lambda=quadprog(H,f,A,b,lb)第七十八张，PPT共八十一页，创作于2022年6月79第七十九张，

39、PPT共八十一页，创作于2022年6月80考核要点基础知识基础知识优化问题的模型表示、梯度计算、凸函数优化问题的模型表示、梯度计算、凸函数判定等判定等一维搜索方法一维搜索方法无约束优化方法无约束优化方法线性规划线性规划单纯形方法单纯形方法两阶段两阶段M方法等方法等非线性规划非线性规划KKT条件、外点法、内点法等条件、外点法、内点法等注重方法掌握，难度类似作业注重方法掌握，难度类似作业.考试时间：元月考试时间：元月9号上午号上午8:30-11:303小时小时时间充裕，有繁琐计算的话不要心急。时间充裕，有繁琐计算的话不要心急。第八十张，PPT共八十一页，创作于2022年6月2023/4/7感谢大家观看第八十一张，PPT共八十一页，创作于2022年6月