统计学参数估计.pptx

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1、统计方法统计方法描述统计描述统计推断统计推断统计参数估计参数估计假设检验假设检验第1页/共46页7.1 7.1 参数估计1.用样本统计量去估计总体参数。2.估计量用来估计总体参数的统计量 估计值一个具体样本计算出的统计量的数值第2页/共46页参数估计的方法参数估计的方法点估计点估计区间估计区间估计第3页/共46页二战中的点估计 德军有多少辆坦克？二战期间，盟军非常想知道德军总共制造了多少辆坦克。德国人在制造坦克时是墨守成规的，他们把坦克从1 1开始进行了连续编号。在战争过程中，盟军缴获了一些敌军坦克，并记录了它们的生产编号。那么怎样利用这些号码来估计坦克总数呢？在这个问题中，总体参数是未知的坦

2、克总数N,N,而缴获坦克的编号则是样本。第4页/共46页 假设我们是盟军手下负责解决这个问题的统计人员。制造出来的坦克总数肯定大于等于记录的最大编号。为了找到它比最大编号大多少，我们先找到被缴获坦克编号的平均值，并认为这个值是全部编号的中点。因此样本均值乘以2 2就是总数的一个估计；当然要特别假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本。第5页/共46页 N N的另一个点估计公式是：N=m(1+1/k)-N=m(1+1/k)-11，其中m m是缴获到的最大的坦克编号，k k是被俘虏坦克个数。假如你俘虏了10 10 辆坦克，其中最大编号是5050，那么坦克总数的一个估计是（1+1/10)1+1/1

3、0)50-1=5450-1=54。此处我们认为坦克的实际数略大于最大编号。从战后发现的德军记录来看，盟军的估计值非常接近所生产的坦克的真实值。记录仍然表明统计估计比通常通过其他情报方式作出估计要大大接近于真实数目。统计学家们做得比间谍们更漂亮！第6页/共46页点估计含义：从总体中抽取一个样本，根据该样本的统计量对总体的未知参数作出一个数值点的估计。1.点估计的可靠性用标准误差来衡量。2.一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性度量第7页/共46页区间估计含义：在点估计的基础上，给出总体参数估计取值的一个区间范围。样本统计量样本统计量 (点估计点估计)置信区间置信区间置信下限置信下限置信上限置信上

4、限第8页/共46页区间估计的图示x95%95%的样本的样本 -1.96-1.96 x x +1.96+1.96 x x99%99%的样本的样本 -2.58-2.58 x x +2.58+2.58 x x90%90%的样本的样本 -1.65-1.65 x x +1.65+1.65 x x第9页/共46页1.1.置信区间 由样本统计量对总体参数进行估计时的估计区间。在某种程度上确信置信区间中包含总体参数的真值在某种程度上确信置信区间中包含总体参数的真值2.2.置信水平（置信度、置信系数）置信水平（置信度、置信系数）包含总体参数真值的置信区间占所有置信区间包含总体参数真值的置信区间占所有置信区间的比

5、例。常用的比例。常用1-1-表示置信水平。表示置信水平。第10页/共46页 a.总体参数的真值是未知的、固定的，构造出的总体参数的真值是未知的、固定的，构造出的置信区间可能包含真值，也可能不包含真值；置信区间可能包含真值，也可能不包含真值；b.设置信水平为设置信水平为95%，则说明有，则说明有95%的置信区间的置信区间包含总体真值，有包含总体真值，有5%的置信区间不包含总体真值。的置信区间不包含总体真值。第11页/共46页练习题1.1.一个95%95%的置信区间是指（）A A 总体参数有95%95%的概率落在这一区间内 B B 总体参数有5%5%的概率落在这一区间内 C C 在用同样方法构造的

6、总体参数的多个区间 中，有95%95%的区间包含该总体参数 D D 在用同样方法构造的总体参数的多个区间 中，有95%95%的区间不包含该总体参数第12页/共46页2.2.根据一个具体的样本求出的总体均值的95%95%的置信区间（）A A 以95%95%的概率包含总体均值 B B 有5%5%的可能性包含总体均值 C C 一定包含总体均值 D D 要么包含总体均值，要么不包含总体均值 第13页/共46页置信水平置信水平/2/2Z Z/2/290%90%95%95%99%99%0.100.100.050.050.010.010.050.050.0250.0250.0050.0051.6451.64

7、51.961.962.582.58常用置信水平的临界值常用置信水平的临界值(Z(Z/2/2值值)第14页/共46页评价估计量的标准1.1.无偏性2.2.有效性 对同一总体参数的两个无偏估计量，标准差越小的估计量估计效果越好，称估计量越有效。3.3.一致性 随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。E()=第15页/共46页7.2 7.2 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计第16页/共46页7.2.1 总体均值的区间估计总体均值的置信区间=样本均值边际误差总体是否为正态分布总体方差是否已知样本是大样本还是小样本1.1.正态总体，方差已知或非正态总体、大样本正态总体，方差已

8、知或非正态总体、大样本2.2.分布未知，方差未知，大样本分布未知，方差未知，大样本3.3.正态总体，方差未知，小样本正态总体，方差未知，小样本第17页/共46页1.1.正态总体，方差已知或非正态总体、大样本 样本均值 X XN N(,2 2/n n)总体均值总体均值在在1-1-的置信水平下的置信区间为的置信水平下的置信区间为第18页/共46页【例例】某厂成批生产某种金属棒，其长度服从某厂成批生产某种金属棒，其长度服从 正态分布，标准差为正态分布，标准差为0.06厘米，对一个由厘米，对一个由25 根棒组成的随机样本进行了测量，平均长度为根棒组成的随机样本进行了测量，平均长度为 7.48厘米，求这

9、批金属棒平均长度厘米，求这批金属棒平均长度的置信度的置信度 为为95%95%的置信区间。的置信区间。解：总体服从正态分布，方差已知，置信度为解：总体服从正态分布，方差已知，置信度为95%则则z z0.0250.025=1.96=1.96，在置信度为在置信度为95%95%水平下，金属棒的平均长度在水平下，金属棒的平均长度在7.4567.4567.5047.504厘米之间。厘米之间。第19页/共46页【例例】某某大大学学从从该该校校学学生生中中随随机机抽抽取取100100人人，调调查查到到他他们们平平均均每每天天参参加加体体育育锻锻炼炼的的时时间间为为2626分分钟钟。试试以以9595的的置置信信

10、水水平平估估计计该该大大学学全全体体学学生生平平均均每每天天参参加加体体育育锻锻炼的时间（已知总体方差为炼的时间（已知总体方差为3636分钟）。分钟）。第20页/共46页解：虽然总体分布未知，但总体方差已知，样本量充分大，x26,=6，n=100,/2=1.96在95的置信水平下估计大学生平均每 天 参 加 锻 炼 的 时 间 在 24.82427.176 分钟之间。第21页/共46页2.2.方差未知，大样本（方差未知，大样本（n30)n30)总体均值总体均值在在1-1-的置信水平下的置信区间为的置信水平下的置信区间为第22页/共46页【例例】一家保险公司收集到由一家保险公司收集到由36位投保

11、人组成位投保人组成的随机样本，他们的平均年龄为的随机样本，他们的平均年龄为40岁，标准差岁，标准差为为5岁，求这家保险公司的所有投保人的平均岁，求这家保险公司的所有投保人的平均年龄在年龄在90%的置信水平下的置信区间。的置信水平下的置信区间。解：总体的分布未知，总体方差也未知，但所抽解：总体的分布未知，总体方差也未知，但所抽 样本容量样本容量36为大样本，因此，求总体均值的为大样本，因此，求总体均值的 置信区间可用样本标准差代替总体标准差置信区间可用样本标准差代替总体标准差置信区间为：置信区间为：则投保人平均年龄在则投保人平均年龄在90%90%的置信度下的的置信度下的置信区间为置信区间为38.

12、6338.63岁岁-41.37-41.37岁。岁。第23页/共46页3.3.正态总体、方差未知、小样本正态总体、方差未知、小样本 用样本方差用样本方差s s2 2代替总体方差代替总体方差2 2 样本均值经标准化处理后服从自由度为样本均值经标准化处理后服从自由度为(n-1)(n-1)的的t t分布分布总体均值总体均值在在1-1-的置信水平下的置信区间为的置信水平下的置信区间为第24页/共46页【例例】某时装店的管理人员想估计其顾客的平均某时装店的管理人员想估计其顾客的平均 年龄，随机抽取了年龄，随机抽取了16位顾客进行了调查，得到位顾客进行了调查，得到 样本均值为样本均值为32岁，样本标准差为岁

13、，样本标准差为8岁，假定顾客岁，假定顾客 的年龄近似服从正态分布，求该店全部顾客平均的年龄近似服从正态分布，求该店全部顾客平均 年龄在置信度为年龄在置信度为95%的置信区间。的置信区间。解：因为总体近似服从正态分布，方差未知，解：因为总体近似服从正态分布，方差未知，所抽样本为小样本，则总体均值的置信区间为所抽样本为小样本，则总体均值的置信区间为因此，有因此，有95%的把握估计全部顾客平均年龄在的把握估计全部顾客平均年龄在27.738至至36.262之间。之间。第25页/共46页总体分布总体分布样本量样本量已知已知未知未知正态分布正态分布大样本大样本(n30)小样本小样本(n30)非正态分布非正

14、态分布大样本大样本(n30)不同情况下总体均值的区间估计不同情况下总体均值的区间估计第26页/共46页7.2.2 总体比例的区间估计当样本为大样本时，样本比例当样本为大样本时，样本比例p p近似服从正态分布，近似服从正态分布，当总体比例当总体比例已知时，总体比例已知时，总体比例在在1-1-置信水置信水平下的置信区间为：平下的置信区间为：第27页/共46页 实际情况中，值是未知的，要被估计的，所以需要用样本比例p p来代替，则总体比例的置信区间为：第28页/共46页【例例】某所大学想要了解应届毕业生在大四找某所大学想要了解应届毕业生在大四找到工作的学生中女生所占的比例，随机抽取了到工作的学生中女

15、生所占的比例，随机抽取了100100名找到工作的应届毕业生，其中名找到工作的应届毕业生，其中4242人为女生。人为女生。试以试以95%95%的置信水平估计该校找到工作的应届毕的置信水平估计该校找到工作的应届毕业生中女同学的比例的置信区间。业生中女同学的比例的置信区间。解：已知解：已知n=100n=100，z z/2/2=1.96,p=42/100=0.42=1.96,p=42/100=0.42因此，该校找到工作的应届毕业生中女因此，该校找到工作的应届毕业生中女同学的比例为同学的比例为0.323-0.517第29页/共46页【例例】某某企企业业在在一一项项关关于于职职工工流流动动原原因因的的研研

16、究究中中，从从该该企企业业前前职职工工的的总总体体中中随随机机选选取取了了200200人人组组成成一一个个样样本本。在在对对其其进进行行访访问问时时，有有140140人人说说他他们们离离开开该该企企业业是是由由于于同同管管理理人人员员不不能能融融洽洽相相处处。试试对对由由于于这这种种原原因因而而离离开开该企业的人员的真正比例构造该企业的人员的真正比例构造95%95%的置信区间。的置信区间。第30页/共46页解：已知 n=200，0.7,n =1405,n(1-)=605，=0.95，/2=1.96p pp 我们可以95的概率保证该企业职工由于同管理人员不能融洽相处而离开的比例在63.6%76.

17、4%之间第31页/共46页总体方差的区间估计1.估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布3.总体方差 2 的点估计量为s2,且4.总体方差在总体方差在1-置信水平下的置信区间置信水平下的置信区间为为第32页/共46页总体方差的区间估计 1-1-总体方差的总体方差的总体方差的1-1-1-的置信区间的置信区间的置信区间自由度为自由度为n n-1-1的的 第33页/共46页总体方差的区间估计【例例】一一家家食食品品生生产产企企业业以以生生产产袋袋装装食食品品为为主主，现现从从某某天天生生产产的的一一批批食食品品中中随随机机抽抽取取了了2525袋袋，测测得得每每袋袋重重量量如如下下表表所所示

18、示。已已知知产产品品重重量量的的分分布布服服从从正正态态分分布布。以以95%95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间 2525袋食品的重量袋食品的重量袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3第34页/共46页解:已知已知n n2525，1-1-95%,95%,根据样本数据计算得根据样本数据计算得 s s2 2=93.

19、21 =93.21 2 2置信度为置信度为95%95%的置信区间为的置信区间为 该该企企业业生生产产的的食食品品总总体体重重量量标标准准差差的的的的置置信区间为信区间为7.54g13.43g7.54g13.43g第35页/共46页一个总体参数的区间估计第36页/共46页7.3 样本量的确定样本量、置信水平、置信区间三者的关系样本量样本量置信水平置信水平置信区间置信区间不变不变不变不变扩大扩大扩大扩大提高提高降低降低不变不变提高提高扩大扩大缩小缩小缩小缩小不变不变第37页/共46页估计总体均值时样本量的确定边际误差边际误差总体均值的置信区间为总体均值的置信区间为样本量样本量圆整法则圆整法则第38

20、页/共46页样本量与置信水平、总体方差、边际误差的关系样本量与置信水平、总体方差、边际误差的关系 样本量与置信水平成正比，在其他条件不变样本量与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需的样本量越大；的情况下，置信水平越大，所需的样本量越大；样本量与总体方差成正比，在其他条件不变样本量与总体方差成正比，在其他条件不变的情况下，总体的差异越大，所需的样本量越的情况下，总体的差异越大，所需的样本量越大；大；样本量与边际误差的平方成反比，在其他条样本量与边际误差的平方成反比，在其他条件不变的情况下，可以接受的边际误差的平方件不变的情况下，可以接受的边际误差的平方越大，所需的样本量越小

21、；越大，所需的样本量越小；第39页/共46页【例例】某超市想要估计每个顾客平均每次购物某超市想要估计每个顾客平均每次购物 花费的金额。根据过去的经验，标准差大约花费的金额。根据过去的经验，标准差大约 为为120元，现要以元，现要以95%的置信水平去估计每的置信水平去估计每 个顾客平均购物金额的置信区间，并要求边个顾客平均购物金额的置信区间，并要求边 际误差不超过际误差不超过20元，应抽取多少个顾客作元，应抽取多少个顾客作 为样本？为样本？第40页/共46页解:已知=120(元)，Z/2=1.96，E=20(元)应抽取的样本容量为结论：应抽取139个顾客作为样本。第41页/共46页【例例】一一家

22、家广广告告公公司司想想估估计计某某类类商商店店去去年年所所花花的的平平均均广广告告费费用用有有多多少少。经经验验表表明明，总总体体方方差差约约为为18000001800000元元。如置信度取如置信度取95%95%，并要使估计处在总体平均值附近，并要使估计处在总体平均值附近500500元的范围内，这家广告公司应抽多大的样本？元的范围内，这家广告公司应抽多大的样本？第42页/共46页解:已 知 2=1800000，=0.05，Z/2=1.96，E=500 应抽取的样本容量为第43页/共46页估计总体比例时样本量的确定总体比例在总体比例在1-1-置信水平下的置信区间为：置信水平下的置信区间为：边际误差边际误差样本量样本量第44页/共46页【例】一家市场调研公司想估计某地区有某品牌彩色电视机的家庭所占的比例。该公司希望对比例p的估计误差不超过0.05，要求的可靠程度为95%，应抽多大容量的样本？解:已知E=0.05，=0.05，Z/2=1.96，当p未知时用最大方差0.25代替 应抽取的样本容量应抽取的样本容量应抽取的样本容量为为为第45页/共46页感谢您的观看！第46页/共46页