现代控制理论 第一章 控制系统的数学模型幻灯片.ppt

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1、现代控制理论 第一章 控制系统的数学模型第1页，共89页，编辑于2022年，星期日“三域三域”模型及其相互关系模型及其相互关系第2页，共89页，编辑于2022年，星期日 对控制系统的分析（根轨迹法和频率响应法），都以传递函数或频率特性的形式来描述控制系统。方法的局限性：传递函数只描述系统输出与输入间的关系，不涉及到系统内部状态的信息，因而这种描述不完整；传递函数的概念主要适用零初始条件于单输入单输出系统。无法表示时变系统，非线性系统以及非零初始条件的线性定常系统。以传函方法表示控制系统，有时达不到系统最优性能。第3页，共89页，编辑于2022年，星期日状态空间表达式：通过输入，状态变量和输出来

2、描述系统；通过将高阶微分方程或传递函数改写成一截微分方程组，通过将高阶微分方程或传递函数改写成一截微分方程组，即系统的状态方程。它可以用向量和矩阵的形式来表示，即系统的状态方程。它可以用向量和矩阵的形式来表示，使模型简单，易于计算，分析。使模型简单，易于计算，分析。第4页，共89页，编辑于2022年，星期日9.1.1 线性系统的数学描述 系统描述中常用的基本概念 系统的外部描述 传递函数 系统的内部描述系统的内部描述 状态空间描述状态空间描述一、状态、状态变量和状态空间第5页，共89页，编辑于2022年，星期日解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程 求解这个微分方程组，出现两个积分常数。它

3、们由初始条件第6页，共89页，编辑于2022年，星期日状态变量：系统的状态变量就是确定系统状态的最小一组变量。（或完全表征系统运动状态的最小一 组变量。）和就可以表征这个电路的行为。若将 和 视为一组信息量，则这样一组信息量就称为状态。这组信息量中的每个变量均是该电路的状态变量。状态状态:表征系统运动的信息和行为表征系统运动的信息和行为。第7页，共89页，编辑于2022年，星期日 如果知道这些变量在任意时刻t0的值以及t t0的系统的输入，便能完整地确定系统在时刻t的状态。这样一组最小的变量称这样一组最小的变量称为系统的状态变量为系统的状态变量。这里所说的“完整”是指系统所有可能的运动情况都能

4、表示出来；所谓“最小”既是变量的个数最少。一个系统有几个储能元件，就有几个状态变量。一个系统有几个储能元件，就有几个状态变量。第8页，共89页，编辑于2022年，星期日状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，称为状态空间。系统在任意时刻的状态可以用状态空间中的一个点来表示。例如t1时刻的状态，在状态空间中的表示为第9页，共89页，编辑于2022年，星期日第10页，共89页，编辑于2022年，星期日二、状态空间表达式第11页，共89页，编辑于2022年，星期日这个方程组描述了系统状态变量和输入量之间的关系，称为电路的状态方程。这个方程组描述了系统状态变量和输出量之间的关系，称为电

5、路的输出方程。第12页，共89页，编辑于2022年，星期日一般情况：其中，第13页，共89页，编辑于2022年，星期日线性定常连续系统的状态图：第14页，共89页，编辑于2022年，星期日三、状态变量的选取视研究的问题性质和输入特性而定。对一个物理系统而言，通常可选择系统中反映独立储能元件对一个物理系统而言，通常可选择系统中反映独立储能元件状态的特征量为状态变量。例如电路中电容两端的电压，流状态的特征量为状态变量。例如电路中电容两端的电压，流过电感的电流，机械系统中的速度和位置（转角）均可作为过电感的电流，机械系统中的速度和位置（转角）均可作为系统的状态变量。系统的状态变量。状态变量的选取不唯

6、一。状态变量的数目是唯一的。第15页，共89页，编辑于2022年，星期日四、状态空间表达式的建立举例例1 求图示机械系统的状态空间表达式外力 位移 牛顿力学定律令-弹性系数阻尼系数第16页，共89页，编辑于2022年，星期日动态方程如下第17页，共89页，编辑于2022年，星期日状态空间表达式为：第18页，共89页，编辑于2022年，星期日例2 求图示RLC电路系统的状态空间表达式第19页，共89页，编辑于2022年，星期日 为系统两状态变量，则原方程可化成为系统两状态变量，则原方程可化成写成矩阵写成矩阵向量的形式为：向量的形式为：第20页，共89页，编辑于2022年，星期日令令 为状态向量为

7、状态向量则：第21页，共89页，编辑于2022年，星期日9.1.2 线性定常连续系统的状态空间表达式1.由系统微分方程建立状态空间表达式1）系统输入量中不含导数项第22页，共89页，编辑于2022年，星期日选取：状态空间表达式：第23页，共89页，编辑于2022年，星期日第24页，共89页，编辑于2022年，星期日第25页，共89页，编辑于2022年，星期日第26页，共89页，编辑于2022年，星期日例 设 求系统状态空间表达式。解：选 第27页，共89页，编辑于2022年，星期日 则：第28页，共89页，编辑于2022年，星期日 状态空间表达式为第29页，共89页，编辑于2022年，星期日2

8、.系统输入量中含有导数项 如果单输入单输出系统的微分方程为：一般输入量中导数项的次数小于或等于系统 的次数n。为了避免在状态方程中出现u的导 数项，可以选择如下的一组状态变量。设 ，选取：第30页，共89页，编辑于2022年，星期日为了用状态空间分析系统，对于已知由传递函数（或微分为了用状态空间分析系统，对于已知由传递函数（或微分方程）描述的系统，就需要先将它们转变为相应的动态防方程）描述的系统，就需要先将它们转变为相应的动态防城，且不改变系统的输入城，且不改变系统的输入输出特性，这样求得的动态方输出特性，这样求得的动态方程称为系统的一个状态空间实现。程称为系统的一个状态空间实现。动态方程多种

9、不同形式，实现的方法也多种，这里介绍动态方程多种不同形式，实现的方法也多种，这里介绍最常见的四种标准实现：最常见的四种标准实现：能控标准形实现能控标准形实现 ，能观标准形实现，能观标准形实现对角标准形实现对角标准形实现 ，约当标准形实现，约当标准形实现第31页，共89页，编辑于2022年，星期日 2.由传递函数列写动态方程（状态空间表达式由传递函数列写动态方程（状态空间表达式）设单输入设单输入/输出系统的传递函数：输出系统的传递函数：其中，。为传递函数的一般形式。第32页，共89页，编辑于2022年，星期日传递函数中存在着有零、极点对消和没有零、极点对消情况。这里所讨论的实现是没有零、极点对消

10、的情况，据此求得的动态方程，其状态变量数量少，相应矩阵的维数也最小。若构成硬件系统时，所需积分器的个数也最少，故这种实现有最小实现之称。第33页，共89页，编辑于2022年，星期日（一）能控标准形实现1 传递函数无零点第34页，共89页，编辑于2022年，星期日矩阵特点说明p336第35页，共89页，编辑于2022年，星期日图图9-5 9-5 传递函数无零点时的能控标准形状态图传递函数无零点时的能控标准形状态图 第36页，共89页，编辑于2022年，星期日例9-3 已知一系统的传递函数为试写出能控标准形的状态空间表达式。第37页，共89页，编辑于2022年，星期日2 传递函数有零点第38页，共

11、89页，编辑于2022年，星期日（1）串联分解的形式dy(s)y2(s)y1(s)第39页，共89页，编辑于2022年，星期日 选取状态变量第40页，共89页，编辑于2022年，星期日则状态方程为：第41页，共89页，编辑于2022年，星期日输出方程为：写成向量-矩阵形式为：第42页，共89页，编辑于2022年，星期日第43页，共89页，编辑于2022年，星期日例9-4 已知一系统的传递函数为试写出能控标准形的状态空间表达式。第44页，共89页，编辑于2022年，星期日(二)能观标准形实现 第45页，共89页，编辑于2022年，星期日写成向量-矩阵形式为：第46页，共89页，编辑于2022年，

12、星期日第47页，共89页，编辑于2022年，星期日图9-8 能观标准形状态图第48页，共89页，编辑于2022年，星期日（三）对角标准形实现（三）对角标准形实现第49页，共89页，编辑于2022年，星期日 并联分解（对角标准形）把传递函数展开成部分分式求取状态空间表达式 只含单实极点，设 可分解为：其中 为 系统的单实极点则：第50页，共89页，编辑于2022年，星期日 其中：为极点 的留数第51页，共89页，编辑于2022年，星期日a.选取状态变量:将上式整理，并进行拉氏变换，可得状态方程再将 代入 ：展开：第52页，共89页，编辑于2022年，星期日 第53页，共89页，编辑于2022年，

13、星期日 第54页，共89页，编辑于2022年，星期日 特点：传函极点 全1 对应极点的留数 b.选取状态变量:第55页，共89页，编辑于2022年，星期日第56页，共89页，编辑于2022年，星期日第57页，共89页，编辑于2022年，星期日 状态变量图（并联结构）对角标准形 (a)第58页，共89页，编辑于2022年，星期日 对角标准形(b)第59页，共89页，编辑于2022年，星期日例9-5 已知一系统的传递函数为试写出对角标准形的状态空间表达式。第60页，共89页，编辑于2022年，星期日（四）约当标准形实现（四）约当标准形实现当当 含重实极点含重实极点第61页，共89页，编辑于2022

14、年，星期日为了简单起见，设T(s)只有r重极点，则传递函数的部分式展开式为：第62页，共89页，编辑于2022年，星期日.状态空间表达式第63页，共89页，编辑于2022年，星期日.第64页，共89页，编辑于2022年，星期日 其中第65页，共89页，编辑于2022年，星期日.状态变量图第66页，共89页，编辑于2022年，星期日例9-6 已知一系统的传递函数为试写出约当标准形的状态空间表达式。第67页，共89页，编辑于2022年，星期日第68页，共89页，编辑于2022年，星期日例：设系统传递函数为：试求其状态空间表达式。解：分母 三重极点用部分分式为：第69页，共89页，编辑于2022年，

15、星期日 第70页，共89页，编辑于2022年，星期日状态空间表达式第71页，共89页，编辑于2022年，星期日3 由动态方程求系统的传递函数矩阵 定义：初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换之间的传递关系 传递函数矩阵（简称传递矩阵）表达式：设动态方程令初始条件为零，求拉氏变换式：第72页，共89页，编辑于2022年，星期日则系统传递矩阵表达式为：第73页，共89页，编辑于2022年，星期日第74页，共89页，编辑于2022年，星期日例9-6 已知系统的动态方程式为求系统的传递函数矩阵。第75页，共89页，编辑于2022年，星期日第76页，共89页，编辑于2022年，星期日

16、9.2 线性变换前面已指出一个给定的动态系统、状态变量的选取有许多方法。因此一个系统有许不同的状态空间表达式来描述。状态变量的不同选取，其实是状态向量的一种线性变换。一个给定的动态系统，状态变量的选取有许多不同的方法（如前面的 电路），因此状态空间表达式也不同，即一个系统有许多不同的状态空间表达式来描述。第77页，共89页，编辑于2022年，星期日 状态变量的不同选取 状态向量的线性变换（或坐标变换）1.系统状态的线性变换 目的：便于揭示系统特性及分析计算 且不会改变系统的性质 如果 是一组由 个状态变量构成的 维状态向量，则 的线性组合 也完全可以作为一组新的状态变量，构成新的状态向量 ，第

17、78页，共89页，编辑于2022年，星期日在 与 之间存在如下的非奇异线性变换关系：或其中 是 非奇异变换矩阵第79页，共89页，编辑于2022年，星期日于是有：虽然状态变量和状态表达式不同，但 和都是描述同一系统动态行为的描述。第80页，共89页，编辑于2022年，星期日设线性常定系统的状态空间表达为令则其中第81页，共89页，编辑于2022年，星期日例：设系统的状态空间表达式为：取变换矩阵 则第82页，共89页，编辑于2022年，星期日 第83页，共89页，编辑于2022年，星期日 取变换矩阵 则第84页，共89页，编辑于2022年，星期日 对角化！状态变量之间 解耦第85页，共89页，编辑于2022年，星期日2.化 为为对角标准形（对角规范化）已知线性定常系统的状态方程 当系统矩阵 的特征值互异，则必存在非奇异变换矩阵 ，通过线性变换 ，则有第86页，共89页，编辑于2022年，星期日第87页，共89页，编辑于2022年，星期日 的特征值 所对应的特征解，且习题：试将状态方程变换为对角标准形第88页，共89页，编辑于2022年，星期日第89页，共89页，编辑于2022年，星期日