非线性有限元-9-弹塑性本构关系ppt课件.ppt

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1、在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么弹塑性本构关系简介弹塑性本构关系简介1.1.弹性介质本构关系弹性介质本构关系2.2.弹塑性力学有关内容简介弹塑性力学有关内容简介3.3.几种常用弹塑性材料模型简介几种常用弹塑性材料模型简介4.4.弹塑性矩阵的建立步骤弹塑性矩阵的建立步骤在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么塑性塑性是指物体内由于载荷超过某个临界值（弹性极限）而是指物体内由于载荷超过某个临界值（弹性极限）而产生的产生的永久变形永久变形。塑性力学塑性力学是固体力学

2、的一个分支，主要研究是固体力学的一个分支，主要研究这种永久变形和作用力之间的关系，以及物体内部应力和应变这种永久变形和作用力之间的关系，以及物体内部应力和应变的分布规律。的分布规律。材料的非线性行为异常丰富材料的非线性行为异常丰富 非线性弹性行为：非线性弹性行为：当材料由于应力达到某种临界值而出现当材料由于应力达到某种临界值而出现应力与应变间的非线性变化关系；应力与应变间的非线性变化关系；弹塑性行为：弹塑性行为：有不可恢复的应变产生，即当载荷全部撤除有不可恢复的应变产生，即当载荷全部撤除后，会有永久的残余（剩余）变形；后，会有永久的残余（剩余）变形；粘粘弹性弹性行为行为（包括松弛与蠕变）：在高

3、温等条件下，应力（包括松弛与蠕变）：在高温等条件下，应力不但与应变有关，还与时间、应变率等明显相关；不但与应变有关，还与时间、应变率等明显相关；等等等等，以及多种非线性行为的耦合。，以及多种非线性行为的耦合。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么材料非线性的问题：由于加载历史、环境状况及加载时间总量等因素影响使得材料的应力-应变关系不符合胡克定律。不依赖于时间的弹塑性问题：当载荷作用时，材料立即变形，并不随时间变化而变化。依赖于时间的黏（弹、塑）性问题：载荷作用以后，材料立即变形，并随时间变化而变化。在载荷不变的条件下，由于材料

4、黏性而继续增长的变形称为蠕变。在变形保持不变的条件下，由于材料的黏性而使应力衰减称为松弛。3在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么与相近学科门类的区别与相近学科门类的区别 塑性力学（塑性力学（Plasticity）和弹性力学（）和弹性力学（Elasticity）：）：塑性力塑性力学考虑物体内产生的永久变形；而弹性力学则不考虑；学考虑物体内产生的永久变形；而弹性力学则不考虑；塑性力学和流变学（塑性力学和流变学（Rheology）：）：两种门类都考虑永久两种门类都考虑永久变形。但是，塑性力学中的永久变形只变形。但是，塑性力学中的永久

5、变形只与应力和应变与应力和应变的历史有关，不随时间变化的历史有关，不随时间变化；而流变学中的永久变形；而流变学中的永久变形与时间有关与时间有关。可恢复的弹性变形可恢复的弹性变形不可恢复的塑性变形不可恢复的塑性变形塑性变形力学塑性变形力学流变学流变学在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么塑性力学发展历史塑性力学发展历史l1773年：库仑（年：库仑（Coulomb）提出）提出土的屈服条件土的屈服条件。l1864年：屈雷斯加（年：屈雷斯加（Tresca）对金属材料提出了）对金属材料提出了最大剪应力屈服条件最大剪应力屈服条件。l1870

6、年：圣维南（年：圣维南（Saint-Venant）提出在平面情况）提出在平面情况下下理想刚塑性的应力理想刚塑性的应力-应变关系应变关系。假设最大剪应力。假设最大剪应力方向和最大剪应变率方向一致，求解了柱体中发生方向和最大剪应变率方向一致，求解了柱体中发生部分塑性变形的扭转和弯曲问题、以及厚壁筒受内部分塑性变形的扭转和弯曲问题、以及厚壁筒受内压问题。压问题。l1871年：莱维（年：莱维（Levy）将塑性应力）将塑性应力-应变关系应变关系推广推广到三维到三维情况。情况。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么塑性力学发展历史（续）塑性

7、力学发展历史（续）l1913年：米赛斯（年：米赛斯（Mises）经数学简化提出了）经数学简化提出了Mises屈服条件屈服条件。米赛斯还独立地提出和莱维一致。米赛斯还独立地提出和莱维一致的的Levy-Mises塑性应力塑性应力-应变（应变（本构本构）关系关系。l1913年：泰勒（年：泰勒（Taylor）的实验证明，）的实验证明，Levy-Mises本构关系是真实情况的一阶近似。本构关系是真实情况的一阶近似。l1924年：提出年：提出塑性全量理论塑性全量理论，伊柳辛（，伊柳辛（Ilyushin）等苏联学者用来解决大量实际问题。等苏联学者用来解决大量实际问题。l1930年：罗伊斯（年：罗伊斯（Reu

8、ss）在普朗特（）在普朗特（Prandtle）的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力-应变关系。至此，应变关系。至此，塑性增量理论初步建立塑性增量理论初步建立。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么塑性力学发展历史（续）塑性力学发展历史（续）l1950年前后：展开了年前后：展开了塑性增量理论和塑性全量理论塑性增量理论和塑性全量理论的辩论的辩论，促使对两种理论从根本上进行探讨。，促使对两种理论从根本上进行探讨。l1970年代：随着有限元方法的提出和快速发展，关年代：随着有限元方法的

9、提出和快速发展，关于于塑性本构关系的研究十分活跃塑性本构关系的研究十分活跃。主要从宏观与微。主要从宏观与微观结合的角度，从不可逆过程热力学以及从理性力观结合的角度，从不可逆过程热力学以及从理性力学等方面进行研究，例如学等方面进行研究，例如无屈服面理论无屈服面理论等。等。l其它：其它：1）在强化规律方面，除等向强化模型外，）在强化规律方面，除等向强化模型外，普拉格（普拉格（Prager）提出随动强化等模型；）提出随动强化等模型；2）在实）在实验分析方面，运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法验分析方面，运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法等能测量大变形的手段。等等。等能测量大变形的手段。等等。在日常生活中

10、，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么单轴试验下材料的弹塑性性态单轴试验下材料的弹塑性性态（1/31/3）对塑性变形基本规律的认识来自于实验：对塑性变形基本规律的认识来自于实验：1)从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性;2)将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，确定应力超过弹性极限后材料的本构关系确定应力超过弹性极限后材料的本构关系;3)建立塑性力学的基本方程建立塑性力学的基本方程;4)求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和求解这些

11、方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和应变。应变。基本实验有两个：基本实验有两个：1)简单拉伸实验简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变：实验表明，塑性力学研究的应力与应变之间的关系不但是之间的关系不但是非线性的非线性的，而且，而且不是单值对应的不是单值对应的。2)静水压力实验：静水压力实验：静水压力可使材料的塑性增加，使原来静水压力可使材料的塑性增加，使原来处于处于脆性脆性状态的材料转化为状态的材料转化为塑（韧）性塑（韧）性材料。材料。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么单轴试验下材料的弹塑性性态单轴试验下材料的弹

12、塑性性态（2/32/3）单轴实验经过以下阶段：单轴实验经过以下阶段：1)线弹性阶段：线弹性阶段：加载开始直至比例极加载开始直至比例极限，材料表现为限，材料表现为线弹性行为线弹性行为。2)非线性弹性阶段：非线性弹性阶段：继续加载直至弹继续加载直至弹性限，材料表现出非线性弹性行为。性限，材料表现出非线性弹性行为。在此之前在此之前完全卸载完全卸载，材料将沿原加材料将沿原加载曲线返回而无残余应变。载曲线返回而无残余应变。（注：注：比例限与弹性限非常接近，一般不比例限与弹性限非常接近，一般不做区分）做区分）3)塑性阶段：塑性阶段：继续加载，材料可承受继续加载，材料可承受更大应力更大应力，称为，称为材料强

13、化材料强化，并伴随，并伴随出现塑性应变出现塑性应变。至至A点以前卸载，点以前卸载，路径接近直线，即处于路径接近直线，即处于弹性卸载状弹性卸载状态态，其斜率等于加载斜率，其斜率等于加载斜率E。4)破坏点：破坏点：继续加载至可承受的最大继续加载至可承受的最大极限应力，试件出现颈缩而破坏，极限应力，试件出现颈缩而破坏，称为称为强度极限强度极限。材料单向受载情形下的性态材料单向受载情形下的性态ABFEEO强度限强度限弹性限弹性限比例限比例限在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么单轴试验下材料的弹塑性性态单轴试验下材料的弹塑性性态（3/3

14、3/3）塑性问题的特点：塑性问题的特点：材料进入塑性后，即使卸去应力，材料进入塑性后，即使卸去应力，塑性应变将永久存在，塑性应变将永久存在，与应力间的关与应力间的关系不仅取决于应力水平，还取决于加系不仅取决于应力水平，还取决于加载历程。载历程。材料单向受载情形下的性态材料单向受载情形下的性态BAFEEO强度限强度限弹性限弹性限比例限比例限在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么屈服条件、屈服面与屈服函数屈服条件、屈服面与屈服函数屈服条件：屈服条件：材料进入塑性后，又称材料发生了屈服。屈服条件，又称屈服准则，材料进入塑性后，又称材料

15、发生了屈服。屈服条件，又称屈服准则，是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的依据。在复杂应力状态下，是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的依据。在复杂应力状态下，各应力分量可组成不同的屈服条件。各应力分量可组成不同的屈服条件。屈服面：屈服面：对于单向应力状态，其屈服条件可以写成对于单向应力状态，其屈服条件可以写成 可以看出，描述一维问题的屈服条件需要应力应变曲线上的一个临界点（屈可以看出，描述一维问题的屈服条件需要应力应变曲线上的一个临界点（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该曲面服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该曲面称为屈

16、服面。称为屈服面。至今已出现许多屈服理论。至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。在这方面做出了重要贡献。考虑到塑性变形与静考虑到塑性变形与静水压力无关的特点水压力无关的特点屈服函数：屈服函数：是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第二节 非线性方程组的解法线性方程组其中K为常数矩阵，可以直接求解。非线性方程组其中 依赖于 不能直接求解。为变形后的平衡方程。求解方法包括：迭代法、增量法和混合

17、法。12在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、直接迭代法假设有初始的试探解其中：重复上述步骤当误差小于规定的范围即可。假设的初始的试探解可以由线性问题得到。每次迭代需要计算和形成新的系数矩阵并进行求逆计算，这表明K可以表示成 的函数，因此迭代法只适用于与变形历史无关的非线性问题。13在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么直接迭代法的收敛性分析单自由度问题曲线是凸的，收敛曲线是凹的，不收敛其他的迭代方法：Newton-Raphson方法（N-R方法）修正的New

18、ton-Raphson方法（mN-R方法）14在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么载荷分为若干步：位移分成若干步：每两步之间增长量为增量。二、增量法增量法增量解法的一般做法是：假设第m步的载荷 和位移 ；让载荷增加 ，再求解 。如果每一步的增量 足够小，解的收敛性可以得到保证15在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么其中：表示载荷变化的量。切线矩阵求解常微分方程组的问题，可以利用Euler方法。其中：16在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识

19、到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 以上的分析方法计算得到的是近似积分的结果，因此计算得到的位移不能完全满足微分方程，导致解的漂移。改进方法：在每一增量步中引入迭代法（如N-R法或mN-R法），直到满足误差要求，进行下一增量步的分析。Euler法求解增量方程和解的漂移17在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么N-R法解增量方程mN-R法解增量方程 对于mR-N方法求解非线性方程组时，收敛速度较慢，特别是对于结构分析时载荷趋近极限载荷或突然变软的情况下，收敛速度会很慢。为了加速收敛，可以采用一些方法，比较常用和有效的是

20、Aitken法。该方法每隔一次迭代进行一次加速。18在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第三节 材料非线性的本构关系一、材料弹塑性行为的描述 弹塑性材料进入塑性的特征是当载荷卸去后存在不可恢复的永久变形，因而在涉及卸载的情况下，应力和应变之间不再存在一一对应的关系，这是区别于非线性弹性的基本属性。19在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么单调加载 对于大多数材料存在屈服应力，应力低于屈服应力时，材料为弹性，而当应力超出屈服应力时，材料进入 弹塑性状态。当应力达到

21、屈服应力后，应力不再增加，而材料变形可以继续增加理想弹塑性材料。当应力达到屈服应力后，再增加变形，应力必须增加应变硬化材料。此时，应力和应变的关系 应变硬化材料还可以这样理解：如果在某个大于屈服应力的应力值下卸载，然后再加载，材料重新进入塑性的应力值将高于初始的屈服应力。20在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么理想弹塑性硬化塑性反向加载 对于硬化材料，在一个方向加载进入塑性后，在 时卸载，并反向加载进入新的塑性，这时新的屈服应力在数值上与初始的屈服应力不等，也不等于卸载时的应力。21在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。

22、也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么进入反向塑性后，应力和应变关系不同于正向，需根据实验重新确定。各向同性硬化运动（随动）硬化混合硬化22在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么循环加载 循环加载是指在上述反向进入塑性变形以后，循环加载是指在上述反向进入塑性变形以后，载荷再反转进入正向，又一次达到新的屈服点和新载荷再反转进入正向，又一次达到新的屈服点和新的塑性变形，如此反复循环。的塑性变形，如此反复循环。加载分支：从载荷的反转点开始，沿此方向加载到新的屈服点，继续塑性变形到下一个载荷反转点。如：OA，AB，

23、BC各为一载荷分支。实验表明，从第二个分支开始各分支的应力-应力关系是相似的。23在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 等幅应变控制的循环加载，材料呈现循环硬（软）化现象材料硬（软）化性质增强，直至最后趋于稳定，进而得到稳定的循环应力-应变曲线。不等幅应变控制的循环加载，材料呈现循环松弛循环过程中平均应力不断减小，通常以趋于0为极限。24在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 不等幅应力控制的循环加载，材料呈现循环蠕变循环过程中平均应变不断增加，这种性质又称为棘

24、轮效应。25在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、塑性力学的基本法则 将上述单轴应力状态的基本概念推广到一般的应力状态，需要利用塑性力学的增量理论。初始屈服条件 此条件规定材料开始塑性变形的应力状态。对于初始各向同性的材料，在一般应力状态下开始进入塑性流动的条件是其中：-应力张量；-应力空间的超曲面。26在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么对于金属材料通常采用以下两种屈服条件。V.Mises条件其中：-屈服应力；-偏斜应力张量分量。其中：-平均应力；-Kro

25、nercker符号；27在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在三维主应力空间内，V.屈服条件为几何意义是以为轴线的圆柱面。在过原点，并垂直于直线的平面上，屈服函数的轨迹为半径为的圆周。而在的平面上，屈服函数的轨迹是一椭圆。28在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么Tresca条件屈服条件为几何意义是以为轴线并内接V.Mises圆柱面的正六棱柱面。在 平面上的屈服函数的轨迹为内接V.Mises屈服轨迹的正六边形。从数学角度分析，在棱边处的导数不存在，所以有限元分析

26、通常采用V.Mises屈服条件。29在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么流动法则 流动法则规定塑性应变增量的分量和应力分量以及应力分量增量之间的关系。V.Mises流动法则假设塑性应变增量可由塑性势导出其中：-塑性应变增量分量；-待定的有限量，与材料的硬化法则有关；-塑性势函数，是应力状态和塑性应变的函数。30在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么硬化法则 硬化法则规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数（加载函数或加载曲面）。其中：-硬化参数，依赖于变形历史。理想

27、弹塑性材料，因无硬化效应，后继屈服函数和初始屈服函数一致 对于硬化材料，根据不同的硬化特征，采用不同的硬化法则：各向同性硬化法则、运动硬化法则、混合硬化法则。31在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么各向同性硬化法则 规定材料进入塑性后，加载曲面在各方向均匀向外扩张，而其形状、中心及其在应力空间的方位均保持不变。如：时 采用Mises屈服条件，后继屈服函数表示为其中：-现时的弹塑性应力；-等效塑性应变。32在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么为等效塑性应变的函数

28、，可由单轴拉伸试验确定。定义：-塑性模量（硬化系数）。它与弹性模量和切线模量的关系为-切线模量。注意：各向同性硬化主要适用于单调加载情况。如果用于卸载，只适用于反向屈服应力和反转点应力相等的材料。33在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么运动硬化法则 规定材料在进入塑性后，加载曲面在应力空间作刚体移动，其形状、大小和方位均不改变。后继屈服函数表示为-加载曲面中心在应力 空间的移动张量。它 与材料的硬化特性和 变形历史有关。根据 的规定不同，则Prager运动硬化法则：加载面中心移动沿现时应力状态的应力点的法线方向。Zeigler

29、修正运动硬化法则：加载面中心移动沿连接中心和现时应力状态的方向。34在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么混合硬化法则 同时考虑各向同性硬化和运动硬化。塑性应变增量表示为-与各向同性硬化法则相关联；-与运动硬化法则相关联；M表示各向同性硬化特性在全部硬化中所占的比例-混合硬化参数。M为负表示材料软化情况。后继屈服函数为35在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么加载、卸载准则 该准则用以判断从一塑性状态出发是继续加载还是弹性卸载决定是采用弹性本构关系还是弹塑性本构关

30、系。继续塑性加载按弹性卸载理想塑性材料，塑性加载。对于硬化材料，保持塑性状态，但不发生新的塑性流动。36在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么理想塑性材料，采用各向同性硬化法则采用硬化法则和混合硬化法则的材料其中：-移动张量的偏斜张量。37在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、应力-应变关系三维空间问题对于各向同性硬化材料符合各向同性硬化法则的材料应力和应变增量的关系塑性矩阵38在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为

31、浪费这一点点算不了什么塑性矩阵为其中：39在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么轴对称问题和平面应变问题轴对称问题平面应变问题40在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么平面应力问题对于各向同性硬化材料其中：41在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么四、温度对本构关系的影响随温度的升高，屈服极限降低；随温度的升高，材料硬化特性（）降低，并接近 理想塑性；温度对弹性模量、泊松比、线膨胀系数等材料常数有

32、影响；考虑蠕变效应。应变增量表示为考虑温度对材料常数的影响，则弹性柔度张量温度增量42在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么-由应力变化引起的应变增量；-由弹性柔度张量引起的应变增量。温度应变增量蠕变应变增量线膨胀系数等效蠕变应变等效应力-等效应变率应力和弹性应变增量关系为43在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 在考虑温度和蠕变的影响时，流动法则、硬化法则不变，屈服应力应看成温度的函数，所以对于混合硬化，后继屈服函数可以表示为应力和应变增量关系为其中44在日常

33、生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么塑性本构关系（塑性本构关系（1/61/6）本构关系：本构关系：简单地说，就是材料的应力应变关系简单地说，就是材料的应力应变关系1）是分析塑性力学问题、进行数值模拟的依据和基础。是分析塑性力学问题、进行数值模拟的依据和基础。2）一般以增量形式描述，因为塑性力学一般都需要考虑变形一般以增量形式描述，因为塑性力学一般都需要考虑变形的历程，而增量形式恰恰可以做到这点，反映塑性变形的的历程，而增量形式恰恰

34、可以做到这点，反映塑性变形的本质。本质。3）应力和应变的增量关系与屈服条件有关。因而，研究塑性应力和应变的增量关系与屈服条件有关。因而，研究塑性本构关系，必须紧紧结合屈服条件。本构关系，必须紧紧结合屈服条件。用增量形式表示塑性本构关系的理论称为用增量形式表示塑性本构关系的理论称为塑性增量（流塑性增量（流动）理论动）理论。相对应地，还有。相对应地，还有塑性全量（形变）理论塑性全量（形变）理论。本构研究中的基本假定：本构研究中的基本假定：材料是各向同性和连续的；材料的材料是各向同性和连续的；材料的弹性性质不受影响；材料是稳定的；与时间因素无关等。弹性性质不受影响；材料是稳定的；与时间因素无关等。4

35、6在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么塑性本构关系（塑性本构关系（2/62/6）Levy-Mises增量（流动）理论增量（流动）理论除了以上最基本的假定外，除了以上最基本的假定外，Levy-Mises增量理论还增量理论还假定假定：1）材料是刚塑性的，弹性应变增量为零；）材料是刚塑性的，弹性应变增量为零；2）对理想刚塑性体，符合）对理想刚塑性体，符合Mises屈服准则，即屈服时等效应力满足屈服准则，即屈服时等效应力满足 3）塑性变形时体积不变，即）塑性变形时体积不变，即塑性应变增量的偏量塑性应变增量的偏量部分就等于部分就等于塑塑

36、性应变增量性应变增量，即，即自行证明！自行证明！47在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么上式中的上式中的 是一个瞬时的是一个瞬时的非负非负比例因子，称为比例因子，称为流动参数，具有模量倒数流动参数，具有模量倒数的量纲的量纲，在塑性变形过程中是变化的，与线弹性的应力偏量与应变偏量关，在塑性变形过程中是变化的，与线弹性的应力偏量与应变偏量关系的材料参数相似。系的材料参数相似。4）应力主轴与应变增量主轴重合；）应力主轴与应变增量主轴重合；5）应力偏量与对应的应变增量成正比，如引入比例因子）应力偏量与对应的应变增量成正比，如引入比例因

37、子 ，则，则 塑性本构关系（塑性本构关系（3/63/6）Levy-Mises增量（流动）理论（续）增量（流动）理论（续）相似相似线弹性的应力偏量与应线弹性的应力偏量与应变偏量间的关系变偏量间的关系等效塑性应变增量等效塑性应变增量自行证明！自行证明！48在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么塑性本构关系（塑性本构关系（4/64/6）Prandtl-Reuss增量理论增量理论 等效塑性应变：等效塑性应变：沿着应变路径沿着应变路径 L积分的积分的“等效塑性应变总量等效塑性应变总量”，考虑了变形历史的影响。考虑了变形历史的影响。在在Le

38、vy-Mises理论基础上，理论基础上，1924年和年和1930年年Prandtl和和Reuss分分别建立了另一增量理论。认为：本构方程中应当计入弹性应变部分。对别建立了另一增量理论。认为：本构方程中应当计入弹性应变部分。对于理想弹塑性材料于理想弹塑性材料对于理想弹塑性材料：对于理想弹塑性材料：对于强化材料：对于强化材料：Levy-Mises理论理论自行证明！自行证明！提示：围绕提示：围绕 进行，它是一个很重要的宏观参量。进行，它是一个很重要的宏观参量。49在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么塑性本构关系（塑性本构关系（5/6

39、5/6）增量型塑性流动理论增量型塑性流动理论塑性势与流动法则塑性势与流动法则矢量矢量 平行于梯度平行于梯度矢量矢量 ，因而，因而垂直于等势面。称为垂直于等势面。称为塑性流动法则塑性流动法则。1938年，年，Melan提出了一般性塑性流动理论，即通用的增量提出了一般性塑性流动理论，即通用的增量型应力应变关系。假设在塑性变形场内存在塑性势，塑性应变由型应力应变关系。假设在塑性变形场内存在塑性势，塑性应变由塑性势表示为塑性势表示为塑性势函数塑性势函数非负比例因子，与非负比例因子，与塑性势的量纲有关塑性势的量纲有关 若屈服函数若屈服函数 f 是连续可微的，则可取是连续可微的，则可取 f 做为势函数。做

40、为势函数。（非关联流动）（非关联流动）（关联流动）（关联流动）取取Mises屈服函数做为势函屈服函数做为势函数数Levy-Mises、Prandtl-Reuss流动理论。流动理论。自行证明！自行证明！50在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 全量理论全量理论又称形变理论，稍后于增量理论建立。又称形变理论，稍后于增量理论建立。认为材料进入塑性认为材料进入塑性阶段以后，各应变分量与应力分量之间存在一定的关系阶段以后，各应变分量与应力分量之间存在一定的关系。其特点是直接。其特点是直接建立起了最终应力与应变之间的方程，因而它比增量理论

41、简单。但形变建立起了最终应力与应变之间的方程，因而它比增量理论简单。但形变理论对加载方式要求比较严格，只有在理论对加载方式要求比较严格，只有在简单加载条件简单加载条件下才更准确。下才更准确。塑性本构关系（塑性本构关系（6/66/6）全量（形变）理论塑性本构方程全量（形变）理论塑性本构方程 增量理论本构关系增量理论本构关系理论上合理，但应用上比较麻烦，特别是当计理论上合理，但应用上比较麻烦，特别是当计算机还不十分发达的时候。算机还不十分发达的时候。对增量理论积分对增量理论积分初始状态的应力和应变初始状态的应力和应变塑性变形过程的单调函塑性变形过程的单调函数数，对理想弹塑性材料，对理想弹塑性材料，

42、为常数。为常数。就是各应力分量按同一比例就是各应力分量按同一比例增加：增加：1）应力主轴和应变主应力主轴和应变主轴的方向在整个加载过程中轴的方向在整个加载过程中保持不变；保持不变；2）应变增量的主）应变增量的主轴和应力主轴重合。轴和应力主轴重合。51在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.弹性介质本构关系对线弹性介质只有对线弹性介质只有两个独立的弹性常数两个独立的弹性常数，但，但应力应变（本构）关系有多种表示形式：应力应变（本构）关系有多种表示形式：用用G和和表示表示用用G和和体积模量体积模量K表示表示1.1线性弹性小变形线性

43、弹性小变形在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么式中式中应力和应变偏张量分别为应力和应变偏张量分别为 如果用如果用拉梅（拉梅（LameLame）常数）常数表示，则有表示，则有弹性常数间有如下关系弹性常数间有如下关系在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 利用上述关系，只要已知两个弹性常数就可利用上述关系，只要已知两个弹性常数就可写出有限元分析中的弹性矩阵写出有限元分析中的弹性矩阵(D)。例如，当以例如，当以G和和表示时，以张量形式表示的表示时，以张量形式表示的本构

44、关系为本构关系为由此可获得由此可获得弹性张量弹性张量Dijkl。其他可仿此写出。其他可仿此写出。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么非线性弹性介质的本构关系，一般是根据材非线性弹性介质的本构关系，一般是根据材料的力学试验通过拟合来得到的。例如金属材料的力学试验通过拟合来得到的。例如金属材料单向拉伸料单向拉伸Romberg-Osgood模型的关系为模型的关系为式中式中k和和n为拟合的实验参数，为拟合的实验参数，E为初始弹性模为初始弹性模量。一般情况下本构关系可表为量。一般情况下本构关系可表为1.2 非线性弹性小变形在有限元分析中

45、有两种应用形式：全量形和增在有限元分析中有两种应用形式：全量形和增量形本构关系。量形本构关系。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相同，也即同，也即1.2.1 全量形式本构关系但其中的弹性系数但其中的弹性系数Gs,s不再是常数，它们是应不再是常数，它们是应变或应力的函数，分别称为变或应力的函数，分别称为割线弹性系数割线弹性系数。可。可将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的割线常数（割线剪切模量和割线泊松比）。割线

46、常数（割线剪切模量和割线泊松比）。式中式中为为割线弹性张量割线弹性张量，形式上它仍可表为，形式上它仍可表为在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例如对混凝土，例如对混凝土，Andenaes等依据实验给出，等依据实验给出，八面体正应力、切应力和八面体线应变、角应八面体正应力、切应力和八面体线应变、角应变间关系为变间关系为octoctoctoctoctoctoctoctK Ks s s sK Kt t并有并有其中其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量，分别为初始切线剪切和体积模量，为混凝土单轴抗压强度，为混凝土单轴抗压强度，a、m、

47、c和和p为由试验为由试验确定的常数。确定的常数。G Gt tG Gs s在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.2.2 增量形式本构关系增量本构关系的表达形式为增量本构关系的表达形式为但其中的弹性系数但其中的弹性系数Gt,t也不是常数，也是应变也不是常数，也是应变或应力的函数，分别称为或应力的函数，分别称为切线弹性系数切线弹性系数。可将。可将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的切它们看作与一定应力（或应变）水平对应的切线常数（切线剪切模量和切线泊松比）。线常数（切线剪切模量和切线泊松比）。式中式中为为切线弹性张量切线弹性张量

48、，形式上仍可表为，形式上仍可表为上面介绍的是上面介绍的是哥西方法哥西方法，讲义上还简述了，讲义上还简述了格格林方法林方法，大家可自行阅读。，大家可自行阅读。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下图示意下图示意2.1 应力空间表述的弹塑性本构关系2.弹塑性力学有关内容简介弹性极限弹性极限屈服下限屈服下限屈服上限屈服上限强度极限强度极限强化段强化段软化段软化段弹性变形弹性变形残余变形残余变形卸载卸载在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识

49、到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么包辛格效应包辛格效应反向屈服点反向屈服点卸载、反向加载卸载、反向加载在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么由单向拉伸曲线可见，弹塑性材料受外部作由单向拉伸曲线可见，弹塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历史相关用的反应和变形的历史有关（可称为历史相关性或路径相关性），因此本构关系应写成性或路径相关性），因此本构关系应写成增量增量关系关系。又因弹塑性状态下加载和卸载有不同的。又因弹塑性状态下加载和卸载有不同的规律，所以其本构关系的表述要比非线性弹性规律，所以其本构关系的表述

50、要比非线性弹性情况复杂。情况复杂。以应力为坐标，其每点代表一个应力状态，以应力为坐标，其每点代表一个应力状态，如此的空间称为如此的空间称为应力空间应力空间。判断材料处于弹性还是塑性的准则，称为判断材料处于弹性还是塑性的准则，称为屈屈服条件或塑性条件服条件或塑性条件。1)1)屈服条件和屈服面屈服条件和屈服面 弹性和塑性区的分界面称为弹性和塑性区的分界面称为屈服面屈服面。空间屈。空间屈服面应是一个服面应是一个凸曲面凸曲面。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在材料的一般应力状态下，可认为应力满足在材料的一般应力状态下，可认为应力满