多元第三章 精选PPT.ppt

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1、多元课件第三章 1第1页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验目目 录录(二二)3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验3.4 协差阵的检验协差阵的检验 3.5 独立性检验独立性检验 3.6 正态性检验正态性检验 第三章所涉及的最大似然估计量小结第三章所涉及的最大似然估计量小结 2第2页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-两个两个p元正态总体元正态总体 当当p1时，因时，因 且相互独立，故有且相互独立，故有 1.两总体协差阵相等两总体协差阵相等

2、(但未知但未知)时均值向量的检验时均值向量的检验 设设X()(1,n)为来自总体为来自总体XNp(1),)的随机的随机样本；样本；Y()(1,m)为来自总体为来自总体Y Np(2),)的随机样本的随机样本,且相互独立且相互独立,未知未知.检验检验3第3页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-两个两个p元正态总体元正态总体 取检验统计量为取检验统计量为 t(n+m-2)(在在H0成立时成立时),即即 4第4页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多

3、总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-两个两个p元正态总体元正态总体 推广到推广到p元总体元总体,检验统计量的形式类似检验统计量的形式类似,可考虑以下检验统可考虑以下检验统计量计量T2：其中其中A1和和A2是两总体的样本离差阵是两总体的样本离差阵.它们是一元统计中的它们是一元统计中的偏差平方和偏差平方和(X(i)-X)2在在p元情况下的推广元情况下的推广.以下来证明统以下来证明统计量计量T 2 T 2(p,n+m-2).因因 5第5页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-两个两个p元正态总体元正态

4、总体 由由Wishart分布的可加性知分布的可加性知 A1+A2Wp(n+m-2,)，由由T2统计量的定义统计量的定义3.1.5可知可知 6第6页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-两个两个p元正态总体元正态总体 利用利用T2与与F的关系，检验统计量取为的关系，检验统计量取为 可以证明可以证明T2(或或F)统计量是检验以上假设统计量是检验以上假设H0的似然比统计量的似然比统计量.(见习题见习题3-10)7第7页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.

5、3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-两总体均值检验例子两总体均值检验例子 例例3.3.1 为了研究日、美两国在华投资企业对中国经营为了研究日、美两国在华投资企业对中国经营环境的评价是否存在差异环境的评价是否存在差异,今从两国在华投资企业中各抽出今从两国在华投资企业中各抽出10家家,让其对中国的政治、经济、法律、文化环境进行打分让其对中国的政治、经济、法律、文化环境进行打分,评分结果见表评分结果见表3.2(表中表中1至至10号为美国在华投资企业的代号为美国在华投资企业的代号号,11至至20号为日本在华投资企业的代号号为日本在华投资企业的代号.数据来源于数据来源于:国务国务院发展研究中心

6、院发展研究中心APEC在华投资企业情况调查在华投资企业情况调查).解解 比比较较日日、美美两两国国在在华华投投资资企企业业对对中中国国多多方方面面的的经经营营环环境境的的评评价价是是否否有有差差异异问问题题,就就是是两两总总体体均均值值向向量量是是否否相相等等的的检检验问题验问题.(见见yydy331a.sas或或yydy331b.sas)8第8页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-两总体均值检验例子两总体均值检验例子 9第9页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体

7、参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-两总体均值检验例子两总体均值检验例子 记美国在华投资企业对中国记美国在华投资企业对中国4个方面的经营环境的评个方面的经营环境的评价为价为4维总体维总体X,并设并设XN4(1),).日本在华投资企业对中日本在华投资企业对中国经营环境的评价为国经营环境的评价为4维总体维总体Y,并设并设YN4(2),).来自两来自两总体的样本容量总体的样本容量n=m=10.检验检验取检验统计量为取检验统计量为 由样本值计算得：由样本值计算得：X(64,43,30.5,63),Y(51.5,51,40,70.5),10第10页，此课件共83页哦第三章第三

8、章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-两总体均值检验例子两总体均值检验例子进一步计算可得：进一步计算可得：11第11页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-两总体均值检验例子两总体均值检验例子对给定显著性水平对给定显著性水平=0.01,利用统计软件进行检验时，首先利用统计软件进行检验时，首先计算计算p值值(此时检验统计量此时检验统计量FF(4,15)：p=PF6.2214=0.0037.因因p值值=0.00370.01=,故故否否定

9、定H0,即即日日、美美两两国国在在华华投投资资企企业业对对中中国国经经营营环环境境的的评评价价存存在在显显著著性性差差异异.在在这这种种情情况况下下,可可能犯第一类错误能犯第一类错误,且犯第一类错误的概率为且犯第一类错误的概率为0.01.12第12页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-两个两个p元正态总体元正态总体 2.两总体协差阵不等时均值向量的检验两总体协差阵不等时均值向量的检验 在在一一元元统统计计中中(p=1时时)，当当12 22时时,检检验验H0：(1)(2)也没有很好的方法，以下介绍实

10、用中的几种方法也没有很好的方法，以下介绍实用中的几种方法.当当n=m时时,作为成对数据进行处理作为成对数据进行处理.令令Z(i)=X(i)-Y(i)(i=1,n)，化化为为单单个个p元元总总体体Z的的均均值值检检验验问问题题 H0：(1)(2)H0：Z0 利用前面介绍的方法进行检验利用前面介绍的方法进行检验.注意：在这里两组样本相互独立的信息没有利用注意：在这里两组样本相互独立的信息没有利用.13第13页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-两个两个p元正态总体元正态总体 当当nm时时(不妨设不妨设

11、nm)：想法也是化为单个想法也是化为单个p元新元新总体的均值检验问题总体的均值检验问题.若只取若只取n对数据按方法对数据按方法处理处理,又将又将损失一些信息损失一些信息.改进的办法是利用改进的办法是利用X(i)(i=1,n)和和Y(j)(j=1,m)，构造新总体，构造新总体Z的样本的样本Z(i)，令，令可以证明：可以证明：14第14页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-两个两个p元正态总体元正态总体所以所以Z(i)N p(1)-(2),Z)(i1,n)，且相互独立，且相互独立.利用前利用前面介绍的

12、单个正态总体均值向量的检验方法进行检验面介绍的单个正态总体均值向量的检验方法进行检验.当当1,2相差甚大时相差甚大时,可构造近似检验统计量进行检验可构造近似检验统计量进行检验(见参考文献见参考文献1).其中其中15第15页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验多元方差分析多元方差分析 多个正态总体均值向量的检验问题也称为多元方差分析多个正态总体均值向量的检验问题也称为多元方差分析.设有设有k个个p元正态总体元正态总体Np(t),)(t1,k)，样品，样品 (t1,k,1,nt)是是来来自自Np(t),

13、)的的随随机机样样本本，检检验验 H0:(1)(k)，H1:至少存在至少存在ij使得使得(i)(j)(即即(1),(k)中至少有一对不等中至少有一对不等).当当p=1时时,此检验问题就是一元方差分析问题此检验问题就是一元方差分析问题,比如比较比如比较k个不同品牌的同类产品中一个质量指标个不同品牌的同类产品中一个质量指标X(如耐磨度如耐磨度)有无显有无显著差异的问题著差异的问题,我们把不同品牌对应不同总体我们把不同品牌对应不同总体(假定为正态总假定为正态总体体),这种多组比较问题就是检验问题这种多组比较问题就是检验问题.16第16页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正

14、态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验多元方差分析多元方差分析 从第从第i个总体抽取容量为个总体抽取容量为ni的随机样本如下的随机样本如下(i=1,k;记记n=n1+n2+nk)：17第17页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验多元方差分析多元方差分析(p=1)当当p=1时时,利用一元方差分析的思想来构造检验统计量利用一元方差分析的思想来构造检验统计量.记记 则有则有平方和分解公式：平方和分解公式：SSTSSA+SSE 18第18页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正

15、态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验多元方差分析多元方差分析(p=1)直观考察直观考察,若若H0成立成立(即即k个总体均值个总体均值无显著差异无显著差异),当总偏当总偏差平方和差平方和SST固定不变时固定不变时,应有组间偏差平方和应有组间偏差平方和 SSA小小,而组而组内偏差平方和内偏差平方和 SSE大大,因而比值因而比值SSA/SSE应很小应很小.检验统计量取为检验统计量取为 给定显著性水平给定显著性水平,按传统检验方法按传统检验方法,查查F分布临界值表得分布临界值表得F满满足：足：PFF,否定域否定域WFF.19第19页，此课件共8

16、3页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验多元方差分析多元方差分析 推广到推广到k个个p元总体元总体Np(t,)(假定假定k个总体的协差阵相等，个总体的协差阵相等，且记为且记为)，记第，记第i个个p元总体的数据阵为元总体的数据阵为对总离差阵进行分解：对总离差阵进行分解：20第20页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验多元方差分析多元方差分析 其中其中 称为称为组间离差阵组间离差阵.故交叉项故交叉项=O称为称为组内离差阵组内

17、离差阵.21第21页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验多元方差分析多元方差分析 根据直观想法及用似然比原理得到检验根据直观想法及用似然比原理得到检验H0的统计量为的统计量为 由由Wishart分布的定义容易得出分布的定义容易得出:因因 Ai Wp(ni-1,)且相互独立且相互独立(i1,k),由可加性可得由可加性可得AA1+AkWp(n-k,)(n=n1+nk).在在H0下，下，TWp(n-1,).还可以证明在还可以证明在H0下下,BWp(k-1,),且且B与与A相互独立相互独立.22第22页，此

18、课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验多元方差分析多元方差分析根据根据分布的定义，可知分布的定义，可知 给定显著性水平给定显著性水平,查查Wilks分布临界值表分布临界值表,可得可得,使使 P，故否定域故否定域W.当当手手头头没没有有Wilks临临界界值值表表时时,可可用用2分分布布或或F分分布布来来近近似似,即即由由的的函函数数的的近近似似分分布布进进行行检检验验(见见参参考考文文献献1或或2).23第23页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总

19、体均值向量的检验多总体均值向量的检验多元方差分析的例子多元方差分析的例子 例例3.3.2 为了研究某种疾病为了研究某种疾病,对一批人同时测量了四个对一批人同时测量了四个指标指标:脂蛋白脂蛋白(X1)，甘油三酯，甘油三酯(X2),脂蛋白脂蛋白(X3),前前脂蛋白脂蛋白(X4).按不同年龄、不同性别分为三组按不同年龄、不同性别分为三组(20至至35岁的女性、岁的女性、20至至25岁的男性和岁的男性和35至至50岁的男性岁的男性),数据见书中表数据见书中表3.3.试问这试问这三组的四项指标间有无显著性差异三组的四项指标间有无显著性差异?解解 比比较较三三个个组组(k=3)的的4项项指指标标(p=4)

20、间间是是否否有有差差异异问问题题，就就是是多多总总体体均均值值向向量量是是否否相相等等的的检检验验问问题题.设设第第i组组为为4维维 总总 体体N4(i),)(i=1,2,3).来来 自自 3个个 总总 体体 的的 样样 本本 容容 量量n1=n2=n3=20.检验检验 H0:(1)(2)(3)H1:(1),(2),(3)至少有一对不相等至少有一对不相等.(见见yydy332?.sas)24第24页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-两总体均值检验例子两总体均值检验例子 25第25页，此课件共83

21、页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-多元方差分析的例子多元方差分析的例子 因似然比统计量因似然比统计量(p,n-k,k-1),此例中此例中k-1=2,可以利用可以利用统计量与统计量与F统计量的关系统计量的关系,取检验统计量为取检验统计量为F统计量：统计量：由样本值计算得：由样本值计算得：X=(259.08,84.12,32.37,17.8),26第26页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-多元方差分析的例子多元方差

22、分析的例子27第27页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-多元方差分析的例子多元方差分析的例子进一步计算可得进一步计算可得对给定对给定=0.01,利用统计软件利用统计软件(如如SAS系统系统),首先计算首先计算p值值(此时此时检验统计量检验统计量FF(8,108)：p=PF3.09007=0.003538.因因p值值=0.0035380.01=,故否定故否定H0,这表明三个组的指标之间这表明三个组的指标之间有显著的差异有显著的差异.在这种情况下在这种情况下,可能犯第一类错误可能犯第一类错误,且第一

23、类错且第一类错误的概率为误的概率为0.01.28第28页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-多元方差分析的例子多元方差分析的例子 进一步地若还想了解三个组指标间的差异究竟是哪几项指进一步地若还想了解三个组指标间的差异究竟是哪几项指标引起的标引起的,可以对可以对4项指标逐项用一元方差分析方法进行检验项指标逐项用一元方差分析方法进行检验,我们将发现三组指标间只有第一项指标我们将发现三组指标间只有第一项指标X1有显著差异有显著差异.事实上事实上,用一元方差分析检验第一项指标用一元方差分析检验第一项指标X

24、1在三个组中是在三个组中是否有显著差异时否有显著差异时,因因 29第29页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验-多元方差分析的例子多元方差分析的例子其中其中t11和和a11分别是分别是T和和A中的第一个对角元素中的第一个对角元素.p1=PF18.8780=0.0004401(检验统计量检验统计量F1F(2,57)p值值=0.0004401显著地小于显著地小于0.01,故第一项指标故第一项指标X1在三在三个组中有显著差异个组中有显著差异.30第30页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假

25、设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 设设X()(=1,n)为来自为来自p元正态总体元正态总体Np(,)(0未知未知)的随机样本的随机样本,检验检验 H0:0(00为已知阵为已知阵)，H1:0 1.当当0 Ip时检验时检验H0:Ip，H1:Ip 利用似然比原则来导出检验统计量利用似然比原则来导出检验统计量1 当当Ip成立时成立时,似然函数似然函数L(,Ip)在在X达最大值达最大值.31第31页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p

26、元正态总体元正态总体 所以所以似然比统计量似然比统计量 其中其中 32第32页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 利用定理利用定理3.2.1可知可知,当当n很大且很大且H0成立时成立时,=-2ln1的近似分布为的近似分布为2(p(p+1)/2)，参数空间参数空间 的维数为的维数为p+p(p+1)/2,而而 0的维数为的维数为p,故卡方分布的自由度故卡方分布的自由度为为p(p+1)/2.取取作为检验统计量作为检验统计量,按传统检验方法按传统检验方法,对给对给定显著性水平定显著

27、性水平,否定域为否定域为 2,其中其中2 满足：满足：P 2=.33第33页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 2.当当0 I p时检验时检验H0:0,H1:0 因因00，存在，存在p阶非退化阵阶非退化阵D，使，使D0DI p，令令 Y()=DX()(1,n)，则则 Y()N p(D，DD)=N p(*，*)检验检验H 0:0 H0:*I p 从新样本从新样本Y()(=1,n)出发，检验出发，检验H0：*Ip的检验统计量取为的检验统计量取为记为记为34第34页，此课件共83

28、页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 其中其中 若注意到若注意到D0DI p,即即35第35页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 研究似然比统计量研究似然比统计量2的抽样分布是很困难的的抽样分布是很困难的.通常根据定理通常根据定理3.2.1由由2的近似分布来构造检验法的近似分布来构造检验法.当样本容量当样本容量n很大，在很大，在H0成立时，成立时，-2ln2 的极限分布

29、为的极限分布为2(p(p+1)/2).除此外在不同适用范围下还有其它近似分布可用来构造检验除此外在不同适用范围下还有其它近似分布可用来构造检验法法.则似然比统计量则似然比统计量2还可以表示为还可以表示为 36第36页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 3.检验检验H0：20(2 未知未知)当当0 Ip 时此检验常称为球性检验时此检验常称为球性检验.利用似然比原则利用似然比原则来导出检验统计量来导出检验统计量3：当当2给定时给定时,似然函数似然函数L(,20)在在=X达最大值

30、达最大值,且且37第37页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 可得出可得出 38第38页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 所以似然比统计量所以似然比统计量 或等价于或等价于 当样本容量当样本容量n很大，在很大，在H0为真时有以下近似分布：为真时有以下近似分布：39第39页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检

31、验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体 设有设有k个总体个总体Np(t),t)(t=1,k),X()(t)(t1,k;1,n t)来自第来自第t个总体个总体Np(t),t)的随机样本的随机样本,记记nn1+n2+nk.检验检验H0:1=2=k,H1:1,2,k不全相等不全相等.样本样本 X()(t)的似然函数为的似然函数为似然比统计量似然比统计量4为为 40第40页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体 41第41页，此课件共83页哦第三章第

32、三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体 则似然比检验统计量为则似然比检验统计量为(其中其中 A=A1+Ak)42第42页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体 根据无偏性的要求进行修正根据无偏性的要求进行修正,将将4中的中的ni用用ni-1替代替代,n用用n-k替代替代.然后对然后对4取对数取对数,可得到统计量：可得到统计量：当样本容量当样本容量n很大时很大时,在在H0为真时为真时M有以

33、下近似分布：有以下近似分布：(1-d)M=-2(1-d)ln4*2(f)其中其中 f=p(p+1)(k-1)/2,43第43页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体(例例)例例3.4.1 对例对例3.3.2表表3.3中给出的身体指标化验数据中给出的身体指标化验数据,试试判断三个组判断三个组(即三个总体即三个总体)的协差阵是否相等的协差阵是否相等(=0.10)解解 这是三个这是三个4维正态总体的协差阵是否相等的检验问题维正态总体的协差阵是否相等的检验问题.设第设第i组为组为4维总

34、体维总体N4(i),i)(i=1,2,3).来自三个总体的样本容量来自三个总体的样本容量n1=n2=n3=20.检验检验H0:123,H1:1,2,3至至少少有有一一对对不不相相等等.在在H0成成立时立时,取近似检验统计量为取近似检验统计量为2(f)统计量：统计量：由样本值计算三个总体的样本协差阵：由样本值计算三个总体的样本协差阵：44第44页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体(例例)45第45页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假

35、设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体(例例)46第46页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体(例例)进一步计算可得进一步计算可得 47第47页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体(例例)对给定对给定=0.10,利用统计软件利用统计软件(如如SAS系统系统)，首先计算，首先计算p值值(设检验统计量设检验统计量2(20)

36、：p=P 20.331621=0.4373646.因因p值值=0.43736460.10=，故，故H0相容相容,这表明这表明三个组的协差阵之间没有显著的差异三个组的协差阵之间没有显著的差异.48第48页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 -多个正态总体均值向量和协差阵的同时检验多个正态总体均值向量和协差阵的同时检验 设有设有k个总体个总体Np(t),t)(t=1,k),X()(t)(t1,k;1,nt)来自第来自第t个总体个总体Np(t,t)的随机样本的随机样本,记记nn1+n2+nk.检验检验 H0:(1)=(2)=(k)=,1

37、=2=k=,H1:(1),(2),(k)或或1,2,k不全相等不全相等.记记 49第49页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 -多个正态总体均值向量和协差阵的同时检验多个正态总体均值向量和协差阵的同时检验 似然比统计量似然比统计量5为为 50第50页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 -多个正态总体均值向量和协差阵的同时检验多个正态总体均值向量和协差阵的同时检验 则检验以上假设则检验以上假设H0的样本的样本 X(t)()似然函数为似然函数为51第51页，此课件共83页

38、哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 -多个正态总体均值向量和协差阵的同时检验多个正态总体均值向量和协差阵的同时检验 若用若用表示当协差阵均相同时检验表示当协差阵均相同时检验k个总体均值向量是否相个总体均值向量是否相等的似然比统计量，将发现这里的检验统计量等的似然比统计量，将发现这里的检验统计量5=4.在实际应用中我们采用类似的修正方法，在在实际应用中我们采用类似的修正方法，在5中用中用nt-1替替代代nt，用，用n-k替代替代n.修正后的统计量记为修正后的统计量记为5*:52第52页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正

39、态总体参数的假设检验3.4 3.4 -多个正态总体均值向量和协差阵的同时检验多个正态总体均值向量和协差阵的同时检验 当样本容量当样本容量n很大，在很大，在H0为真时为真时5*有以下近似分布：有以下近似分布：其中其中 53第53页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 -多个正态总体均值向量和协差阵的同时检验多个正态总体均值向量和协差阵的同时检验 例例3.4.2 对例对例3.3.2表表3.3给出的身体指标化验数据，试给出的身体指标化验数据，试判断三个组判断三个组(即三个总体即三个总体)的均值向量和协差阵是否全都相的均值向量和协差阵是否全

40、都相等等(=0.05)?解解 这是三个这是三个4维正态总体的均值向量和协差阵是否同维正态总体的均值向量和协差阵是否同时相等的检验问题时相等的检验问题.取近似检验统计量为近似取近似检验统计量为近似2统计量：统计量：=-2(1-b)ln5*2(f).由样本值计算三个总体的样本协差阵见例由样本值计算三个总体的样本协差阵见例3.4.1,所有样本的所有样本的总离差阵总离差阵T见例见例3.3.2.进一步计算可得进一步计算可得54第54页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 -多个正态总体均值向量和协差阵的同时检验多个正态总体均值向量和协差阵的同

41、时检验 对给定对给定=0.05,利用统计软件利用统计软件(如如SAS系统系统),首先计算首先计算p值值(设检验统计量设检验统计量 2(28)：p=P 43.1408=0.03373.因因p值值=0.033730.05=,故否定故否定H0,这表明三个组的均值向量这表明三个组的均值向量和协差阵之间有显著的差异和协差阵之间有显著的差异.在这种情况下在这种情况下,可能犯第一类错可能犯第一类错误误,且第一类错误的概率且第一类错误的概率0.05.55第55页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.5 3.5 独立性检验独立性检验 设总体设总体XNp(,),将

42、将X剖分为剖分为k个子向量个子向量,而而和和也相应也相应剖分为剖分为其中其中p=p1+pk,且知且知pt维子向量维子向量X(t)Npt(t),tt)(t1,k).若若k个随机子向量相互独立个随机子向量相互独立,把把p维维(高维高维)随机向量的问题随机向量的问题化为化为k个低维随机向量的问题来处理，在处理多元统计分个低维随机向量的问题来处理，在处理多元统计分析的许多问题中将带来极大的方便析的许多问题中将带来极大的方便.56第56页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.5 3.5 独立性检验独立性检验 在第二章我们已介绍过若在第二章我们已介绍过若X

43、(1),X(k)相互独立相互独立,则有则有ij O(对一切对一切ij).因此检验因此检验X(1),X(k)是否相互独立的问题等是否相互独立的问题等价于检验对任二个子向量价于检验对任二个子向量,其协差阵其协差阵ij 是否等于是否等于O(对一切对一切ij).在正态总体下，独立性检验可化为检验在正态总体下，独立性检验可化为检验H0:ij O(一切一切ij),H1:ij O,至少有一对至少有一对ij.设设X(t)(t1,n，np)为为来来自自总总体体X的的随随机机样样本本.将将样样品品X(t),样本均值样本均值X和样本离差阵和样本离差阵A作相应剖分为作相应剖分为57第57页，此课件共83页哦第三章第三

44、章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.5 3.5 独立性检验独立性检验 用似然比原理用似然比原理,在在H0成立时成立时,X(t)()Npt(t),tt)(t1,k;1,n)且相互独立，故样本的似然函数为且相互独立，故样本的似然函数为 所以似然比统计量的分子为所以似然比统计量的分子为58第58页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.5 3.5 独立性检验独立性检验 似然比统计量为似然比统计量为Box证明了证明了,在在H0成立下当成立下当n时时,-blnV2(f),其中其中 59第59页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态

45、总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.5 3.5 独立性检验独立性检验-例例 例例3.4.1 试试检检验验例例3.2.1女女性性汗汗液液数数据据中中随随机机向向量量X的的三个分量是否相互独立三个分量是否相互独立(=0.05).解解 记记 随随 机机 向向 量量X=(X1,X2,X3),假假 定定XN3(,),且且 记记=(ij).检验检验 H0:12=0,13=0,230,H1:12,13,23不全为不全为0.取检验统计量为取检验统计量为 当当X的三个分量相互独立，且样本容量的三个分量相互独立，且样本容量n很大时很大时,近似于近似于2(f).60第60页，此课件共83页哦第三章第三章

46、 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.5 3.5 独立性检验独立性检验-例例 由表由表3.1的样本值计算样本离差阵的样本值计算样本离差阵A，可得：，可得：此例中此例中n=20,p=3,p1=p2=p3=1,k=3.进一步计算可得进一步计算可得:b=17.1667,f=3,61第61页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.5 3.5 独立性检验独立性检验-例例 对给定显著性水平对给定显著性水平=0.05,用统计软件用统计软件SAS系统计系统计算时，通过计算算时，通过计算p值进行检验：值进行检验：p=P9.7555=0.0207

47、6.因因p值值=0.020760.05=，故否定，故否定H0，即随机向量的，即随机向量的三个分量不相互独立三个分量不相互独立.在这种情况下，可能犯第一类在这种情况下，可能犯第一类错误，且第一类错误的概率为错误，且第一类错误的概率为0.05.62第62页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.6 3.6 正态性检验正态性检验 在在均均值值和和协协差差阵阵的的检检验验中中,以以及及以以后后将将介介绍绍的的一一些些统统计计方方法法中中都都是是假假定定样样本本来来自自p元元正正态态总总体体.所所作作统统计计推推断断的的结结论论是是否否正正确确,在在某某种

48、种意意义义上上取取决决于于实实际际总总体体与与正正态态总总体体接接近近的的程程度度如如何何?因因此此建建立立一一些些方方法法来来检检验验多多元元观观测测数数据据与多元正态数据的差异是否显著是十分必要的与多元正态数据的差异是否显著是十分必要的.设设X()(X1,Xp)(1,n)是是来来自自p元元总总体体X的的样样本本,试试问总体问总体X是否服从是否服从Np(,)分布分布?若若总总体体X(X1,Xp)Np(,),利利用用多多元元正正态态分分布布的的一一些些性质可知性质可知(记记=(1,p),=(ij)pp)：63第63页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假

49、设检验3.6 3.6 正态性检验正态性检验 每个分量每个分量XiN(i,ii)(i1，p).任二个分量任二个分量(Xi,Xj)二元正态分布二元正态分布.设设l=(l1,lp)为任给的为任给的p维常向量维常向量,令令lX,则则N1(l，ll).令令=(X-)-1(X-),则则2(p).正态随机向量正态随机向量X的概率密度等高线为椭球的概率密度等高线为椭球.若若总总体体X为为多多元元正正态态总总体体,必必具具有有以以上上所所列列的的几几条条性性质质.如如果果X具具有有以以上上这这些些性性质质,也也不不一一定定能能得得出出X为为p元元正正态态分分布布.但但如如果果经经过过检检验验,比比如如发发现现某

50、某个个分分量量Xi与与正正态态分分布布有有显显著著差差异异,即即可可得得出出p元元总总体体X与与p元元正正态态分分布布也也有有显显著著差差异异.利利用用以以上上性性质质,要来构造出好的满意的多元正态的整体性检验十分困难要来构造出好的满意的多元正态的整体性检验十分困难.64第64页，此课件共83页哦第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.63.6正态性检验正态性检验-一维边缘分布的正态性检验一维边缘分布的正态性检验 在实际应用中如果经过从多方面得到的检验结果与正在实际应用中如果经过从多方面得到的检验结果与正态分布均无显著性差异，也就认为该总体态分布均无显著性差异，也