现代仿真技术与应用第二章系统的数学模型幻灯片.ppt

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1、现代仿真技术与应用第二章系现代仿真技术与应用第二章系统的数学模型统的数学模型1第1页，共44页，编辑于2022年，星期日现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 章节安排章节安排第一章第一章 概述概述第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型第三章第三章 连续系统的数字仿真连续系统的数字仿真第四章第四章 离散事件系统仿真离散事件系统仿真第五章第五章 面向对象的仿真面向对象的仿真第六章第六章 分布式交互仿真分布式交互仿真第七章第七章 可视化、多媒体、虚拟现实仿真可视化、多媒体、虚拟现实仿真2第2页，共44页，编辑于2022年，星期日 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 第二章系统的数学模型第二章系

2、统的数学模型2.1 2.1 连续系统的数学模型连续系统的数学模型2.2 2.2 离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型3第3页，共44页，编辑于2022年，星期日取决系统动态特性的两大因素：取决系统动态特性的两大因素：现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 第二章系统的数学模型第二章系统的数学模型清晰性清晰性 切题性切题性 精确性精确性 集合性集合性内因内因外因外因建立系统数学模型应遵循的原则：建立系统数学模型应遵循的原则：4第4页，共44页，编辑于2022年，星期日输入系统向量输入系统向量 ，n+1维维2.1.1 常用数学模型的表示形式常用数学模型的表示形式1 1 微分方程形式微分方程形

3、式设线性定常系统输入、输出量是单变量，分别为设线性定常系统输入、输出量是单变量，分别为u(t),y(t)模型参数形式为：模型参数形式为：输出系统向量输出系统向量 ，m+1维维(2-1)现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型5第5页，共44页，编辑于2022年，星期日2.1.12.1.1 常用数学模型的表示形式常用数学模型的表示形式2 传递函数形式传递函数形式在零初始条件下，将在零初始条件下，将(2-1)方程两边进行拉氏变换，则有方程两边进行拉氏变换，则有(2-4)模型参数可表示为模型参数可表示为传递函数分母系数向量传递函数分母系数向量传递函数分子

4、系数向量传递函数分子系数向量用用num=B,den=A分别表示分子，分母参数向量，则可简练的表示为分别表示分子，分母参数向量，则可简练的表示为(num,den)，称为传递函数二对组模型参数，称为传递函数二对组模型参数 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型6第6页，共44页，编辑于2022年，星期日3 状态空间表达式状态空间表达式当系统输入、输出为多变量时，可用向量分别表示为当系统输入、输出为多变量时，可用向量分别表示为U(t),Y(t),系统的内部状态变量为系统的内部状态变量为X(t).模型参数形式为模型参数形式为：系统系数矩阵系统系数矩阵A，

5、系统输入矩阵，系统输入矩阵B系统输出矩阵系统输出矩阵C，直接传输矩阵，直接传输矩阵D简记为简记为(A,B,C,D)形式。形式。(2-5)2.1.1 常用数学模型的表示形式常用数学模型的表示形式 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型式中式中X为为n维状态向量维状态向量7第7页，共44页，编辑于2022年，星期日4 结构图表示结构图表示2.1.1 常用数学模型的表示形式常用数学模型的表示形式 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型k k1 1f f1 1u uy y+-8第8页，共44页，编辑于202

6、2年，星期日1微分方程转换为状态方程微分方程转换为状态方程 2.1.2 数学模型之间的转换数学模型之间的转换 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型(2-6)X=.X X1 1.X X2 2.X Xn n.=AX+Bu=0 1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1 0-a-a0 0 aa1 1 a a2 2 -a -an-1n-1X X1 1X X2 2X Xn n+0 00 01 1uY=CX+u=1 0 0 0 Xa,b,c,d=tf2ss(num,den)a,b,c,d=tf2ss(num,den)9第9页，共44页，编辑于2022

7、年，星期日例例2-12-1设系统微分方程为：设系统微分方程为：y y(3)(3)+6y+6y(2)(2)+11y+11y(1)(1)+6y+6y=6u,y=6u,y为输出量，为输出量，u u为输入量，为输入量，求系统状态空间表达式求系统状态空间表达式2.1.2 数学模型之间的转换数学模型之间的转换 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型解：解：选取状态变量选取状态变量x x1 1=y,x=y,x2 2=y=y(1)(1),x,x3 3=y=y(2)(2)将将x x1 1,x,x2 2，x x3 3代入原方程，得：代入原方程，得：X X1 1.=x

8、=x2 2X X2 2.=x=x3 3X X3 3.=-6x=-6x1 1-11x-11x2 2-6x-6x3 3+6u+6uX=.X X1 1.X X2 2.X X3 3.=AX+Bu=0 1 00 1 00 0 10 0 1-6-6 11 11 6 6X X1 1X X2 2X X3 3+0 00 06 6uY=CX+u=1 0 0 X X1 1X X2 2X X3 310第10页，共44页，编辑于2022年，星期日2.1.2 数学模型之间的转换数学模型之间的转换 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型解：解：把微分方程变形为：把微分方程变形

9、为：例例2 2 系统的微分方程为系统的微分方程为 其中其中y(t)y(t)是输出函是输出函数，数，u(t)u(t)是输入函数。是输入函数。求求系统系统状态空间表达式状态空间表达式。引入状态变量引入状态变量：则有则有：11第11页，共44页，编辑于2022年，星期日2传递函数转换为状态方程（可控标准型）传递函数转换为状态方程（可控标准型）2.1.2 数学模型之间的转换数学模型之间的转换 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型(2-12)设系统传递函数为：设系统传递函数为：X=.0 1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1 0-a-a0 0

10、aa1 1 a a2 2 -a -an-1n-1X X1 1X X2 2X Xn n+0 00 01 1uY=CX=b0 b1 bn-1 X12第12页，共44页，编辑于2022年，星期日2.1.2 数学模型之间的转换数学模型之间的转换 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型例例2.22.2设系统传递函数为：设系统传递函数为：y=-0.5 1.5 0 1 0X+1.5u试写出可控标准型试写出可控标准型+0 00 00 0u0 1 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 1 0 0-11-11 0 0 4 -2 4 -2X X1 1X

11、 X2 2X X4 4X=.0 0 0 1 00 0 0 1 00 0 0 0 10 0 0 0 1X X3 3X X5 50 01 113第13页，共44页，编辑于2022年，星期日上次课回顾上次课回顾 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型1)1)连续系统常用的数学模型连续系统常用的数学模型;外部模型外部模型内部模型内部模型框图框图微分方程转换为状态方程微分方程转换为状态方程传递函数转换为状态方程传递函数转换为状态方程(可控标准型）可控标准型）0 1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1 0-a-a0 0 aa1 1 a a2 2 -

12、a -an-1n-1A=0 00 01 1B=b0 b1 bn-1 C=D=02)2)连续系统数学模型之间的转换连续系统数学模型之间的转换;14第14页，共44页，编辑于2022年，星期日习题习题 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型1)1)系统的微分方程为系统的微分方程为 其中其中y(t)y(t)是输出函数，是输出函数，u(t)u(t)是输入函数。是输入函数。求求系统系统状态空间表达式状态空间表达式。2)2)设系统传递函数为：设系统传递函数为：试写出可控标准型试写出可控标准型15第15页，共44页，编辑于2022年，星期日习题习题 现代仿真技

13、术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型解：解：把微分方程变形为：把微分方程变形为：引入状态变量引入状态变量：例例 系统的微分方程为系统的微分方程为 其中其中y(t)y(t)是输出函数，是输出函数，u(t)u(t)是输入函数。是输入函数。求求系统系统状态空间表达式状态空间表达式。C=1 0D=016第16页，共44页，编辑于2022年，星期日习题习题 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型例设系统传递函数为：例设系统传递函数为：试写出可控标准型试写出可控标准型解：解：17第17页，共44页，编辑于2022年，星

14、期日2传递函数转换为状态方程（可观标准型）传递函数转换为状态方程（可观标准型）现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型X=.0 0 0 0 0 0 -a0-a0 1 0 0 a11 0 0 a1 0 0 0 0 1 1 -a -an-n-1 1X X1 1X X2 2X Xn n+b b0 0b b1 1b bn-1n-1uY=CX=0 0 1 X18第18页，共44页，编辑于2022年，星期日2.1.2 数学模型之间的转换数学模型之间的转换 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型例例2.22.2设系

15、统传递函数为：设系统传递函数为：试写出可观标准型试写出可观标准型+-0.5-0.51.51.50 0u0 0 0 0 -10 0 0 0 -11 0 0 0 -11 0 0 0 -10 0 0 0 0 0 1 -2 1 -2X X1 1X X2 2X X4 4X=.0 1 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 40 0 1 0 4X X3 3X X5 51 10 0y=0 0 0 0 1 X+1.5u19第19页，共44页，编辑于2022年，星期日例题例题 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型设系统传递函数为：设系统传递函数为：试写出可观

16、标准型试写出可观标准型+1 11 10 0uX X1 1X X2 2X=.0 0 -60 0 -61 0 -111 0 -110 1 -60 1 -6X X3 3y=0 0 1 X解：解：A=0 0 -60 0 -61 0 -111 0 -110 1 -60 1 -6B=1 11 10 0C=0 0 1 20第20页，共44页，编辑于2022年，星期日2传递函数转换为状态方程（对角标准型）传递函数转换为状态方程（对角标准型）2.1.2 数学模型之间的转换数学模型之间的转换 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型设系统传递函数为：设系统传递函数为：

17、X=AX+Bu.Y=CXB=1 1 1TC=c1 c2 c2 21第21页，共44页，编辑于2022年，星期日2.1.2 数学模型之间的转换数学模型之间的转换 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型例例2.22.2设系统传递函数为：设系统传递函数为：求其对角标准型求其对角标准型+u1 01 00 2 00 2 0X X1 1X X2 2X=.0 0 -30 0 -3X X3 31 11 11 122第22页，共44页，编辑于2022年，星期日2传递函数转换为状态方程（约当标准型）传递函数转换为状态方程（约当标准型）2.1.2 数学模型之间的转换数

18、学模型之间的转换 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型设系统传递函数为：设系统传递函数为：C=c11 c12 c1r cr+1 cnB=0 0 0 0 1 1 1T第第r行行 1 01 0 1 1 0 0 第第r行行A=23第23页，共44页，编辑于2022年，星期日2.1.2 数学模型之间的转换数学模型之间的转换 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型例例2.22.2设系统传递函数为：设系统传递函数为：求其约当标准型求其约当标准型+u-2 1 0-2 1 00 -2 10 -2 1X X1 1X

19、 X2 2X=.0 0 -30 0 -3X X3 30 01 11 1y=-2 3 1 X24第24页，共44页，编辑于2022年，星期日化状态方程为传递函数化状态方程为传递函数2.1.2 数学模型之间的转换数学模型之间的转换 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型设系统的状态空间表达式为：设系统的状态空间表达式为：在零初始条件下取拉氏变换：在零初始条件下取拉氏变换：+D+D其中其中:adjadj(sI-A(sI-A)为为sI-AsI-A的伴随矩阵的伴随矩阵num,den=ss2tf(a,b,c,d,iu)num,den=ss2tf(a,b,c,

20、d,iu)%iu%iu指定是哪个输入指定是哪个输入 25第25页，共44页，编辑于2022年，星期日2.1.2 数学模型之间的转换数学模型之间的转换 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型例设系统的状态方程为：例设系统的状态方程为：求传递函数求传递函数解解:特征多项式为特征多项式为:伴随矩阵为伴随矩阵为:26第26页，共44页，编辑于2022年，星期日2.2.1 常用数学模型常用数学模型1 1 差分方程差分方程式中：式中：T为采样周期为采样周期,输出变量的初始条件为输出变量的初始条件为(2-54)现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.22.2

21、离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型2 2 z z函数函数对式对式(2-54)两边取两边取z变换变换,并设并设y和和u及其各阶差分的初始值均为及其各阶差分的初始值均为0,可得可得:3 3 离散状态空间表达式离散状态空间表达式4 4 结构图表示结构图表示(2-55)(2-56)27第27页，共44页，编辑于2022年，星期日2.2.1 常用数学模型常用数学模型 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.22.2离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型4 4 结构图表示结构图表示G G1 1(z)(z)G G2 2(z)(z)H(z)H(z)G G3 3(z)(z)u(z)u(z)y(

22、z)y(z)v(z)v(z)+-28第28页，共44页，编辑于2022年，星期日1 线性状态方程的离散化线性状态方程的离散化2.2.2 连续系统的离散化连续系统的离散化 设线性状态方程为：设线性状态方程为：现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.22.2离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型(2-57),其解析解为其解析解为:给定采样间隔给定采样间隔T T，对，对kTkT和和(k+1)T(k+1)T两个采样点的状态变量值为：两个采样点的状态变量值为：用用e eATAT左乘（左乘（2-582-58）,与（与（2-592-59）相减，有）相减，有 ：对（对（2-602-60）积分项进行积分

23、替换，）积分项进行积分替换，=kT+t=kT+t有有 ：(2-58)(2-59)(2-60)(2-61)29第29页，共44页，编辑于2022年，星期日上次课回顾上次课回顾 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型传传递递函函数数转转换换为为状状态态方方程程0 1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1 0-a-a0 0 aa1 1 a a2 2 -a -an-1n-1A=0 00 01 1B=b0 b1 bn-1 C=D=01)1)连续系统数学模型之间的转换连续系统数学模型之间的转换;可观标准型可观标准型可控标准型可控标准型A=0 0 0

24、0 0 0 -a0-a0 1 0 0 a11 0 0 a1 0 0 0 0 1 1 -a -an-n-1 1B=b b0 0b b1 1b bn-1n-1C=0 0 1 D=030第30页，共44页，编辑于2022年，星期日上次课回顾上次课回顾 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型传传递递函函数数转转换换为为状状态态方方程程对角标准型对角标准型B=1 1 1TC=c1 c2 c2 31第31页，共44页，编辑于2022年，星期日上次课回顾上次课回顾 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型传传递递函

25、函数数转转换换为为状状态态方方程程约当标准型约当标准型C=c11 c12 c1r cr+1 cnB=0 0 0 0 1 1 1T第第r行行 1 01 0 1 1 0 0 第第r行行A=32第32页，共44页，编辑于2022年，星期日上次课回顾上次课回顾 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.12.1连续系统的数学模型连续系统的数学模型状态状态方程方程转换转换为传为传递函递函数数+D+D其中其中:adjadj(sI-A(sI-A)为为sI-AsI-A的伴随矩阵的伴随矩阵,求伴随矩阵方法有求伴随矩阵方法有:设系统的状态空间表达式为：设系统的状态空间表达式为：主对角元素：主对角元素：原矩阵该元素

26、所在行列去掉，求行列式；原矩阵该元素所在行列去掉，求行列式；非主对角元素：非主对角元素：原矩阵该元素共扼位置的元素所在行列去掉原矩阵该元素共扼位置的元素所在行列去掉求行列式乘以（求行列式乘以（-1-1）x+yx+y,x,y,x,y为共扼位置的行和列的序号。为共扼位置的行和列的序号。33第33页，共44页，编辑于2022年，星期日1 1 差分方程差分方程 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.22.2离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型2 2 z z函数函数3 3 离散状态空间表达式离散状态空间表达式4 4 结构图表示结构图表示上次课回顾上次课回顾离离散散时时间间系系统统常常用用的的

27、数数学学模模型型34第34页，共44页，编辑于2022年，星期日1 线性状态方程的离散化线性状态方程的离散化2.2.2 连续系统的离散化连续系统的离散化 设线性状态方程为：设线性状态方程为：现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.22.2离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型(2-57),其解析解为其解析解为:给定采样间隔给定采样间隔T T，对，对kTkT和和(k+1)T(k+1)T两个采样点的状态变量值为：两个采样点的状态变量值为：用用e eATAT左乘（左乘（2-582-58）,与（与（2-592-59）相减，有）相减，有 ：对（对（2-602-60）积分项进行积分替换，）积分项进

28、行积分替换，=kT+t=kT+t有有 ：(2-58)(2-59)(2-60)(2-61)35第35页，共44页，编辑于2022年，星期日1 线性状态方程的离散化线性状态方程的离散化2.2.2 连续系统的离散化连续系统的离散化 若若u(t)u(t)未知，采用近似方法对在未知，采用近似方法对在kTkT和和(k+1)T(k+1)T两个采样时刻之间的输入量两个采样时刻之间的输入量u(kT+t)u(kT+t)进行处理：进行处理：现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.22.2离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型1)1)令令u(kT+t)u(kT+t)u(kT),u(kT),代入（代入（2-61

29、2-61）：(2-62)(2-64)2)2)通过通过kTkT和和(k+1)T(k+1)T两个时刻点做直线逼近有两个时刻点做直线逼近有 ：36第36页，共44页，编辑于2022年，星期日2 传递函数的离散化传递函数的离散化2.2.2 连续系统的离散化连续系统的离散化 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.22.2离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型1)1)加入采样器和信号保持器加入采样器和信号保持器 ：对系统的输入进行采样，得到离散的输入量；对系统的输入进行采样，得到离散的输入量；然后用信号保持器将其恢复为连续信号；然后用信号保持器将其恢复为连续信号；作用到作用到G(S)G(S)后的

30、输出再做同样的采样，得到离散的输出量。后的输出再做同样的采样，得到离散的输出量。2)2)替换法：替换法：通过求出通过求出s s与与z z的替换公式，将的替换公式，将G(G()转换为转换为G(z),G(z),欧拉法和图斯汀法欧拉法和图斯汀法3)3)根匹配法：根匹配法：利用利用s s与与z z的转换关系的转换关系z=exp(sT)z=exp(sT)，得到，得到z z平面的零、极点位置，得到平面的零、极点位置，得到G(z)G(z)37第37页，共44页，编辑于2022年，星期日2 传递函数的离散化传递函数的离散化2.2.2 连续系统的离散化连续系统的离散化 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.

31、22.2离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型1)1)加入采样器和信号保持器加入采样器和信号保持器 ：(2-65)y(kT)y(kT)y(t)y(t)信号保持器信号保持器G Gh h(s)(s)G(s)G(s)u(t)u(t)u(kT)u(kT)G(z)G(z)保持器的传递函数保持器的传递函数Gh(s)脉冲传递函数脉冲传递函数G(z)零阶：零阶：一阶：一阶：三角形：三角形：38第38页，共44页，编辑于2022年，星期日传递函数的离散化传递函数的离散化2.2.2 连续系统的离散化连续系统的离散化 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.22.2离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模

32、型若若G(s)=1/s,G(s)=1/s,求分别加入零阶、一阶和三角保持器时离散化后的差分方程求分别加入零阶、一阶和三角保持器时离散化后的差分方程 ：零阶保持器：零阶保持器：一阶保持器：一阶保持器：39第39页，共44页，编辑于2022年，星期日传递函数的离散化传递函数的离散化2.2.2 连续系统的离散化连续系统的离散化 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.22.2离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型若若G(s)=1/s,G(s)=1/s,求三角保持器时离散化后的差分方程求三角保持器时离散化后的差分方程 ：三角保持器：三角保持器：40第40页，共44页，编辑于2022年，星期日2

33、 传递函数的离散化传递函数的离散化2.2.2 连续系统的离散化连续系统的离散化 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.22.2离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型2 2）替换法替换法 ：(2-72)a)a)欧拉变换欧拉变换41第41页，共44页，编辑于2022年，星期日2 传递函数的离散化传递函数的离散化2.2.2 连续系统的离散化连续系统的离散化 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.22.2离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型2 2）替换法替换法 ：(2-72)b)b)图斯汀法图斯汀法稳定性：稳定性：a a小于等于小于等于0 042第42页，共44页，编辑于2022

34、年，星期日例例2.52.5给定二阶系统的传递函数为：给定二阶系统的传递函数为：用替换法求系统的脉冲传递函数用替换法求系统的脉冲传递函数G(z)G(z)及差分方程（及差分方程（T=1T=1）现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.22.2离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型2.2.2 连续系统的离散化连续系统的离散化 差分方程：差分方程：y(k+1)=1.11y(k)-0.852y(k-1)+0.185u(k+1)+0.37u(k)+0.185u(k-1)y(k+1)=1.11y(k)-0.852y(k-1)+0.185u(k+1)+0.37u(k)+0.185u(k-1)差分方程：差分方程：y(k+1)=1.8y(k)-1.8y(k-1)+u(k-1)y(k+1)=1.8y(k)-1.8y(k-1)+u(k-1)43第43页，共44页，编辑于2022年，星期日作业作业 现代仿真技术与应用现代仿真技术与应用 2.22.2离散时间系统的数学模型离散时间系统的数学模型P43 P43 1 1，2 2，3-13-1，3-23-244第44页，共44页，编辑于2022年，星期日