正弦定理和余弦定理(教育精品).ppt

《正弦定理和余弦定理(教育精品).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正弦定理和余弦定理(教育精品).ppt（48页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、正弦定理和余弦定理临泉实验中学 主讲人：孟伟正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理内容内容 =_=_=_=2R(R=_=2R(R是是ABCABC外接圆的半外接圆的半径径)在在ABCABC中，有中，有a a2 2=_;=_;b b2 2=_=_；c c2 2=_=_b b2 2+c+c2 2-2bccos A-2bccos Ac c2 2+a+a2 2-2cacos B-2cacos Ba a2 2+b+b2 2-2abcos C-2abcos C定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理变形变形公式公式aa=_,=_,b b=_,=_,c c=_=_；sin

2、 sin AsinAsin BsinBsin C C=_=_；sin A=sin A=sin B=sin B=_,_,sin Csin C=_=_；cos A=_;cos A=_;cos B=_;cos B=_;cos C=_cos C=_2Rsin A2Rsin A2Rsin B2Rsin B2Rsin C2Rsin Cabcabc定理定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理解决的解决的问题问题已知两角和任一边，已知两角和任一边，求其他边和角求其他边和角已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角，求其他边和角的对角，求其他边和角已知三边已知三边,求各角求各角已知两边和它们的已知两边和它们的夹角夹

3、角,求第三边和其他求第三边和其他角角 判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”或或“”).).(1)(1)在在ABCABC中，中，A AB B必有必有sin Asin Asin B.()sin B.()(2)(2)正弦定理对钝角三角形不成立正弦定理对钝角三角形不成立.().()(3)(3)在在ABCABC中共有三个角、三个边六个量，可以已知三个量求中共有三个角、三个边六个量，可以已知三个量求另外三个量另外三个量.().()(4)(4)余弦定理对任何三角形均成立余弦定理对任何三角形均成立.().()(5)(5)正弦定理可以实现边角互化，但余弦定理不可以正弦定理可以实

4、现边角互化，但余弦定理不可以.().()【解析解析】(1)(1)正确正确.A.AB,aB,ab,b,由正弦定理可得由正弦定理可得又又sin Bsin B0,0,sin Asin Asin B.sin B.(2)(2)错误错误.正弦定理对任意三角形均成立正弦定理对任意三角形均成立.(3)(3)错误错误.当已知三个角时不能求三边当已知三个角时不能求三边.(4)(4)正确正确.由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用.(5)(5)错误错误.余弦定理可以实现角化边，也能实现边化角余弦定理可以实现角化边，也能实现边化角.答案答案:(1)(2)(1)(2)(3)(3

5、)(4)(5)(4)(5)1.1.在在ABCABC中，中，a=3,A=30a=3,A=30,B=60,B=60，则，则b b等于等于()()【解析解析】选选A.A.由正弦定理得由正弦定理得2.2.在在ABCABC中，中，a=4,C=30a=4,C=30，则边，则边c c等于等于()()【解析解析】选选B.B.由余弦定理得由余弦定理得3.ABC3.ABC满足满足acosacos B=B=bcosbcos A A，则，则ABCABC的形状为的形状为()()(A)(A)直角三角形直角三角形(B)(B)等边三角形等边三角形(C)(C)等腰三角形等腰三角形(D)(D)等腰直角三角形等腰直角三角形【解析解

6、析】选选C.C.由由acosacos B=B=bcosbcos A A及正弦定理得，及正弦定理得，sin sin AcosAcos B=sin B=sin BcosBcos A A，即即sin sin AcosAcos B-B-coscos AsinAsin B=0,B=0,故故sin(Asin(A-B)=0.-B)=0.A,BA,B为为ABCABC的内角，的内角，A-B=0A-B=0，A=B,A=B,所以所以ABCABC是等腰三角形是等腰三角形.4.4.在在ABCABC中，中，B B3030，C C120120，则，则abcabc_._.【解析解析】A A180180303012012030

7、30，由正弦定理得，由正弦定理得，abcabcsin sin AsinAsin BsinBsin C C1111答案答案:11115.5.在在ABCABC中，已知中，已知a a2 2b b2 2bcbcc c2 2，则角，则角A A等于等于_._.【解析解析】由已知得由已知得b b2 2c c2 2a a2 2bcbc，coscos A A又又0 0A A，答案答案:考向考向 1 1 正弦定理的应用正弦定理的应用【典例典例1 1】(1(1)ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C的的对边对边分分别别是是a,b,ca,b,c,若若B=2A,a=1,b=,B=2A,a=1,b=,则则c=(c=

8、()(A)2 (B)2 (C)(D)1(A)2 (B)2 (C)(D)1(2)(2)如图如图,在在ABCABC中，点中，点D D在在BCBC边上，边上，求求sinABDsinABD的值的值;求求BDBD的长的长.【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据角的关系结合正弦定理求出角根据角的关系结合正弦定理求出角A,A,然后求然后求出角出角B,CB,C后再求解后再求解.(2)(2)利用利用ABD=ADC-BADABD=ADC-BAD及两角差的正弦公式求解；及两角差的正弦公式求解；利利用正弦定理求解用正弦定理求解.【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.由由B=2A,B=2A,则则sin B=sin

9、2Asin B=sin 2A，由正弦定理知，由正弦定理知 即即所以所以coscos A=A=，所以，所以A=A=，B=2A=B=2A=，所以，所以C=C=B BA=A=，所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=1+3=4=1+3=4，故，故c=2.c=2.(3)(3)三角形中等边对等角三角形中等边对等角,大边对大角大边对大角,反之亦然反之亦然;三角形中任意三角形中任意两边之和大于第三边两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边任意两边之差小于第三边.【变式训练变式训练】1.1.已知已知ABCABC中，中，a,b,ca,b,c分别是角分别是角A,B,CA,B,C的对的对边，边，B=60

10、B=60，则，则A=()A=()(A)135(A)135 (B)45 (B)45(C)135(C)135或或4545 (D)90 (D)90【解析解析】选选B.B.依题意，由正弦定理依题意，由正弦定理 得，得，解得解得sin A=sin A=，又，又b ba a，A=45A=45.2.2.在锐角在锐角ABCABC中，角中，角A,B,CA,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c，若，若b=2b=2，B=B=且且csincsin A=A=acosacos C C，则，则ABCABC的面积为的面积为_._.【解析解析】c csinsin A=A=a acoscos C,C,由正弦定理

11、得：由正弦定理得：sin sin C Csinsin A=sin A=sin A Acoscos C C，sin A0,sin C=sin A0,sin C=coscos C,C,tan C=.tan C=.又又ABCABC是锐角三角形，是锐角三角形，A=B=C=A=B=C=，a=b=c=2,a=b=c=2,SSABCABC=答案：答案：考向考向 2 2 余弦定理的应用余弦定理的应用【典例典例2 2】(1)(1)在在ABCABC中，中，(2a-c)cos B=(2a-c)cos B=bcosbcos C,C,则角则角B B等等于于()()(2)(2)已知已知ABCABC中，中，sin sin

12、AsinAsin BsinBsin C=324 C=324，则，则coscos C C等于等于()()(3)(3)在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c，且满足，且满足 则边则边a=()a=()【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用余弦定理代入整理转化可求利用余弦定理代入整理转化可求.(2)(2)利用已知条件及正弦定理得利用已知条件及正弦定理得a,b,ca,b,c的关系，再利用余弦定理的关系，再利用余弦定理可求可求.(3)(3)利用已知可得利用已知可得coscos A A及及b b，c c的值，从而利用余弦定理可求的值，从而利用余弦定理

13、可求a.a.【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.由由(2a-c)cos B=(2a-c)cos B=bcosbcos C C得得(2)(2)选选B.B.由由sin Asin Bsin C=324,sin Asin Bsin C=324,abc=324.abc=324.故设故设a=3k,a=3k,则则b=2k,c=4k,b=2k,c=4k,由由bc=5bc=5，且，且b+c=6b+c=6，解得，解得【互动探究互动探究】若将本例题若将本例题(3)(3)中的中的【解析解析】【拓展提升拓展提升】正、余弦定理的相互转化正、余弦定理的相互转化正、余弦定理在应用时正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，

14、尤其是其变形应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化可相互转化.如如a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccos A-2bccos A可以转化为可以转化为sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+B+sinsin2 2C-2sin Bsin Ccos AC-2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与，利用这些变形可进行等式的化简与证明证明.【变式备选变式备选】在在ABCABC中，中，a,ba,b，c c分别是角分别是角A A，B B，C C的对边，的对边，且且 (1)(1)求角求角B B的大小的大小.(2)(2)若若 求求a,ca,c的值的值.【

15、解析解析】(1)(1)由余弦定理知：由余弦定理知：考向考向 3 3 利用正、余弦定理判断三角形的形状利用正、余弦定理判断三角形的形状【典例典例3 3】(1)(1)在在ABCABC中，若中，若sin A=2sin Bcos Csin A=2sin Bcos C，则，则ABCABC是是()()(A)(A)锐角三角形锐角三角形 (B)(B)等腰三角形等腰三角形(C)(C)钝角三角形钝角三角形 (D)(D)直角三角形直角三角形(2)(2)在在ABCABC中，中，a a，b b，c c分别为内角分别为内角A A，B B，C C的对边，且的对边，且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin

16、 C.2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.求求A A的大小；的大小；若若sin B+sin C=1sin B+sin C=1，试判断，试判断ABCABC的形状的形状.【思路点拨思路点拨】(1)(1)将将sin Asin A转化为转化为sin(B+C)sin(B+C)展开可求展开可求.(2)(2)利用正弦定理角化边转化，再结合余弦定理可解；利用正弦定理角化边转化，再结合余弦定理可解；利用利用C=-(A+B)C=-(A+B)转化为关于角转化为关于角B B的关系式求解角的关系式求解角B B可判断可判断.【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.由由sin A=sin A

17、=sin(B+Csin(B+C)得得sin(B+Csin(B+C)=2sin)=2sin BcosBcos C C，即即sin sin BcosBcos C+cosC+cos BsinBsin C=2sin C=2sin BcosBcos C,C,即即sin Bcos C-cos Bsin C=0,sin Bcos C-cos Bsin C=0,得得sin(B-C)=0.sin(B-C)=0.又又B B，C C为为ABCABC的内角的内角,故故B-C=0B-C=0，即，即B=CB=C，故，故ABCABC为等腰三角形为等腰三角形.(2)(2)由已知，根据正弦定理得由已知，根据正弦定理得2a2a2

18、 2=(2b+c)b+(2c+b)c=(2b+c)b+(2c+b)c，即即a a2 2=b=b2 2+c+c2 2+bc+bc，由余弦定理得由余弦定理得a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccos A-2bccos A，故故cos A=A=120cos A=A=120.由由得得sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C+sin Bsin C.C+sin Bsin C.又又sin B+sin C=1sin B+sin C=1，得，得sin B=sin C=sin B=sin C=因为因为0 0B90B90,0,0C90C90,故故B=C=30B=C=30,

19、所以所以ABCABC是等腰的钝角三角形是等腰的钝角三角形.【互动探究互动探究】若将本例题若将本例题(1)(1)中条件改为中条件改为“sin B=sin B=coscos AsinAsin C C”，则，则ABCABC的形状如何？的形状如何？【解析解析】由由sin B=sin B=coscos AsinAsin C C得得sin(A+Csin(A+C)=)=coscos AsinAsin C,C,即即sin Acos C+cos Asin C=cos Asin C,sin Acos C+cos Asin C=cos Asin C,故故sin Acos C=0.sin Acos C=0.又又0 0

20、A A,故故sin Asin A0,0,所以所以cos C=0,cos C=0,故故C=C=因而因而ABCABC是直角三角形是直角三角形.【拓展提升拓展提升】1.1.三角形形状的判断思路三角形形状的判断思路(1)(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等.(2)(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.2.判定三角形形状的两种常用途径判定三角形形状的两种常用途径(1)(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角通过正弦定理和余弦定理，化边为角,利用三角变换得出三利用三角变换得

21、出三角形内角之间的关系进行判断角形内角之间的关系进行判断.(2)(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边利用正弦定理、余弦定理，化角为边,通过代数恒等变换，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断求出边与边之间的关系进行判断.【提醒提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件挖掘隐含条件.另外另外,在变形过程中要注意角在变形过程中要注意角A A，B B，C C 的范围对的范围对三角函数值的影响三角函数值的影响.【变式备选变式备选】(1)(1)在在ABCABC中，中，则则ABCABC的形状为的形状为()()(A)(A)直角三角

22、形直角三角形 (B)(B)等腰三角形等腰三角形(C)(C)等边三角形等边三角形 (D)(D)等腰直角三角形等腰直角三角形(2)ABC(2)ABC中，已知中，已知a-b=a-b=ccosccos B-B-ccosccos A A，则，则ABCABC的形状的形状为为()()(A)(A)等腰三角形等腰三角形 (B)(B)直角三角形直角三角形(C)(C)等腰直角三角形等腰直角三角形 (D)(D)等腰或直角三角形等腰或直角三角形(3)ABC(3)ABC中，若中，若b=b=asinasin C,cC,c=acosacos B,B,则则ABCABC的形状为的形状为()()(A)(A)等腰三角形等腰三角形 (

23、B)(B)直角三角形直角三角形(C)(C)等腰直角三角形等腰直角三角形 (D)(D)等腰或直角三角形等腰或直角三角形【解析解析】(1)(1)选选B.B.方法一：方法一：acosacos(A)A)bcosbcos(B)B)，asinasin A Absinbsin B.B.由正弦定理可得由正弦定理可得：a a2 2=b=b2 2，a ab b，ABCABC为等腰三角形为等腰三角形.方法二：方法二：acosacos(-A)(-A)bcosbcos(-B)(-B)，asin Aasin Absin B.bsin B.由正弦定理可得：由正弦定理可得：2Rsin2Rsin2 2A A2Rsin2Rsin

24、2 2B B，即，即sin Asin Asin Bsin B，A AB.(AB.(AB B不合题意舍去不合题意舍去)故故ABCABC为等腰三角形为等腰三角形.(2)(2)选选D.D.由已知结合余弦定理可得由已知结合余弦定理可得 整理得整理得(a-b)(a(a-b)(a2 2+b+b2 2-c-c2 2)=0,a=b)=0,a=b或或a a2 2+b+b2 2=c=c2 2,ABC,ABC为等腰或直角三角形为等腰或直角三角形.(3)(3)选选C.C.由由b=b=asinasin C C可知可知 由由c=c=acosacos B B可知可知 整理得整理得b b2 2+c+c2 2=a=a2 2，即三角形一定是直角三角形，即三角形一定是直角三角形，A=90A=90,sin C=sin B,sin C=sin B，B=CB=C，ABCABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形.