随机变量的概念与离散型随机变量.pptx

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1、第二章第二章 主要内容主要内容 n2.1 随机变量的概念与离散型随机变量随机变量的概念与离散型随机变量n2.3 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度n2.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数n2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布第1页/共61页 2.1 随机变量的概念与随机变量的概念与离散型随机变量离散型随机变量Random Variable and Distribution第2页/共61页出现出现1点点出现出现2点点出现出现3点点出现出现4点点出现出现5点点出现出现6点点X123456P例：例：E:E:E:E:掷一颗骰子掷一颗骰子掷一颗骰子掷一颗骰子 ,观察点数观

2、察点数.如何引入随机变量如何引入随机变量n基本思想基本思想将样本空间数量化将样本空间数量化,即用即用数值数值来表示试验的结果来表示试验的结果第3页/共61页又如：又如：1.某个灯泡的某个灯泡的使用寿命为使用寿命为X。X的可能取值为的可能取值为0,+)2.某电话总机在一分钟内收到的某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数为呼叫次数为Y.Y的可能取值为的可能取值为0，1，2，3，.,3.3.设箱中有设箱中有10个球，其中有个球，其中有2个红球，个红球，8个白个白球；球；从中任意抽取从中任意抽取2个个,观察观察抽球结果。抽球结果。取球结果为取球结果为两个红球两个红球一红一白一红一白两个白球两个白球X表示取

3、得表示取得的的红球数红球数2 21 10 0第4页/共61页未中未中中了中了赢了赢了输了输了不发生不发生发生发生不合格不合格合格合格不健康不健康健康健康不好不好好好 n 有些随机试验的结果不是用数量来表示，有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化但可数量化实验所有实验所有结果结果X10第5页/共61页随机变量的定义随机变量的定义定义定义2.1.1设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为，如果对于每一，如果对于每一个样本点个样本点 ，均有唯一的实数，均有唯一的实数 与与之对应，称之对应，称 为样本空间为样本空间上上的随机变量的随机变量（Random Variable）。W WxX=X(

4、1)0X=X(2)第6页/共61页随机变量的特征随机变量的特征:1.任一随机事件就可以用随机变量在实数轴上的某一集合中的取值来表示，任一随机事件就可以用随机变量在实数轴上的某一集合中的取值来表示，2.随机变量是定义在样本空间上随机变量是定义在样本空间上的的(样本空间的元素不一定是实数样本空间的元素不一定是实数)一个函数，一个函数，而而普通函数是定义在实数轴上的一个函数普通函数是定义在实数轴上的一个函数，这是二者的差别之一这是二者的差别之一.第7页/共61页3作为样本空间上的函数，作为样本空间上的函数，随机变量的取值随试验的结果而定随机变量的取值随试验的结果而定,随机变量的取值也有一定的概率随机

5、变量的取值也有一定的概率，这是随机变量与普通函数的差别之二这是随机变量与普通函数的差别之二.随机变量的特征随机变量的特征:第8页/共61页 通过引进随机变量的概念，能够把不同通过引进随机变量的概念，能够把不同的的样本空间样本空间抽象化为一些定量的抽象化为一些定量的实数实数，由此，由此就就可以利用高等数学的有关方法来研究随机可以利用高等数学的有关方法来研究随机现象。现象。第9页/共61页例例1：在掷骰子试验中，在掷骰子试验中，例例2 观察一个电话交换台在一段时间观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内接到的呼叫次数。内接到的呼叫次数。用随机变量表示事件用随机变量表示事件X表示出现的点数表示出现的

6、点数用随机变量用随机变量X表示事件表示事件出现偶数点出现偶数点出现的点数小于出现的点数小于4X=2 X=4 X=6X4或X 3X表示呼叫次数表示呼叫次数用随机变量用随机变量X表示事件表示事件接到的呼叫次数接到的呼叫次数k次次收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫第10页/共61页什么是随机变量什么是随机变量X的概率分布？的概率分布？一般地，随机变量一般地，随机变量X取值的概率取值的概率称为该随机变量称为该随机变量X的的概率分布概率分布第11页/共61页取球结果为取球结果为两个红球两个红球两个红球两个红球一红一白一红一白一红一白一红一白两个白球两个白球两个白球两个白球X表示取得表示取得的的红球数红球

7、数2 21 10P例例例例 设箱中有设箱中有10个球，其中有个球，其中有2个红球，个红球，8个白个白球；球；从中任意抽取从中任意抽取2个个,观察观察抽球结果。抽球结果。第12页/共61页3.使我们用分析的方法来研究随机试验成为可能使我们用分析的方法来研究随机试验成为可能随机变量是研究随机试验的有效工具随机变量是研究随机试验的有效工具引入随机变量的意义引入随机变量的意义 1.随机事件的发生可以用随机变量的取值表示随机事件的发生可以用随机变量的取值表示2.可以用随机变量取值的概率来研究随机事件发生的概率，从而将随机事件概率可以用随机变量取值的概率来研究随机事件发生的概率，从而将随机事件概率的研究转

8、化为随机变量取值概率的研究的研究转化为随机变量取值概率的研究.第13页/共61页随机变量的类型随机变量的类型随即变量的取值有无穷多个，且不可列其中其中连续型连续型随机变量是一种重要类型随机变量是一种重要类型 离散型离散型非离散型非离散型随机变量的所有取值是有限个或可列个第14页/共61页2.1.2 离散随机变量及其分布离散随机变量及其分布称此式为称此式为X的的分布律（列）分布律（列）或或概率分布（概率分布（Probabilitydistribution)设离散型随机变量设离散型随机变量X的所有可能取值是的所有可能取值是 ，而取值，而取值 的概率为的概率为即如果随机变量如果随机变量X的所有取值是

9、的所有取值是有限个或可列个有限个或可列个,则称则称X为离散型随机为离散型随机变量。变量。定义定义2.1.2第15页/共61页要研究离散型随机变量要研究离散型随机变量X的分布律，的分布律，就要完成如下两件事：就要完成如下两件事：1随机变量的随机变量的取值及其范围取值及其范围是什么？是什么？2它取每个值或在某个范围内它取每个值或在某个范围内取值的概率取值的概率是多少？是多少？第16页/共61页全面表达了全面表达了X的所有可能取值的所有可能取值以及取各个值的概率情况以及取各个值的概率情况 p1，p2 ，p K P x1，x2 ，xk X离散随机变量分布律的表示法离散随机变量分布律的表示法1.公式法公

10、式法2.表格法表格法随机变量随机变量X的的概率分布特征：概率分布特征：第17页/共61页两条性质两条性质 第18页/共61页第19页/共61页.一袋中有一袋中有5只乒乓球，编号为只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时在其中同时取取3只只，以，以X表示取出的表示取出的3只球中的只球中的最大号码最大号码，写出随机变量写出随机变量X的分布律的分布律.X345P0.10.30.6例例1求求分布律分布律【解解】P(X=3)P(X=4)P(X=5)X=3、4、5第20页/共61页设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为试确定常数试确定常数b.解解例例2第21页/共61页设设X的分布律为的分布律为

11、求求P(0X2)P(0X2)例例3：由分布律确定概率由分布律确定概率解解 =1/2+1/6=2/3=P（X=1）+P（X=2）第22页/共61页例例4某系统有两台机器相互独立地运转。设第一台与第二台机器发生故障的概率某系统有两台机器相互独立地运转。设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为分别为0.1，0.2，以，以X表示系统中发生故障的机器数，表示系统中发生故障的机器数，求求X的分布律的分布律解解故所求概率分布为：故所求概率分布为：X=0、1、2PX=0=PX=1=PX=2=第23页/共61页例例5：设有一批产品设有一批产品20件，其中有件，其中有3件次品，从中任意抽取件次品，从中任意抽取2件

12、，件，如果用如果用X表示取得表示取得的的次品数次品数，求随机变量，求随机变量X的分布律及事件的分布律及事件“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”的概率。的概率。X的可能取值为的可能取值为0，1，2解解：PX=0PX=1PX=2故故 X的分布律为的分布律为第24页/共61页X的分布律为的分布律为P“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”=PX=1+PX=2PX1第25页/共61页从一批次品率为从一批次品率为p的产品中，有的产品中，有放回抽样直到放回抽样直到抽到次品为止抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律的分布律。解解记记Ai=“第第i次次取到正品取到正品”,i=

13、1,2,3,则则Ai,i=1,2,3,是相互独立的！是相互独立的！X的的所有所有可能取值为可能取值为1，2，3，,k,P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,X=k=例例6第26页/共61页例例7：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过过3个独立的交通灯个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为为红灯的概率为p，0p1，以以X表示首次停车时表示首次停车时所所通过的交通灯数通过的交通灯数，求，求X的概率分布律。的概率分布律。pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3解：设解：设Ai=第第i个灯为红灯个灯

14、为红灯，则则P(Ai)=p，i=1,2,3且且A1,A2,A3相互独立。相互独立。PX=0=PX=1=PX=2=PX=3=第27页/共61页2.1.2 几种常见的离散型分布几种常见的离散型分布2.1.3.1 0-1分布分布(二点分布二点分布)1ppP01 X则称则称X服从服从参数为参数为p的的二点分布二点分布或或(0-1)分布分布,定义定义定义定义2.1.32.1.3：若随机变量若随机变量X的分布律为的分布律为:第28页/共61页 其中0 p 0,则称X服从参数为 的泊松分布泊松分布XP()n定义定义2.1.5若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为:记为记为第37页/共61页泊松分布的

15、图形泊松分布的图形第38页/共61页泊松分布的图形泊松分布的图形第39页/共61页泊松分布的图形泊松分布的图形第40页/共61页泊松分布的图形泊松分布的图形第41页/共61页泊松泊松(1781-1840)(1781-1840)法国数学家法国数学家 青年时期曾学过医学青年时期曾学过医学,后因喜好数学后因喜好数学于于17981798年入巴黎综合工科学院深造。他年入巴黎综合工科学院深造。他的数学才能受到拉格朗日和拉普拉斯的注的数学才能受到拉格朗日和拉普拉斯的注意。意。泊松的科学生涯开始于研究微分方程泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其单摆的运动和声学理论中的应用。他及其单摆的运动和声学理论中的应用。

16、他工作的特色是应用数学方法研究各类力学工作的特色是应用数学方法研究各类力学和物理问题，并由此得到数学上的发现。和物理问题，并由此得到数学上的发现。他对积分理论、热物理，弹性理论、电他对积分理论、热物理，弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。第42页/共61页泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初二十世纪初罗瑟福罗瑟福和和盖克盖克两位科学家在观察两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时,他们做了他们做了2608 次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5 秒秒)发现发现放射性物质在规

17、定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子其放射的粒子数数X 服从服从泊松分布泊松分布.第43页/共61页服务台在某时间段内接待的服务台在某时间段内接待的服务次数；服务次数；交换台在某时间段内接到交换台在某时间段内接到呼叫的次数呼叫的次数;矿井在某段时间矿井在某段时间发生事故的次数发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内显微镜下相同大小的方格内微生物的数目微生物的数目；单位体积空气中含有单位体积空气中含有某种微粒的数目某种微粒的数目体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其其参数参数 可以由观测值的

18、平均值求出。可以由观测值的平均值求出。实际问题中若干随机变量实际问题中若干随机变量服从或近似服服从或近似服从从Poisson分布的情形：分布的情形：第44页/共61页Poisson分布的性质性质第45页/共61页 例例1：设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为其中其中k=0，1，2，0为常数，试确定常数为常数，试确定常数a.【解解】由分布律的性质知由分布律的性质知第46页/共61页例例:已知某已知某电话电话交交换换台每分台每分钟钟接到的呼接到的呼唤唤次次数数X X服服从从=4=4的的泊松分布泊松分布，分，分别别 求求（1 1）每分）每分钟钟内内恰好接到恰好接到3 3次次呼呼唤唤的的概概率；

19、率；（2 2）每分）每分钟钟不超不超过过4 4次次的的概概率率解解第47页/共61页定理定理定理定理2.1.12.1.1 （泊松定理（泊松定理（泊松定理（泊松定理 ）实际应用中实际应用中：当当n较大较大,p较小，较小，np适中时适中时，即可用泊松公式近似即可用泊松公式近似替换替换二二项概率公式项概率公式二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似The Poisson Approximation to the Binomial Distribution第48页/共61页二项分布二项分布 泊松分布泊松分布第49页/共61页例例 某人骑摩托车上街某人骑摩托车上街,出事故率为出事故率为0.02，独立重复上街

20、独立重复上街400次，求出事故次，求出事故至少两次至少两次的概率的概率.解解400次上街次上街400重重Bernoulii实验实验记记记记XX为出事故的次数，则为出事故的次数，则为出事故的次数，则为出事故的次数，则1-e1-e-8-8-8e-8e-8-8 0.9972 P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)结果表明，随着实验次数的增多，结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！小概率事件总会发生的！=1-0.98=1-0.98 400400-400-400（0.02)(0.980.02)(0.98 399399)0.9970 第50页/共61页若某人做某事的成功率为若某人做某事的

21、成功率为1%，他重复努力，他重复努力400次次，成功次数服从二项概率成功次数服从二项概率 有百分之一的希望，就要做百分之百的努力有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 则至少成功一次的概率为则至少成功一次的概率为1-e-8第51页/共61页例例2.1.8 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在在某天的该时段内有某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数辆汽车通过，问出事故的次数不小于不小于2的概率是多少的概率是多少（利用泊松定理）（利用泊松定理）？【解法一解法一

22、】设设X表示出事故的次数，表示出事故的次数，则则XB（1000，0.0001）第52页/共61页查泊松表：查泊松表：P196解法二：解法二：第53页/共61页例例2.1.9有有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险险.在一年中每个人死亡的概率为在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在，每个参加保险的人在1月月1日须交日须交12元保险费，而在死亡时家属可从元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取保险公司领取2000元赔偿金元赔偿金.求：求：（1）保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别保险公司

23、获利分别不少于不少于10000元的概率元的概率.（1）保险公司总收入为250012=30000元.【解解】以以“年年”为单位来考虑为单位来考虑.设设1年中死亡人数为年中死亡人数为X，则，则XB(2500,0.002)，则则保险公司亏本的保险公司亏本的概率为概率为第54页/共61页由于由于n很大，很大，p很小很小，=np=5，故用泊松近似故用泊松近似，有，有(2)P(保险公司获利不少于保险公司获利不少于10000)即保险公司获利不少于即保险公司获利不少于10000元的概率在元的概率在98%以上以上保险公司亏本的概率很小保险公司亏本的概率很小第55页/共61页设随机变量设随机变量X的分布列为的分布列为，则，则P(X5)=P(X3)=P(2X3)=P(1/2X5/2)第56页/共61页一电话交换机每分钟呼唤的次数一电话交换机每分钟呼唤的次数X服从参数服从参数为为的的泊松分布泊松分布，且已知，且已知PX=1=PX=2,求每分钟恰有求每分钟恰有4次呼唤的概率。次呼唤的概率。每分钟恰有每分钟恰有4次次呼唤的概率为：呼唤的概率为：【解】：已知PX=1=PX=2,第57页/共61页第58页/共61页第59页/共61页第60页/共61页感谢您的观看！第61页/共61页