随机过程第六章.pptx

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1、1严平稳过程的定义设设X(t),t T是随机过程，如果对任意常数是随机过程，如果对任意常数和正整数和正整数n n，t1,t2,tn T，t1+,t2+,tn+T，(X(t1),X(t2),X(tn)与与(X(t1+),X(t2+),X(tn+)有相同的联合分布，有相同的联合分布，则称则称X(t),t T为严平稳过程或侠义平稳过程。为严平稳过程或侠义平稳过程。严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。第1页/共26页2宽平稳过程的定义设设X(t),tT是随机过程，如果是随机过程，如果1、X(t),t T

2、是二阶矩过程；2、对任意t T，mX(t)=EX(t)=常数；3、对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s-t)。则称X(t),t T为广义平稳过程，简称为宽平稳过程第2页/共26页3对于严平稳随机过程对于严平稳随机过程X(t)（以实过程为例）的一维分布（以实过程为例）的一维分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+)，若令，若令=-t1，则，则F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1)因此严平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规因此严平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。律相等。若随机过程若随机过程X(t)为严平稳

3、，则其均值、均方值和方差均为常数。为严平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。第3页/共26页4对于严平稳随机过程对于严平稳随机过程X(t)的二维分布的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+,t2+)，若令，若令=-t1，则，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令，令t2-t1=，则，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;)严平稳过程严平稳过程+二阶矩过程二阶矩过程=宽平稳；反之不成立宽平稳；反之不成立。第4页/共26页5例题例题1：设设Y是随机变量，试分别考虑是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和和X(t)=tY的平稳性。

4、的平稳性。例题例题2：设设Xn，n=0,1,2,是实的互不相关随机变量序列，且是实的互不相关随机变量序列，且EXn=0,DXn=2。试讨论随机序列的平稳性。试讨论随机序列的平稳性。例题3：设Xn，n=1,2,是相互独立且都服从N(0,1)的随机变量序列，Yn，n=1,2,是相互独立且都服从 上的均匀分布的随机变量序列，且Xn 与Yn 相互独立，n=1,2,。令证明证明Zn，n=1,2,是宽平稳过程，但不是严平稳过程。是宽平稳过程，但不是严平稳过程。第5页/共26页6联合平稳过程设设X(t),t T和和Y(t),t T是两个平稳过程，若它们的互相关函数是两个平稳过程，若它们的互相关函数 和和 仅

5、与仅与有关，而与有关，而与t t无关，则称无关，则称X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)是联合平稳随机过程。是联合平稳随机过程。当两个平稳过程当两个平稳过程X(t)，Y(t)是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。第6页/共26页74、RX()是非负定的，即对任意实数是非负定的，即对任意实数t1,t2,tn及复数及复数a1,a2,an，有，有平稳过程自相关函数的性质设x(t),t T为平稳过程，则其相关函数具有下列性质：5、若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)=X(t+T)，则RX()=RX(+T)；6、若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当|时，X

6、(t)与X(t+)相互独立，则1、2、3、第7页/共26页8联合平稳过程自相关函数的性质第8页/共26页9收敛性概念对于概率空间对于概率空间(,F,P)上的随机序列上的随机序列Xn每个试验结果每个试验结果e都对应一序列，如果都对应一序列，如果该序列对每个该序列对每个e都收敛，则称随机序列都收敛，则称随机序列Xn处处收敛，即满足处处收敛，即满足称二阶矩随机序列称二阶矩随机序列Xn(e)以概率以概率1收敛于二阶矩随机变量收敛于二阶矩随机变量X(e)，即，即或称或称Xn(e)几乎处处收敛于几乎处处收敛于X(e)，及作，及作称二阶矩随机序列称二阶矩随机序列Xn(e)依概率收敛于二阶矩随机变量依概率收敛

7、于二阶矩随机变量X(e)，若对于任给，若对于任给0，有，有记作记作第9页/共26页10设有二阶矩随机序列设有二阶矩随机序列Xn和二阶矩随机变量和二阶矩随机变量X，若有，若有成立，则称成立，则称Xn均方收敛于均方收敛于X，记作，记作称二阶矩随机序列称二阶矩随机序列Xn依分布收敛于二阶矩随机变量依分布收敛于二阶矩随机变量X，若，若Xn相应的分相应的分布函数列布函数列Fn(x)，在，在X的分布函数的分布函数F(x)的每一个连续点处，有的每一个连续点处，有记作记作a.em.sPd不收敛不收敛第10页/共26页11定理定理6.3设设Xn,Yn,Zn都是二阶矩随机序列，都是二阶矩随机序列，U为二阶矩随机变

8、量，为二阶矩随机变量，Cn为常数序为常数序列，列，a,b,c为常数，令为常数，令l.i.mXn=X，l.i.mYn=Y，l.i.mZn=Z，有有 第11页/共26页12定理定理6.4设设Xn为二阶矩随机序列，则为二阶矩随机序列，则Xn均方收敛的充要条件为下列极限存在：均方收敛的充要条件为下列极限存在：定义定义6.6设有二阶矩过程设有二阶矩过程X(t),t T，若对每一个，若对每一个t T，有，有则称则称X(t)在在t点均方连续，记作点均方连续，记作若若T中一切点都均方连续，则称中一切点都均方连续，则称Xt在在T上均方连续。上均方连续。定理定理6.5二阶矩过程二阶矩过程X(t)，t T在在t点均

9、方连续的充要条件为相关函数点均方连续的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点在点(t,t)处连续。处连续。第12页/共26页13均方导数定义定义6.7设设X(t),t T为二阶矩过程，若存在另一个随机过程为二阶矩过程，若存在另一个随机过程X(t)，满足，满足则称则称X(t)在在t点均方可微，记作点均方可微，记作第13页/共26页14二阶矩过程的相关函数二阶矩过程的相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数记作的广义二阶导数记作定理定理6.6二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T在在t点均方可微的充要条件微相关函数点均方可微的充要条件微相关函数RX(t1,t2)在点在点(t,t)的广义二阶导数存在

10、。的广义二阶导数存在。推论：数学期望运算与求导运算可以交换顺序。第14页/共26页15均方积分定义定义6.8设设X(t),t T为二阶矩过程，为二阶矩过程，f(t)为普通函数，其中为普通函数，其中T=a,b，设，设T的任一的任一划分为划分为 a=t0t1tn=b，记，记 做和式做和式如果当如果当n n0时，时，Sn均方收敛于均方收敛于S，即，即则称则称f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可积，记作上均方可积，记作第15页/共26页定理定理6.7f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可积的充要条件为上均方可积的充要条件为存在。二阶矩过程存在。二阶矩过程X(t)在区间在区间a,b上均方可积的

11、充要条件为上均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在在a,ba,b上可积。上可积。第16页/共26页17定理定理6.8设设f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可积，则有上均方可积，则有 定理定理6.9设设X(t),t T为二阶矩过程在区间为二阶矩过程在区间a,b上均方连续，则上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程在均方意义下存在，且随机过程Y(t),t T在区间在区间a,b上均方可微，且有上均方可微，且有Y(t)=X(t)。第17页/共26页18第18页/共26页19时间平均和集合平均概念集合平均mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计平均。是随机过程的均值，即任意时刻的过程取

12、值的统计平均。时间平均是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是个随机变量。是个随机变量。对于一个确定的样本对于一个确定的样本时间平均集合平均第19页/共26页20定义定义6.10设设X(t),-t是均方连续的平稳过程，若是均方连续的平稳过程，若以概率以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若以概率以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。定义定义6.11如果均方连续的平稳过程如果均方连续的平稳过程X(t),

13、t T的均值和相关函数都具有各态历的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。第20页/共26页21定理定理6.10设设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为充要条件为例题例题6.9：随机过程随机过程X(t)=acos(wt+),a,w为常数，为常数，为为(0,2(0,2)上均匀分布的随机变上均匀分布的随机变量，试分析量，试分析X(t)X(t)遍历性遍历性。第21页/共26页22第22页/共26页23定理定理6.11设设X(t),-t是均

14、方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性是均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为的充要条件为其中其中第23页/共26页24各态历经定理的意义：各态历经定理的意义：一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的时一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的时间平均代替过程的集合平均，即间平均代替过程的集合平均，即若样本函数若样本函数X(t)只在有限区间只在有限区间0,T上给出，则对于实平稳过程有下列估上给出，则对于实平稳过程有下列估计式计式第24页/共26页25作业：作业：6.7 6.21第25页/共26页26感谢您的观看！第26页/共26页