理论力学两体问题精选文档.ppt

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1、理论力学两体问题理论力学两体问题本讲稿第一页，共二十七页这样，两体问题分解为两个单粒子问题。这样，两体问题分解为两个单粒子问题。本讲稿第二页，共二十七页3.2 有心力场中单粒子的运动有心力场中单粒子的运动本讲稿第三页，共二十七页运动方程运动方程本讲稿第四页，共二十七页本讲稿第五页，共二十七页运动定性讨论运动定性讨论本讲稿第六页，共二十七页讨论粒子在吸引势讨论粒子在吸引势 U=-a/r3中的运动情况中的运动情况解：解：粒子的有效势能：粒子的有效势能：Ueff =L2/2mr2-a/r3(1)曲线渐近行为曲线渐近行为 r ，Ueff 0；r 0，Ueff -。(2)曲线零点：曲线零点：Ueff =

2、0r=ro=2ma/L2(3)曲线极值：曲线极值：dUeff/dr=0 r=rm=3ma/L2(Ueff)max=L6/54 m3 a2-a/r3L2/2mr2OE(Ueff)maxrUeffrmror1r2本讲稿第七页，共二十七页3.3 与距离成反比的有心力场与距离成反比的有心力场 吸引势：吸引势：U(r)=-a/r有效势能：有效势能：Ueff =L2/2mr2-a/r(1)r 0，Ueff +；r ，Ueff 0。(2)曲线极值：曲线极值：dUeff/dr=0 r=rm=L2/ma(Ueff)min=m a2/2L2(3)曲线零点：曲线零点：Ueff =0r=ro=L2/2ma-a/rL2

3、/2mr2OE(Ueff)maxrUeffrmror1r2本讲稿第八页，共二十七页比耐公式比耐公式轨道方程轨道方程本讲稿第九页，共二十七页比耐公式比耐公式轨道方程轨道方程本讲稿第十页，共二十七页例：已知引力作用例：已知引力作用 F(r)=-GMm/r2 ro，求运行轨迹。求运行轨迹。解：比耐公式解：比耐公式 h2 u2(d2u/d2+u)=GM/r2=GMu2 d2u/d2+u =/h2 (=GM)轨迹方程轨迹方程:u=1/r=C1 cos+C2 sin+/h2 齐次解齐次解 非齐次解非齐次解取近日点取近日点(r 极小值极小值)的的为零为零.r 极小值条件极小值条件:dr/d=0,d2r/d2

4、 0.d(1/u)/d=-(1/u2)du/d=0 =(1/u2)(C1 sin-C2 cos)=0=0 C2=0 r=(C1 cos+/h2)-1=p/(1+e cos)本讲稿第十一页，共二十七页 r=p/(1+e cos)其中其中 p=h2/(正焦弦长度一半正焦弦长度一半),e=C1 h2/(偏心率偏心率)。这是一原点在焦点上的圆锥曲线，这是一原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上。力心位于焦点上。e 1 双曲线双曲线抛物线抛物线双曲线双曲线椭圆椭圆本讲稿第十二页，共二十七页本讲稿第十三页，共二十七页本讲稿第十四页，共二十七页补充作业补充作业:求求 e 与能量与能量 E 的关系，的关系，即

5、证明：即证明：并讨论并讨论 E 与圆锥曲线型的关系与圆锥曲线型的关系.本讲稿第十五页，共二十七页3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性有心力场中粒子运动轨道的稳定性轨道闭合与轨道稳定轨道闭合与轨道稳定轨道稳定的含义轨道稳定的含义:由于初始条件的微小变化或势场本身的扰由于初始条件的微小变化或势场本身的扰动，使粒子偏离原轨道动，使粒子偏离原轨道ro变为变为 r。若。若r 始终保持始终保持在在ro附近作小振动，则称此种轨道是附近作小振动，则称此种轨道是稳定的；反之，稳定的；反之，若随着时间增加，若随着时间增加，r 偏离偏离ro 越来越大，则称此种越来越大，则称此种轨道是不轨道是不稳定的。稳定的。本讲

6、稿第十六页，共二十七页3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性有心力场中粒子运动轨道的稳定性设粒子在势场设粒子在势场U(Z)中的轨道为中的轨道为 u=uo，轨道偏离：轨道偏离：u=uo+（为小量）为小量）本讲稿第十七页，共二十七页3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性有心力场中粒子运动轨道的稳定性若若A=0，随随 (从而随从而随 t)线性增加；线性增加；若若A 0，作简谐振动，作简谐振动，轨道稳定轨道稳定。轨道稳定条件：轨道稳定条件：本讲稿第十八页，共二十七页讨讨 论论(1)U=a/r，A=1 0，轨道稳定。轨道稳定。(2)U=-a/r3，A=1 6ma/r L2=1-3 rm/r 轨道稳定条件

7、轨道稳定条件 A 0 变为变为 r 3 rm(3)U=k r2，A=1+6mk r4/L2 0 轨道永远稳定条件轨道永远稳定条件。圆形轨道稳定性条件为：圆形轨道稳定性条件为：(Ueff=L2/2mr2+U)dUeff/dr=0，dUeff/dr 03 dU/dr+d2U/dr2 0或或 -3 F-dF/dr 0本讲稿第十九页，共二十七页OAo3.6 粒子散射问题粒子散射问题 设有心力场的力心在设有心力场的力心在 O 点，由点，由于有心力场对力心是中心对称的，于有心力场对力心是中心对称的，所以轨道对所以轨道对OA是轴对称的。设是轴对称的。设无穷远处质点速率为无穷远处质点速率为 v，瞄准距瞄准距离

8、为离为。本讲稿第二十页，共二十七页OAo本讲稿第二十一页，共二十七页 散射要考虑一束速度相同的全同粒子群。假设散射要考虑一束速度相同的全同粒子群。假设粒子束在其截面内密度均匀，而各个粒子有不同的粒子束在其截面内密度均匀，而各个粒子有不同的瞄准距离，相应有不同的散射角瞄准距离，相应有不同的散射角。d 假定假定 n 为单位时间内通为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散粒子数，单位时间内落入散射角射角到到+d内的粒子数为内的粒子数为 dN，则定义散射的有效截面，则定义散射的有效截面为为 d=dN/n，dN个粒子可能个粒子可能来自来自()到到()+d()

9、区区间内的粒子。间内的粒子。本讲稿第二十二页，共二十七页 假定假定 n 为单位时间内通过垂直于束的单位截面为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角积的粒子数，单位时间内落入散射角到到+d内的内的粒子数为粒子数为 dN，则定义，则定义散射的有效截面为散射的有效截面为 d=dN/n，dN个粒子可能来自个粒子可能来自()到到()+d()区间内的粒子，区间内的粒子，即即 dN=2nd，所以，所以 d=2d =2d/dd到到+d对应的立体角为对应的立体角为 d=2sind 因而因而 d=(/sin)d/ddd本讲稿第二十三页，共二十七页试求粒子在半径为试求粒子在半径为 a 的刚性上散射的有效截面的刚性上散射的有效截面本讲稿第二十四页，共二十七页例：卢瑟福公式的推导，即带电粒子在例：卢瑟福公式的推导，即带电粒子在 U(r)=a/r 场中散射的有效截面。场中散射的有效截面。本讲稿第二十五页，共二十七页本讲稿第二十六页，共二十七页本讲稿第二十七页，共二十七页