常微分方程 线性微分方程的基本理论精选PPT.ppt
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1、常微分方程常微分方程 线性微线性微分方程的基本理论分方程的基本理论1第1页,此课件共41页哦及其各阶导数及其各阶导数均为一次的均为一次的n n阶微分方程称为阶微分方程称为n n阶线性微分方程阶线性微分方程.一、基本概念一、基本概念n阶线性阶线性微分方程微分方程:未知函数未知函数一般形式为一般形式为:式中式中上的连续函数。上的连续函数。及及是区间是区间2第2页,此课件共41页哦n阶线性齐次阶线性齐次微分方程微分方程:n n阶线性齐次微分方程,简称阶线性齐次微分方程,简称齐线性方程齐线性方程,(3.2.1)称称非齐线性方程非齐线性方程。3第3页,此课件共41页哦上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性
2、方程。上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。关于高阶方程同一阶方程一样关于高阶方程同一阶方程一样,也有相类似的也有相类似的解的存在惟一性定理解的存在惟一性定理.4第4页,此课件共41页哦定理定理3.13.1:如果如果(3.2.1)的系的系数数 及右端函数及右端函数 在区间在区间 上连续,上连续,满足下列初始条件满足下列初始条件 方程(方程(3.2.13.2.1)存在惟一的解存在惟一的解 则对任一个则对任一个 及任意的及任意的 5第5页,此课件共41页哦线性微分算子线性微分算子:为常数为常数.性质性质3.2 3.2 性质性质3.13.1例如例如:6第6页,此课件共41页哦二、齐次线性方程解的
3、性质和结构二、齐次线性方程解的性质和结构定理定理3.23.2(叠加原理叠加原理)如果如果 是方程是方程(3.2.2)的的n n个解,个解,则它的线性组合则它的线性组合 也是方程也是方程(3.2.2)的解,这里的解,这里是常数是常数.7第7页,此课件共41页哦例例1 1 验证验证是方程是方程 的解的解.解解:分别将分别将代入方程代入方程,得得所以为方程的解所以为方程的解.8第8页,此课件共41页哦基本解组基本解组:如果方程如果方程(3.2.2)的任意一个解的任意一个解都可以表示为都可以表示为 ,则称则称是方程组是方程组(3.2.2)的基本解组。的基本解组。线性相关线性相关:对定义在区间对定义在区
4、间(a,b)上的函数组上的函数组 如果存在不全为如果存在不全为0 0的常数的常数 ,使得使得 在在(a,b)上恒成立上恒成立,称这些函数在所给的区间上线性相称这些函数在所给的区间上线性相关,不然称这些函数线性无关关,不然称这些函数线性无关.9第9页,此课件共41页哦例例2:2:函数函数在任何区间在任何区间上都是上都是线性无关的,线性无关的,因为如果因为如果只有当所有的只有当所有的 时才成立时才成立.(3.2.5)事实上事实上,如果至少有一个如果至少有一个则则(3.2.5)式的左端是一个不高于式的左端是一个不高于n次的多项式,次的多项式,它最多可有它最多可有n个不同的根个不同的根.它在所考虑的区
5、间上它在所考虑的区间上不能有多于不能有多于n个零点个零点,更不可能恒为零更不可能恒为零.10第10页,此课件共41页哦注注1 1:在函数在函数 中中有一个函数有一个函数等于零等于零,则函数则函数在(在(a,b)上线性相关。)上线性相关。则在(则在(a,b)上线性无关的充要条件为)上线性无关的充要条件为 或或在(在(a,b)上不恒为常数)上不恒为常数.注注2 2:考虑到考虑到两个函数构成的函数组两个函数构成的函数组 如果如果 或或 在在(a,b)上有定义上有定义,11第11页,此课件共41页哦注注3 3:函数组的线性相关与线性无关是函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取的区间依赖于所取的区间。例
6、例4:4:函数函数 上上是线性无关是线性无关,而而在在上是线性相关的上是线性相关的.和和事实上事实上在区间在区间上不是常数上不是常数,分别在区分别在区间间和和上是常数上是常数.例例3:3:在任何区间上都线性无关在任何区间上都线性无关.在任何区间上都线性相关在任何区间上都线性相关.12第12页,此课件共41页哦Wronskian 行列式行列式:称为这些函数的称为这些函数的Wronskian行列式行列式,通常记做通常记做 由定义在区间(由定义在区间(a,b)上的)上的 k个个k-1k-1次可微函数次可微函数 所作成的行列式所作成的行列式13第13页,此课件共41页哦证明证明:由假设知存在一组不全为
7、零的常数由假设知存在一组不全为零的常数使得使得依次将此恒等式对依次将此恒等式对 t 微分微分,得到得到 n 个恒等式个恒等式定理定理3.33.3 如果函数组如果函数组 在区间在区间(a,b)上上线性相关线性相关,则在则在(a,b)上它们的上它们的Wronskian行列式恒等于零行列式恒等于零,即即.14第14页,此课件共41页哦上述上述n个恒等式所组成的方程组是关于个恒等式所组成的方程组是关于的的齐次方程组齐次方程组,它的它的系数行列式系数行列式就是就是Wronskian行列式行列式,由线性代数的知识知由线性代数的知识知,要使方程组存在要使方程组存在非零解非零解,则必有则必有15第15页,此课
8、件共41页哦如果函数组如果函数组 的的某点某点处处 不等于不等于0,0,即即 ,推论推论 3.13.1Wronskian行列式在区间(行列式在区间(a,b)上)上则该函数组在区间则该函数组在区间上上线性无关线性无关。定理定理3.33.3 如果函数组如果函数组 在区间在区间(a,b)上上线性相关线性相关,则在则在(a,b)上它们的上它们的Wronskian行列式恒等于零行列式恒等于零,即即.16第16页,此课件共41页哦显然对所有的显然对所有的 t,恒有恒有但但在在上上线性无关线性无关.事实上事实上,假设存在恒等式假设存在恒等式则当则当时时,有有当当时时,有有故故在在上线性无关上线性无关.注注:
9、定理定理3.33.3的的逆定理不一定成立逆定理不一定成立.例例17第17页,此课件共41页哦定理定理3.43.4 若函数组若函数组 是是齐线性方程齐线性方程在区间(在区间(a,b)上的)上的n n个线性无关的个线性无关的解解,则它们的则它们的Wronskian 行列式行列式在该区间上任何点都不为零在该区间上任何点都不为零.证明证明:用用反证法反证法假设有假设有使得使得18第18页,此课件共41页哦其系数行列式其系数行列式故它有故它有非零解非零解现以这组解现以这组解构造函数构造函数由定理由定理3.2 知知,是齐线性方程的解是齐线性方程的解.考虑关于考虑关于的的齐次线性代数方程组齐次线性代数方程组
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