线性代数 矩阵的相似对角化.pptx

《线性代数 矩阵的相似对角化.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数 矩阵的相似对角化.pptx（31页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念定义对于 n 阶矩阵 A 和 B，则称 A 与 B 相似，称对 A 所进行的运算 为对 A 进行相似变换。称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。记为若存在可逆的 n 阶方阵 P 使得或者称 A 相似于 B，注矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。P144 定义 5.2 第1页/共31页一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念2.相似矩阵的性质(1)反身性性质(2)对称性若 则(3)传递性若 则(4)若 则(5)若 则 P144 定理 5.5 P144 第2页/共31页定理若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征

2、多项式,证明因 A 与 B 相似，即存在可逆的矩阵 P 使得即 A 与 B 有相同的特征多项式。从而 A 与 B 有相同的特征值。故一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念2.相似矩阵的性质 P144 定理5.5(3)第3页/共31页二、矩阵相似对角化的概念与问题分析定义对于 n 阶矩阵 A，则称 A 可相似对角化；若存在可逆的 n 阶方阵 P，使得记为 P145 定义 5.3 第4页/共31页若存在可逆矩阵 P 使则则特别地，若二、矩阵相似对角化的概念与问题分析好处(之一)第5页/共31页例证明矩阵 不能相似对角化。证(反证法)假设存在可逆矩阵 P，使得即得故它们有相同的特征值，由矩阵

3、 A 与 L 相似，矛盾！故矩阵 A 不能相似对角化。第6页/共31页1.问题分析(1)L 如何构成？L 的主对角线上的元素由 A 的全部特征值构成。由于 是 L 的 n 个特征值，而 A 与 L 相似，因此 就是 A 的 n 个特征值.记为 所考虑的问题是寻找可逆的 n 阶方阵 P，使得即二、矩阵相似对角化的概念与问题分析第7页/共31页1.问题分析(2)P 如何构成？P 的列向量由 A 的线性无关的特征向量构成。设 即则由 有于是有又因为 P 可逆，且 线性无关，故因此 是 A 的 n 个线性无关的特征向量.即二、矩阵相似对角化的概念与问题分析第8页/共31页A 有 n 个线性无关的特征向

4、量，推论如果 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则矩阵 A 可以相似对角化。定理n 阶矩阵 A 能够相似于对角矩阵 的充分必要条件是1.问题分析2.矩阵可相似对角化的条件即 A 每个特征值所对应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征值的重数。二、矩阵相似对角化的概念与问题分析 P145 定理 5.6 P146 推论2 P145 推论1第9页/共31页三、矩阵相似对角化的方法步骤步骤(1)求 n 阶方阵 A 的特征值其重数分别为(2)对每一个特征值 求矩阵 A 特征向量，并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为(3)若 则 A 不能相似对角化；(4)若从而有则以这些特征向量作为列向

5、量构成矩阵 P，第10页/共31页其中个个个三、矩阵相似对角化的方法步骤步骤(4)若从而有则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，第11页/共31页三、矩阵相似对角化的方法步骤(2)因 是 的基础解系中的解向量，故 的因此 P 也不是唯一的。(3)由于 的根只有 n 个(重根按重数计算)，所以则 是唯一的。如果不计特征值的排列顺序，几点说明(1)P 中的列向量(即特征向量)的排列顺序要与特征值的顺序一致。取法不是唯一的。第12页/共31页例试将矩阵 相似对角化。解令(三重根)得 A 的特征值为由得 A 的特征向量为显然，最多能找到两个线性无关的特征向量，因此矩阵 A 不能相似对角化。第13页/

6、共31页例将矩阵 相似对角化，并求解(1)由得 A 的特征值为对 对 取特征向量令 则 (重根)(单根)取特征向量第14页/共31页解有(2)由例将矩阵 相似对角化，并求第15页/共31页则 P 可逆，解(1)令且例设三阶方阵 A 的三个特征值为 且对应的特征向量分别是求矩阵 A 和第16页/共31页(2)因此有第17页/共31页证(1)由题意可知：n 维基本向量 是 A 的特征向量，例设任意非零 n 维向量都是 n 阶方阵 A 的特征向量，证明 A 为数量阵。令即则存在 使得第18页/共31页例设任意非零 n 维向量都是 n 阶方阵 A 的特征向量，证(2)又 n 维向量 也是 A 的特征向

7、量，证明 A 为数量阵。故存在 使得即因此即 A 为数量阵。第19页/共31页例四、矩阵相似对角化的应用1.人口流动问题P148 例10第20页/共31页第一年末城乡人口为解(1)设最初城市和农村人口分别为即第 k 年末城乡人口为即记则有第21页/共31页(2)由求得 A 的特征值为它们对应的特征向量分别为令则且因而有第22页/共31页(3)第 k 年末城乡人口为故当 时，即当 时，城与农村的人口之比为 2:1.第23页/共31页 由 A 的特征值为对应的特征向量分别为故第 k 年末城乡人口为注本题还可以直接利用特征值与特征向量的性质来求解(线性无关)有第24页/共31页例求解常系数线性常微分

8、方程组四、矩阵相似对角化的应用1.人口流动问题2.微分方程组求解问题其中，设想:假如微分方程组为则它们是三个独立其解非常容易得到.的齐次型微分方程,第25页/共31页解(1)将微分方程组改写为矩阵形式令简记为则微分方程组 可改写为简写为简记为第26页/共31页解(2)将矩阵 A 相似对角化由得 A 的特征值为对 对 特征向量为特征向量为令 则 (重根)(单根)第27页/共31页解(3)将微分方程组“化简”有由则微分方程组变为令则相应地，微分方程组“化简”为即第28页/共31页解(4)求解微分方程组对微分方程组 求解可得：故原方程组的解为即其中 为任意常数。第29页/共31页 轻松一下吧第30页/共31页感谢您的观看！第31页/共31页