高中数学人教A必修二全程复习球体积和表面积.pptx

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1、1.1.通过球的体积和表面积的计算通过球的体积和表面积的计算,了解球的体积和表面积公式了解球的体积和表面积公式.2.2.会利用球的体积和表面积公式解决实际中的问题会利用球的体积和表面积公式解决实际中的问题.第1页/共45页球的体积和表面积球的体积和表面积设球的半径为设球的半径为R,R,则球的体积则球的体积V=_V=_表面积为表面积为S=_S=_4R4R2 2第2页/共45页1.“1.“判一判判一判”理清知识的疑惑点理清知识的疑惑点(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”).”).(1)(1)决定球的大小因素是球的半径决定球的大小因素是球的半径.().()(2)(2)球面被经过球心的平

2、面截得的圆的半径等于球的半径球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.(.()(3)(3)直径为直径为2 2的球的体积是直径为的球的体积是直径为1 1的球的体积的的球的体积的2 2倍倍.().()第3页/共45页提示：提示：(1)(1)正确正确.因为球的体积为因为球的体积为 只与球的半径的立只与球的半径的立方有关方有关.(2)(2)正确正确.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径圆的半径等于球的半径.(3)(3)错误错误.因为两个球的体积的比等于相应的半径的比的立因为两个球的体积的比等于相应的半径的比的立方，故直径为方

3、，故直径为2 2的球的体积是直径为的球的体积是直径为1 1的球的体积的的球的体积的8 8倍倍.答案：答案：(1)(2)(3)(1)(2)(3)第4页/共45页2.“2.“练一练练一练”尝试知识的应用点尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上).).(1)(1)半径为半径为2 2的球的体积为的球的体积为_(2)(2)设设M M是球是球O O的半径的半径OPOP的中点，分别过的中点，分别过M M，O O作垂直于作垂直于OPOP的平面，的平面，截球面得两个圆面，则这两个圆的面积之比为截球面得两个圆面，则这两个圆的面积之比为_(3)(3)若一个几何体的三视图是三个直径为若一个

4、几何体的三视图是三个直径为4 cm4 cm的圆，那么该几的圆，那么该几何体的表面积为何体的表面积为_；体积为；体积为_第5页/共45页【解析解析】(1)(1)由由答案：答案：(2)(2)如图作球的经过球心的一个圆截面，如图作球的经过球心的一个圆截面，设球的半径为设球的半径为2R2R，则，则OM=ROM=R，所以，所以MM=MM=所以两圆面积比为所以两圆面积比为答案：答案：第6页/共45页(3)(3)由该几何体的三视图为三个圆，所以该几何体为球，直径由该几何体的三视图为三个圆，所以该几何体为球，直径为为4 cm4 cm，所以球的表面积为，所以球的表面积为42422 2=16=16；体积为；体积为

5、答案：答案：1616第7页/共45页一、球的体积与表面积一、球的体积与表面积探究：观察球的体积与表面积公式，思考下面的问题探究：观察球的体积与表面积公式，思考下面的问题(1)(1)计算球的表面积与体积，关键需要确定哪个量？计算球的表面积与体积，关键需要确定哪个量？提示：提示：要计算球的表面积和体积，关键是要确定球的半径要计算球的表面积和体积，关键是要确定球的半径R.R.第8页/共45页(2)(2)若已知球的体积为若已知球的体积为V V，则球的表面积，则球的表面积S S如何用如何用V V表示？表示？提示：提示：因为因为V=RV=R3 3,所以所以因此因此第9页/共45页(3)(3)若两球的半径之

6、比为若两球的半径之比为R R1 1RR2 2，那么两球的表面积之比及体，那么两球的表面积之比及体积之比分别是多少？积之比分别是多少？提示：提示：第10页/共45页【探究提升探究提升】计算球的体积及表面积的两点说明计算球的体积及表面积的两点说明(1)(1)球的体积和表面积都是关于半径球的体积和表面积都是关于半径R R的函数，因此求体积和表的函数，因此求体积和表面积时，只需求出半径即可面积时，只需求出半径即可.(2)(2)确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来已知体积或表面积也可利用公式求它的表面积和体

7、积；反过来已知体积或表面积也可以求其半径以求其半径第11页/共45页二、球的截面二、球的截面探究探究1 1：用任何一个平面去截球所得的截面是什么形状？：用任何一个平面去截球所得的截面是什么形状？提示：提示：用任何一个平面去截球，所得的截面是一个圆面用任何一个平面去截球，所得的截面是一个圆面.探究探究2 2：球心和截面圆圆心的连线与截面有何关系？：球心和截面圆圆心的连线与截面有何关系？提示：提示：球心和截面圆圆心的连线垂直于截面球心和截面圆圆心的连线垂直于截面.探究探究3 3：若球的半径为：若球的半径为R R，截面圆半径为，截面圆半径为r r，则球心到截面的距，则球心到截面的距离离d d是多少？

8、是多少？提示：提示：第12页/共45页【探究提升探究提升】用一个平面去截球，对所得截面的三点说明用一个平面去截球，对所得截面的三点说明(1)(1)当截面过球心时当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径；当截面不过截面圆的半径即为球的半径；当截面不过球心时球心时,截面圆的半径都小于球的半径截面圆的半径都小于球的半径.(2)(2)球的截面是圆面而不是圆球的截面是圆面而不是圆,注意圆面与圆是两个不同的概念注意圆面与圆是两个不同的概念.(3)(3)球的截面在解决球的有关计算问题中起着关键的作用，要球的截面在解决球的有关计算问题中起着关键的作用，要注意球的半径与截面圆半径的关系注意球的半径与截面圆半径的

9、关系第13页/共45页类型类型 一一 球的体积和表面积的计算球的体积和表面积的计算尝试解答下面的问题，归纳求球的表面积及体积的策略尝试解答下面的问题，归纳求球的表面积及体积的策略.1.1.若球的体积扩大到原来的若球的体积扩大到原来的2727倍，则它的表面积扩大到原来倍，则它的表面积扩大到原来的的()()A.3A.3倍倍 B.3 B.3 倍倍 C.9C.9倍倍 D.9 D.9 倍倍第14页/共45页2.(20132.(2013宁德高一检测宁德高一检测)一平面截一球得到直径是一平面截一球得到直径是6 cm6 cm的圆的圆面，球心到这个平面的距离是面，球心到这个平面的距离是4 cm4 cm，则该球的

10、体积为，则该球的体积为()()3.3.三个球的半径之比为三个球的半径之比为123123，那么最大的球的体积是另外，那么最大的球的体积是另外两个球的体积和的两个球的体积和的_倍，最大球的表面积是另外两个球倍，最大球的表面积是另外两个球的表面积和的的表面积和的_._.第15页/共45页【解题指南解题指南】1.1.求出半径扩大的倍数，根据表面积公式，得出求出半径扩大的倍数，根据表面积公式，得出表面积扩大的倍数表面积扩大的倍数.2.2.根据球半径、截面圆半径和球心到截面的距离构成直角三角根据球半径、截面圆半径和球心到截面的距离构成直角三角形，可求得球的半径，即可求得体积形，可求得球的半径，即可求得体积

11、.3.3.根据球的半径之比，设出球的半径，表示出体积和表面积，根据球的半径之比，设出球的半径，表示出体积和表面积，从而判断出它们之间的关系从而判断出它们之间的关系.第16页/共45页【解析解析】1.1.选选C.C.因为体积扩大到原来的因为体积扩大到原来的2727倍，所以倍，所以r r变为变为3r3r，所以它的表面积扩大为原来的所以它的表面积扩大为原来的9 9倍倍.2.2.选选C.C.因为球半径、截面圆半径和球心到截面的距离构成一因为球半径、截面圆半径和球心到截面的距离构成一个直角三角形，所以球半径为个直角三角形，所以球半径为 =5(cm)=5(cm)，所以球的体，所以球的体积为积为第17页/共

12、45页3.3.设三个球的半径分别为设三个球的半径分别为r,2r,3rr,2r,3r，则，则所以所以S S1 1=4r=4r2 2,S,S2 2=4(2r)=4(2r)2 2=16r=16r2 2，S S3 3=4(3r)=4(3r)2 2=36r=36r2 2，所以所以答案：答案：3 3 第18页/共45页【技法点拨技法点拨】求球的体积与表面积的策略求球的体积与表面积的策略(1)(1)要求球的体积或表面积要求球的体积或表面积,必须知道半径必须知道半径R R或者通过条件能求或者通过条件能求出半径出半径R,R,然后代入体积或表面积公式求解然后代入体积或表面积公式求解.(2)(2)半径和球心是球的最

13、关键要素半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点把握住了这两点,计算球的计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.第19页/共45页【变式训练变式训练】把半径分别为把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为一个大铁球，这个大铁球的半径为()()A.3 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cmA.3 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cm【解析解析】选选D.D.设大铁球的半径为设大铁球的半径为r r，则：，则：解得解得r=12.r=12.第20页/共

14、45页类型类型 二二 与球有关的组合体的表面积与体积的计算与球有关的组合体的表面积与体积的计算 通过解答下面的问题，体会与球有关的组合体问题，并总通过解答下面的问题，体会与球有关的组合体问题，并总结求解该类问题的技巧结求解该类问题的技巧.1.(20121.(2012广东高考广东高考)某几何体某几何体的三视图如图所示，它的体积的三视图如图所示，它的体积为为()()A.72 B.48 A.72 B.48 C.30 D.24C.30 D.24第21页/共45页2.2.一个四面体的所有棱长都是一个四面体的所有棱长都是 ，四个顶点在同一个球面，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为上，则此球的表面积为

15、()()A.3 B.4 C.3 D.6A.3 B.4 C.3 D.63.(20123.(2012天津高考天津高考)一个几何体一个几何体的三视图如图所示的三视图如图所示(单位：单位：m)m)，则该几何体的体积为则该几何体的体积为_m_m3 3.第22页/共45页【解题指南解题指南】1.1.根据三视图准确判断出此几何体的形状，是解根据三视图准确判断出此几何体的形状，是解决本题的关键决本题的关键.显然本题几何体是由一个半球和一个倒立的圆显然本题几何体是由一个半球和一个倒立的圆锥组成的组合体锥组成的组合体.2.2.将四面体补成一个正方体，该正方体的体对角线长为球的直将四面体补成一个正方体，该正方体的体

16、对角线长为球的直径径.3.3.由三视图正确判断出组合体的图形是关键由三视图正确判断出组合体的图形是关键.第23页/共45页【解析解析】1.1.选选C.C.由三视图可知该组合体由一个半球和一个倒由三视图可知该组合体由一个半球和一个倒立的圆锥组成立的圆锥组成.2.2.选选A.A.以四面体侧棱为正方体的面对角线构造正方体，则正以四面体侧棱为正方体的面对角线构造正方体，则正方体内接于球，正方体的棱长为方体内接于球，正方体的棱长为1 1，体对角线长为球的直径，体对角线长为球的直径.所以所以2R=2R=，S S球球=4R=4R2 2=3.=3.第24页/共45页3.3.该组合体的上面是一个长、宽、高分别为

17、该组合体的上面是一个长、宽、高分别为6 6，3 3，1 1的长方的长方体，下面是两个半径为体，下面是两个半径为 的相切的球体，所以所求的体积的相切的球体，所以所求的体积是：是：V=2VV=2V球球+V+V 长方体长方体=2 ()=2 ()3 3+631=18+9.+631=18+9.答案：答案：18+918+9第25页/共45页【互动探究互动探究】题题3 3条件不变，求该组合体的表面积条件不变，求该组合体的表面积.【解析解析】该组合体的上面是一个长、宽、高分别为该组合体的上面是一个长、宽、高分别为6 6，3 3，1 1的的长方体，下面是两个半径为长方体，下面是两个半径为 的相切的球体，所以所求

18、的表的相切的球体，所以所求的表面积为面积为S=2SS=2S球球+S+S长方体长方体=24()=24()2 2+2(63+61+13)+2(63+61+13)=54+18.=54+18.第26页/共45页【技法点拨技法点拨】解决与球有关的组合体问题的解题技巧解决与球有关的组合体问题的解题技巧(1)(1)与球有关的组合体问题：解题时要认真分析图形，明确切与球有关的组合体问题：解题时要认真分析图形，明确切点位置，明确有关元素间的数量关系，并且作出合适的截面图点位置，明确有关元素间的数量关系，并且作出合适的截面图.(2)(2)球与旋转体的组合，通过作它们的轴截面解题球与旋转体的组合，通过作它们的轴截面

19、解题.(3)(3)球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、切点球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、切点或接点作出截面图或接点作出截面图.第27页/共45页提醒：提醒：解决该类问题，关键是作出截面图形，使相关元素尽可解决该类问题，关键是作出截面图形，使相关元素尽可能多地落在截面图形内能多地落在截面图形内.第28页/共45页类型类型 三三 有关球的切、接问题有关球的切、接问题试着解答下列与球的切、接有关的题目试着解答下列与球的切、接有关的题目,总结常见的几何总结常见的几何体与球的切、接问题的解决策略体与球的切、接问题的解决策略.1.1.设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高

20、分别为2a,a,a,2a,a,a,其顶点都在一个球面其顶点都在一个球面上上,该球的表面积为该球的表面积为()A.3aA.3a2 2B.6aB.6a2 2C.2aC.2a2 2D.24aD.24a2 22.2.一个半球内切于圆锥一个半球内切于圆锥,半球的底面在圆锥底面内半球的底面在圆锥底面内.求证：圆锥侧面积与半球面面积之比等于圆锥体积与半球体积求证：圆锥侧面积与半球面面积之比等于圆锥体积与半球体积之比之比.第29页/共45页【解题指南解题指南】1.1.长方体的体对角线等于其外接球的直径长方体的体对角线等于其外接球的直径.2.2.设出圆锥的底面半径设出圆锥的底面半径,母线长及球的半径母线长及球的

21、半径,分别表示出面积和分别表示出面积和体积体积,计算其比值判断即可计算其比值判断即可.第30页/共45页【解析解析】1.1.选选B.B.由长方体的长由长方体的长,宽宽,高分别为高分别为2a,a,a2a,a,a，则长方，则长方体的体对角线为体的体对角线为 与外接球的直径相等，故与外接球的直径相等，故2R=a,S2R=a,S球球=4R=4R2 2=6a=6a2 2.2.2.设圆锥的底面半径为设圆锥的底面半径为R R，球半径为，球半径为r,r,圆锥的母线长为圆锥的母线长为l,则则S S圆锥侧圆锥侧=2R=2Rl,S,S半球半球=2r=2r2 2,V,V圆锥圆锥=R=R2 2V V半球半球=r=r3

22、3,S,S圆锥侧圆锥侧S S半球半球=V=V圆锥圆锥V V半球半球=所以所以S S圆锥侧圆锥侧S S半球半球=V=V圆锥圆锥V V半球半球.第31页/共45页【互动探究互动探究】若题若题1 1中的长方体改为中的长方体改为“三棱锥的三条侧棱两两三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长为垂直，且其长为2a,a,a”2a,a,a”，能由本例，能由本例1 1的解法得到此三棱锥的的解法得到此三棱锥的外接球的体积吗？外接球的体积吗？【解析解析】能能.由题意，此三棱锥的外接球与以三条两两垂直的由题意，此三棱锥的外接球与以三条两两垂直的侧棱为棱的长方体的外接球相同，故侧棱为棱的长方体的外接球相同，故第32页/共45页

23、【技法点拨技法点拨】常见的几何体与球的切、接问题的解决策略常见的几何体与球的切、接问题的解决策略(1)(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等.(2)(2)解决球与几何体的切、接问题的关键是根据解决球与几何体的切、接问题的关键是根据“切点切点”和和“接点接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算，作出轴截面图，把空间问

24、题转化为平面问题来计算.第33页/共45页(3)(3)具体解题流程具体解题流程第34页/共45页【拓展延伸拓展延伸】与球有关的组合体中的数量关系与球有关的组合体中的数量关系(1)(1)长方体内接于球：长方体内接于球：(R(R为球的半径，为球的半径，a,b,ca,b,c为为长方体的长、宽、高长方体的长、宽、高).).(2)(2)正方体内接于球：正方体内接于球：2R=a(R2R=a(R为球的半径，为球的半径，a a为正方体的棱为正方体的棱长长).).(3)(3)球内切于正方体：球内切于正方体：2R=a(R2R=a(R为球的半径，为球的半径，a a为正方体的棱长为正方体的棱长).).(4)(4)球与

25、正方体的每条棱都相切：球与正方体的每条棱都相切：2R=a(R2R=a(R为球的半径，为球的半径，a a为为正方体的棱长正方体的棱长).).第35页/共45页【变式训练变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为正方体的内切球和外接球的半径之比为()()【解析解析】选选D.D.设正方体的棱长为设正方体的棱长为a,a,则内切球半径为则内切球半径为 ,外接球外接球半径为半径为 所以半径之比为所以半径之比为1 =3.1 =3.第36页/共45页1.1.如果两个球的表面积之比为如果两个球的表面积之比为49,49,那么这两个球的体积之比那么这两个球的体积之比为为()A.827A.827 B.23B.23

26、C.49C.49 D.29D.29【解析解析】选选A.A.因为因为S S1 1SS2 2=49,=49,所以所以r r1 1rr2 2=23,=23,所以所以V V1 1VV2 2=827.=827.第37页/共45页2.2.将棱长为将棱长为2 2的正方体木块削成一个体积最大的球的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的则这个球的表面积为表面积为()A.2A.2 B.4 B.4 C.8 C.8 D.16 D.16【解析解析】选选B.B.由题意知由题意知,此球是正方体的内切球此球是正方体的内切球,根据其几何特根据其几何特征知征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的此球的直径与正方体的棱长是相等的

27、,故可得球的直径为故可得球的直径为2,2,再用表面积公式求出表面积即可再用表面积公式求出表面积即可.所以表面积是所以表面积是41412 2=4,=4,应选应选B.B.第38页/共45页3.3.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为径为_._.【解析解析】设球的半径为设球的半径为R,R,由由 所以所以R R3.3.答案：答案：3 3第39页/共45页4.4.已知正方体外接球的体积是已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等，那么正方体的棱长等于于_._.【解析解析】由已知可求得球的半径由已知可求得球的半径r=2r=2，由，由2

28、r=a2r=a，得正方体，得正方体的棱长的棱长答案：答案：第40页/共45页5.5.将一个铁球投入底面半径为将一个铁球投入底面半径为4 cm4 cm的圆柱形容器中，球被淹的圆柱形容器中，球被淹没在水中，水面上升没在水中，水面上升 cm,cm,则这个球的表面积是则这个球的表面积是_._.【解析解析】铁球的体积等于上升的水的体积，设铁球的半径为铁球的体积等于上升的水的体积，设铁球的半径为R,R,则则 所以所以R=2 cm,R=2 cm,故球的表面积为故球的表面积为4R4R2 2=16(cm=16(cm2 2).).答案：答案：16 cm16 cm2 2第41页/共45页6.6.若正三棱柱内有一个半径为若正三棱柱内有一个半径为r r的内切球的内切球,求此棱柱的体积求此棱柱的体积【解析解析】由题意知三棱柱的高为球的直由题意知三棱柱的高为球的直径径2r2r，如图为过球心和各切点的截面图，如图为过球心和各切点的截面图形，截三棱柱得与底面全等的正三角形，形，截三棱柱得与底面全等的正三角形，求得底面边长为求得底面边长为2 r2 r，底面三角形的高，底面三角形的高为为3r3r，所以三棱柱的体积为：，所以三棱柱的体积为：V=SV=S底底h=h=第42页/共45页第43页/共45页第44页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页