概率论基础精选PPT.ppt

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1、概率论基础概率论基础第1页，此课件共40页哦2023/4/141数科院l事件事件1、概率论缺乏严格的理论基础、概率论缺乏严格的理论基础 直到直到2020世纪初，概率论的一些基本概念世纪初，概率论的一些基本概念还缺乏明确的定义。还缺乏明确的定义。一、走向概率的公理化结构一、走向概率的公理化结构 事件是事件是“某些样本点的集合某些样本点的集合”，那么任意，那么任意样本点的集合都是事件吗，或者说样本空间的样本点的集合都是事件吗，或者说样本空间的子集都是事件吗？子集都是事件吗？第2页，此课件共40页哦2023/4/142数科院l概率概率统计定义、古典定义、几何定义统计定义、古典定义、几何定义各有适用范

2、围，各有局限性各有适用范围，各有局限性各种定义下的性质也略有不同各种定义下的性质也略有不同第3页，此课件共40页哦2023/4/143数科院测度论的发展：事件的运算与集合的运算完全相似 概率和测度有相同性质19世纪末，数学各分支的公理化潮流2、概率论公理化时机的逐渐成熟、概率论公理化时机的逐渐成熟 1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的了概率的公理化定义公理化定义.第4页，此课件共40页哦2023/4/144数科院概率的概率的公理化定义公理化定义，即，即通过规定通过规定概率应具备的基本性质来定义概概率应具备的基本性质来定义概率率.柯尔莫哥洛夫提出的公理

3、为数很少且极为柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦厦.第5页，此课件共40页哦2023/4/145数科院样本点样本点：随机试验的可能结果，用：随机试验的可能结果，用 表示；表示；可以看成是抽象的点可以看成是抽象的点二、事件域二、事件域样本空间样本空间：试验的所有可能结果组成的集合，即：试验的所有可能结果组成的集合，即 样本点的全体，记作样本点的全体，记作 事件事件：样本空间样本空间 的一个子集，常用大写字母的一个子集，常用大写字母A、B、C 等表示；事件等表示；事件A发生当且仅当发生当且仅当A所包含所包含 的样本

4、点中在实验中出现的样本点中在实验中出现第6页，此课件共40页哦2023/4/146数科院说明：说明：1.一般不把样本空间的一切子集都作为事件一般不把样本空间的一切子集都作为事件2.必须把问题中感兴趣的事件都纳入研究之中必须把问题中感兴趣的事件都纳入研究之中事件域事件域：事件的全体，记为事件的全体，记为FF ：样本空间的一些子集构成的集类：样本空间的一些子集构成的集类 ：是样本空间上的一个：是样本空间上的一个-域域第7页，此课件共40页哦2023/4/147数科院第8页，此课件共40页哦2023/4/148数科院定义：定义：若若F F 为样本空间为样本空间 的一些子集构成的一的一些子集构成的一个

5、个-域，则称它为域，则称它为事件域事件域，FF 中的元素称为中的元素称为事事件件，称为称为必然事件，必然事件，称为不可能事件。称为不可能事件。事件域可以选得很简单，也可以选得十分复杂，需要根据不同要求选择适当的事件域。第9页，此课件共40页哦2023/4/149数科院 一维博雷尔一维博雷尔域域 B B 包括一切开区间，闭区间，包括一切开区间，闭区间，单个实数，可列个实数，以及由它们的可列并、可列交、单个实数，可列个实数，以及由它们的可列并、可列交、补运算得出的集合。补运算得出的集合。类似可定义类似可定义n维博雷尔维博雷尔域域第10页，此课件共40页哦2023/4/1410数科院三、概率的公理化

6、定义三、概率的公理化定义 在公理化结构中，概率是针对事件定义的，即对应于事在公理化结构中，概率是针对事件定义的，即对应于事件域件域FF中的每一个元素中的每一个元素A有一个实数有一个实数P(A)与之对应。与之对应。集合函数：从集合到实数的映射。集合函数：从集合到实数的映射。概率是定义在事件域概率是定义在事件域F F 上上的集合函数。的集合函数。在公理化结构中，只规定概率应满足的性质，而在公理化结构中，只规定概率应满足的性质，而不具体给出它的计算公式或计算方法。不具体给出它的计算公式或计算方法。第11页，此课件共40页哦2023/4/1411数科院 定义在事件域F上的一个集函数P称为概率，如果它满

7、足如下三个条件：（1）非负性：P(A)（2）规范性：P(W)=1;（3）可列可加性：1.概率的定义概率的定义第12页，此课件共40页哦2023/4/1412数科院证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得2.概率的性质概率的性质第13页，此课件共40页哦2023/4/1413数科院概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得第14页，此课件共40页哦2023/4/1414数科院证明证明第15页，此课件共40页哦2023/4/1415数科院证明证明证明证明第16页，此课件共40页哦2023/4/1416数科院证明证明由图可得由图可得又由性质又由性质 3

8、得得因此得因此得第17页，此课件共40页哦2023/4/1417数科院 推论推论1、布尔不等式、布尔不等式2、Bonferroni不等式不等式第18页，此课件共40页哦2023/4/1418数科院加法公式的推广加法公式的推广：三个事件和的情况：三个事件和的情况n 个事件和的情况个事件和的情况第19页，此课件共40页哦2023/4/1419数科院解解第20页，此课件共40页哦2023/4/1420数科院SABAB第21页，此课件共40页哦2023/4/1421数科院例例2 2 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王解解

9、事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2)至少有一类问题能答出的概率 (3)两类问题都答不出的概率(2)(3)第22页，此课件共40页哦2023/4/1422数科院例例3 3 设A,B满足 P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何条件下，P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解解最小值在 时取得 最小值 最大值最大值在 时取得 第23页，此课件共40页哦2023/4/1423数科院例例4 某区域有N 部卡车，车牌号从1到N，有一外地人到该区域去，把遇到的n部卡车的车牌号抄下来（可能重复），以Ak表示“抄到的最大号码正好为k（1kN）”，

10、求Ak的概率。解解：记Ak=记到的最大号码为k,Bk=记到的最大号码不超过k,则Ak=Bk-Bk-1。第24页，此课件共40页哦2023/4/1424数科院例例5（匹配问题）（匹配问题）某人写好某人写好n封信，又写好封信，又写好n只信封，然后在黑暗中只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少有一封信放对的概率。把每封信放入一只信封中，试求至少有一封信放对的概率。解解：记Ai=第i封信与信封符合，则所求事件为第25页，此课件共40页哦2023/4/1425数科院可列可加性有限可加性？四、可列可加性与连续性四、可列可加性与连续性第26页，此课件共40页哦2023/4/1426数科院所以只

11、需要下面条件成立所以只需要下面条件成立=第27页，此课件共40页哦2023/4/1427数科院下连续性可列可加性有限可加性下连续的定义下连续的定义因此我们有：？第28页，此课件共40页哦2023/4/1428数科院 若若P 是是FF上满足上满足P()=)=1 1的非负集合函数，则它的非负集合函数，则它具有具有可列可加性可列可加性的充要条件是的充要条件是 (i)(i)它是有限可加的它是有限可加的 (ii)(ii)它是下连续的它是下连续的证明证明：充分性：由前面的推导可得必要性:(i)有限可加性很容易证明 (ii)证下连续性,即证明对任意F中的 一个单调不减的集序列Sn，都有定理定理第29页，此课

12、件共40页哦2023/4/1429数科院(定义S0=f)分析：要证分析：要证第30页，此课件共40页哦2023/4/1430数科院系系1 概率是下连续的概率是下连续的系系2 概率是上连续的概率是上连续的第31页，此课件共40页哦2023/4/1431数科院分析：分析：第32页，此课件共40页哦2023/4/1432数科院柯尔莫哥洛夫的概率柯尔莫哥洛夫的概率公理化结构公理化结构样本空间 事件域F概率测度P全空间（全集）s域测度(集函数)具体讨论问题时，假定（具体讨论问题时，假定（,FF,P）是事先给定的）是事先给定的如何给出（如何给出（,FF,P）需要根据具体情况而定）需要根据具体情况而定五、概

13、率空间五、概率空间第33页，此课件共40页哦2023/4/1433数科院例例6（有限概率空间）（有限概率空间）W:n个样本点（有限个样本点）F:W中所有子集的全体（有限个集合，2n）这样，每个样本点wi 本身是事件P：只要对样本点wi给定P(wi),满足则由概率的可加性可知第34页，此课件共40页哦2023/4/1434数科院总结：总结：（1）选定了（）选定了（,FF）之后，概率的给定还有）之后，概率的给定还有相当大的灵活性。（例如抛硬币）相当大的灵活性。（例如抛硬币）（2）一旦）一旦P(w wi)给定后，事件给定后，事件A的概率就不能的概率就不能 任意给定任意给定第35页，此课件共40页哦2

14、023/4/1435数科院例例8 离散概率空间离散概率空间:可列个样本点可列个样本点w w1，w w2,FF:W W中所有子集的全体。这样，每个样本点中所有子集的全体。这样，每个样本点 w wi本本身是事件身是事件P：选可列个非负数：选可列个非负数Pi,i=1,2,满足满足 作为样本点作为样本点 i的概率。的概率。这时，事件这时，事件A的概率就取的概率就取A所包含的样本所包含的样本点概率之和。点概率之和。第36页，此课件共40页哦2023/4/1436数科院例例9（Borel s s代数）代数）=R1：即样本空间由全体实数构成：即样本空间由全体实数构成FF:直线上直线上Borel点集全体点集全

15、体P：对左闭右开区间定义概率：对左闭右开区间定义概率：R1的一部分的一部分 FF:直线上直线上Borel点集点集I I 全体全体P：对：对左闭右开区间左闭右开区间I I 定义概率定义概率第37页，此课件共40页哦2023/4/1437数科院例例10（n维维Borel代数）代数）=RnFF:n维欧几里德空间中维欧几里德空间中Borel点集全体点集全体B Bn nP：见：见Chapter 3 第38页，此课件共40页哦2023/4/1438数科院No4 作业作业P50 习题一36 37 39第39页，此课件共40页哦2023/4/1439数科院 问问 题题 已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6 第第4 4周周 则A,B,C 全不发生的概率是多少 第40页，此课件共40页哦2023/4/1440数科院