量子力学教程第三讲.pptx

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1、11.掌握微观粒子运动的动力学方程波函数随时间演化的规律 Schrdinger方程。2.掌握定态及其性质。学 习 内 容重点重点难点第1页/共35页2 2 23 3 薛定谔方程（S.ES.E）2-32-32-32-3薛定谔方程薛定谔方程经典力学经典力学:量子力学量子力学:知道某一时刻状态，由定律就能预言以后时刻状态知道某一时刻状态，由定律就能预言以后时刻状态描述经典粒子状态用坐标与动量描述经典粒子状态用坐标与动量遵从牛顿定律遵从牛顿定律知道某一时刻状态，由定律就能预言以后时刻状态知道某一时刻状态，由定律就能预言以后时刻状态描述微观粒子状态用波函数描述微观粒子状态用波函数遵从什么定律？遵从什么定

2、律？薛定谔方程薛定谔方程对经典粒子的描述是决定性结果对经典粒子的描述是决定性结果 对微观粒子的描述是统计性结果对微观粒子的描述是统计性结果 第2页/共35页3一、建立薛定谔方程的两个条件一、建立薛定谔方程的两个条件 建立的薛定谔方程就是描述波函数随时间的变化方程建立的薛定谔方程就是描述波函数随时间的变化方程1.1.方程应是线性微分方程方程应是线性微分方程这这是是态态迭迭加加原原理理的的要要求求。按按照照该该原原理理，若若1，1方方程程的的解解，那那么么1 1+b+b2 2也也应应该该是是方方程程的的解解。这这是是一一种种线线性性迭迭加加，只只有有线线性性方方程程才才能能满满足足该方程。所以要求

3、方程是线性方程该方程。所以要求方程是线性方程。2.2.这个方程的系数不应包括状态参量（如动量、这个方程的系数不应包括状态参量（如动量、能量）能量）因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被所有状态所满足粒子的部分状态所满足，而不能被所有状态所满足。第3页/共35页4二、薛定谔方程的建立二、薛定谔方程的建立（这里用了建立，而不用推导。（这里用了建立，而不用推导。Why?Why?参赵敏光参赵敏光配位场理论配位场理论P P4 4）1 1方法方法：先建立自由粒子方程，然后推广到一般情况先建立自由粒子方程，然后推广到一般情况2

4、2建立自由粒子薛定谔方程建立自由粒子薛定谔方程 自由粒子的波函数是自由粒子的波函数是 它应是所要建立的方程的解它应是所要建立的方程的解,因此：对时间求导因此：对时间求导 第4页/共35页5这不是我们要求的方程，虽是线性的，但这不是我们要求的方程，虽是线性的，但方程中含有状态参量（能量）。方程中含有状态参量（能量）。第5页/共35页6同理同理(1)+(2)+(3)(1)+(2)+(3)，得，得（仍含参量（仍含参量P P2 2）第6页/共35页7由由(5)(5)和和(6)(6)式得：式得：该方程即自由粒子的薛定谔方程该方程即自由粒子的薛定谔方程第7页/共35页8第8页/共35页9第9页/共35页1

5、0第10页/共35页11第11页/共35页12由此可以看出由此可以看出动量算符动量算符能量算符能量算符坐标算符坐标算符注注:这这是是坐坐标标表表象象中中表表示示三个基本算符第12页/共35页13第13页/共35页14上式即单粒子的薛定谔方程上式即单粒子的薛定谔方程（薛定谔薛定谔19261926年建立）年建立）第14页/共35页15单粒子方程可以推广到多粒子体系：单粒子方程可以推广到多粒子体系：即多粒子体系的薛定谔方程：即多粒子体系的薛定谔方程：薛定谔是方程是量子力学的基本方程（薛定谔是方程是量子力学的基本方程（基本基本假设假设），我们上面用了），我们上面用了“建立建立”二字，是建立二字，是建立

6、方程，不是用基本假设方程，不是用基本假设推导推导方程。方程。薛氏方程的正确性由实验验证。薛氏方程的正确性由实验验证。它在量子力学中的地位相当牛顿定律在经典它在量子力学中的地位相当牛顿定律在经典力学中的地位。力学中的地位。(h(h进入方程，进入方程，)Discussion：第15页/共35页16小小 结结注注 意意（1 1）SchrSchrdingerdinger作为一个作为一个基本假设基本假设提出来，它提出来，它的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而得到证实得到证实。（2 2）SchrSchrdingerdinger方程在非相对论量子力学中的方

7、程在非相对论量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿。地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿。第16页/共35页172-4 几率流密度和几率守恒定律一、粒子在空间出现的几率随一、粒子在空间出现的几率随t的变化规律的变化规律由薛氏方程由薛氏方程 第17页/共35页18将（将（2)(3)2)(3)代入代入(1)(1)式式,得得第18页/共35页19这这个个方方程程具具有有连连续续性性方方程程形形式式，即即几几率率密密度度随随t t的的变变化化规规律律。它它与与流流体体力力学学中中连连续续性性方方程程形形式式一一样样。这这个个方程也叫方程也叫几率守恒定律几率守恒定律的微分形式。的微分形式。第1

8、9页/共35页20将将(4)(4)式在任一空间体积式在任一空间体积V V积分积分 由矢量分析中高斯定理由矢量分析中高斯定理 表示空间中找到粒子的几率随时间的变化表示空间中找到粒子的几率随时间的变化表示单位时间内通过封闭曲面表示单位时间内通过封闭曲面S S而流入而流入V V的几率的几率第20页/共35页21（可与电流密度比较，电磁学（可与电流密度比较，电磁学P P180180，梁灿彬著），梁灿彬著）注：若波函数是实数，则几率流密度为零。注：若波函数是实数，则几率流密度为零。第21页/共35页22结论结论：单位时间内：单位时间内V V中增加几率应等于从体积中增加几率应等于从体积V V外穿过外穿过V

9、 V的的边界面流进边界面流进V V的几率，所以上式也叫实域几率守恒方程的几率，所以上式也叫实域几率守恒方程 若在无限远处波函数若在无限远处波函数为零，则将为零，则将V V扩大到整空间区域时扩大到整空间区域时 结论：结论：整个空间找到粒子的几率与时间无关整个空间找到粒子的几率与时间无关 。表明粒子的总几率不表明粒子的总几率不变变,即几率守恒即几率守恒。第22页/共35页23三、质量守恒与电荷守恒定律三、质量守恒与电荷守恒定律1 1质量守恒定律质量守恒定律 量子力学的量子力学的质量质量守恒定律守恒定律。第23页/共35页24电荷守恒定律电荷守恒定律 量子力学的量子力学的电荷电荷守恒定律守恒定律。第

10、24页/共35页25四波函数的标准化条件（自然条件）四波函数的标准化条件（自然条件）1 1有限性有限性 2 2单值性单值性 原因原因：时刻在点时刻在点(x,y,z)(x,y,z)找到粒子的几率密度应是唯一的找到粒子的几率密度应是唯一的 3 3连续性连续性 原因原因：描述粒子运动规律的方程是薛氏方程，它是一个偏描述粒子运动规律的方程是薛氏方程，它是一个偏微分方程，这就要求微分方程，这就要求 (x,t)(x,t)的偏微商要存在，而偏微商存的偏微商要存在，而偏微商存在的条件就要求在的条件就要求(x,t)(x,t)连续。在具体解决问题中就要求波连续。在具体解决问题中就要求波函数在区域的分界点的值相等，

11、有时候还要求在分界点的函数在区域的分界点的值相等，有时候还要求在分界点的一阶导数相等。一阶导数相等。第25页/共35页262.5 2.5 定态薛定谔方定态薛定谔方程程（1）（2）若若 与与 无关，则无关，则可以分离变量可以分离变量，令令 (2)代入代入(1)式，两边同除式，两边同除 ，得到，得到（3）等式两边是相互无等式两边是相互无关的物理量，故应关的物理量，故应等于与等于与 无关的无关的常数常数（4）第26页/共35页27（5）（6）(5)代入代入(2)式，得到式，得到令令de Broglie能量式 可见分离变量中引入的常数可见分离变量中引入的常数 为粒子的能量，当为粒子的能量，当粒子处在由

12、波函数粒子处在由波函数（6 6）所描述的状态时，粒子的能所描述的状态时，粒子的能量量 有确定的值，有确定的值，这种状态称为定态；这种状态称为定态；描述定态的描述定态的波函数波函数（6 6）称为称为定态波函数。定态波函数。定态波函数定态波函数2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续1 1）2 2定态定态SchrSchrdingerdinger方程方程 当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间空间波函数波函数 由方程（由方程（3 3），即由），即由第27页/共35页28在给定的定解条件下求出，方程（在给定的定解条件下求出，方程（7 7）称为）称为定

13、态定态SchrSchrdingerdinger方程。方程。（7 7）2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续2 2）3.Hamilton3.Hamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程（8）（9）这两个方程都是以一个算符作用在定态波函数这两个方程都是以一个算符作用在定态波函数 上，得出定态能量乘以该定态波函数，因此算符上，得出定态能量乘以该定态波函数，因此算符第28页/共35页29（10）均称为均称为能量算符（11）2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续3 3）利用哈密顿算符利用哈密顿算符(能量算符能量算符)可将方程可将方程(9)和定态和定态SchrSchrd

14、ingerdinger方程方程(7)和和分别分别写成写成（12）（13）和和两式均称为两式均称为哈密顿哈密顿算符算符(能量算符能量算符)的的本征方程本征方程 的的本征函数本征函数能量能量本征值本征值 为为本征波函数本征波函数第29页/共35页30 当体系处在能量本征波函数所描写的状态当体系处在能量本征波函数所描写的状态(又称又称本本征态征态)中时，粒子的能量有确定的值。中时，粒子的能量有确定的值。讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数及这些态中的能量及这些态中的能量 ；解能量算符本征方程（解能量算符本征方程（1212）求）求定态波函数的问题又归

15、结为解定态定态波函数的问题又归结为解定态SchrSchrdingerdinger方程方程+定解条件构成的本征值问题定解条件构成的本征值问题:2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续5 5）定解条件定解条件本征能量值谱：本征能量值谱：本征函数系：本征函数系：本征波函数本征波函数任意状态任意状态 第30页/共35页314.4.求解定态问题的步骤求解定态问题的步骤（1 1）列出定态）列出定态SchrodingerSchrodinger方程方程（2 2）根据波函数三个）根据波函数三个标准条件求解能标准条件求解能量量 的本征值问的本征值问题，得题，得：本征函数本征函数本征能量本征能量2.5 2

16、.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续7 7）（4 4）通过归一化确定归一化系数）通过归一化确定归一化系数（3 3）写出定态波函数）写出定态波函数即得到对应第即得到对应第 个个本征值本征值 的定态的定态波函数波函数第31页/共35页32与与 无关无关5 5定态的性质定态的性质（2 2）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关（1 1）粒子在空间几率密度与时间无关）粒子在空间几率密度与时间无关与与 无关无关判别定态的方法：判别定态的方法：2.5 2.5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程（续续8 8）（1 1）能量是否为确定值）能量是否为确定值（2 2）几率与时间无关）几率与时间无关（3 3）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关第32页/共35页331.1.下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）（2）（3）思思考考题题 2.2.如果一个粒子只有两个可能位置如果一个粒子只有两个可能位置,在量子力学在量子力学中其波函数怎样中其波函数怎样?意义又如何意义又如何?第33页/共35页34作业2.1，2.2，2.3第34页/共35页35感谢您的观看！第35页/共35页