高等数学高职ppt课件.ppt

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1、高等数学高等数学书名：高等数学（下）ISBN：978-7-111-31288-8作者：陶金瑞出版社：机械工业出版社本书配有电子课件高等数学（下）高职高专 ppt 课件认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目第九章第九章 无穷级数无穷级数学习目标：学习目标：l理解无穷级数收敛与发散的基本概念，掌握正理解无穷级数收敛与发散的基本概念，掌握正项级数和交错级数的审敛法；项级数和交错级数的审敛法；l掌握简单幂级数收敛于的求法，会将简单的函掌握简单幂级数收敛于的求法，会将简单的函数用间接展开法展开成幂级数；数用间接展开法展开成幂

2、级数；l掌握将周期函数和奇、偶函数展开为傅里叶级掌握将周期函数和奇、偶函数展开为傅里叶级数的方法。数的方法。高等数学高等数学高等数学（下）高职高专 ppt 课件认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目内容提要内容提要无穷级数无穷级无穷级数概念数概念和性质和性质周期为周期为2L的函数的函数的傅立的傅立叶级数叶级数傅立叶傅立叶级数的级数的复数复数形式形式正弦与余正弦与余弦级数弦级数 周期延拓周期延拓傅立傅立叶叶级数级数函数的函数的幂级幂级数展开数展开任意任意项项级数级数幂级幂级数数正项正项级数级数高等数学（下）高职高专

3、ppt 课件认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目第一节第一节 无穷级数概念与性质无穷级数概念与性质v重点：（重点：（1 1）级数及其收敛与发散级数及其收敛与发散 （2 2）级数的基本性质级数的基本性质 （3 3）级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件v难点难点:用定义判断级数的敛散性用定义判断级数的敛散性 高等数学（下）高职高专 ppt 课件认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目一、无穷级数的基本概念一、无穷级数的基本概念高等数学（下）

4、高职高专 ppt 课件认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目二、数项级数的收敛和发散二、数项级数的收敛和发散 例例1 讨论级数讨论级数 101解：这是以解：这是以为公比的等比级数，分别取级数的前为公比的等比级数，分别取级数的前1项，项，前前2项，项，前前n项做和：项做和：高等数学（下）高职高专 ppt 课件认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目高等数学（下）高职高专 ppt 课件认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病

5、除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目高等数学（下）高职高专 ppt 课件认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目高等数学（下）高职高专 ppt 课件认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目1.判定下列判定下列级级数的数的敛敛散性散性（1）（2）（3）（4）解：（解：（1）级级数的部分和数的部分和为为 所以所以级级数数发发散。散。高等数学（下）高职高专 ppt 课件认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药

6、到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（2）级数的部分和为级数的部分和为，即即 ，所以所以 不存在，所以级数不存在，所以级数 发散。发散。（3）因为因为，所以级数的部分和为所以级数的部分和为 而而 所以级数所以级数 收敛，其和为收敛，其和为 。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（4）因为 ，所以 而 所以级数 发散。例 3 讨论等比级数等比级数（又称几何级数几何级数）的敛散性。解：此级数的部分和为 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重

7、视，已经展开了“精准扶贫”项目三、无穷级数的性质三、无穷级数的性质性质性质1 若若 ，C为常数，则为常数，则 。性质性质2 若若 ，则有，则有 性质性质3 一个级数增加或去掉有限项，不改变级数的敛散一个级数增加或去掉有限项，不改变级数的敛散 性（但收敛级数的和要变）。性（但收敛级数的和要变）。性质性质4 收敛级数任意加括号后所形成的新级数仍收敛，收敛级数任意加括号后所形成的新级数仍收敛，其和不变。其和不变。注意：注意：性质性质4的逆命题是错误的。的逆命题是错误的。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例4 判别级

8、数判别级数 是否收敛，如果收敛，并求其和。是否收敛，如果收敛，并求其和。解：解：是是 的等比级数，收敛并且和为的等比级数，收敛并且和为 。同理同理 根据级数的性质根据级数的性质1，2可知，可知，也收敛，其和为也收敛，其和为 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目四、级数收敛的必要条件四、级数收敛的必要条件 只是级数收敛的必要条件而不是充分条件；只是级数收敛的必要条件而不是充分条件；定理：定理：若级数若级数 收敛，则收敛，则 。注：注：1）2）若若 不成立，则级数必定发散。我们经常用不成立，则级数必定发散。我们经常用

9、 这个结论来证明级数发散。这个结论来证明级数发散。例例5 判别级数判别级数 的敛散性。的敛散性。解：解：所以所以 由级数收敛的必要条件得原级数是发散的。由级数收敛的必要条件得原级数是发散的。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目第二节第二节 正项级数正项级数v重点：重点：正项级数收敛性的两个判别法正项级数收敛性的两个判别法v难点：难点：比较判别法中尺度的选择比较判别法中尺度的选择认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目一、比较审敛法一、比

10、较审敛法1.如果级数如果级数 的每一项的每一项 ，则称，则称 为为正项级数正项级数 2.设正项级数设正项级数 和和 满足：满足：则则 （1）若级数若级数 收敛，收敛，也收敛，也收敛，（2）若级数若级数 收敛，收敛，也收敛。也收敛。这个判别法称为正项级数的这个判别法称为正项级数的比较判别法比较判别法。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例1 级数级数 叫作调和级数，试判别其叫作调和级数，试判别其 敛散性。敛散性。解：解：当当 时，有时，有 （此不等式可用函数的（此不等式可用函数的 单调性来证明）单调性来证明）所以

11、所以 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2 讨论讨论 级数级数的敛散性。的敛散性。由比较判别法知由比较判别法知解：（解：（1）当当 时，时，级数为调和函数，故发散。级数为调和函数，故发散。（2）当当 时，时，因此，因此 ，发散。发散。（3）当）当 时，将级数改写成：时，将级数改写成：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶

12、贫”项目 解：（解：（1）因为因为22121nnn=p 的的p级数，故级数级数，故级数=+1221nnn 是收敛的。是收敛的。（2）当当0 x时，有时，有)1ln(xx+，所以，所以，)1ln(nn+，即，即nn1)1ln(1+，而而=11nn是发散的，故级数是发散的，故级数=+1)1ln(1nn发散。发散。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（4）因为因为11122+=+nnnnnn，而级数而级数=+111nn是发散的是发散的 故级数故级数=+121nnn发散。发散。（3）因为）因为 而级数而级数是公比为是公比

13、为 54的等比级数，且收敛的。的等比级数，且收敛的。故级数故级数=-1354nnnn收敛。收敛。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目比较判别法的极限形式：比较判别法的极限形式：设设=1nnu和和=1nnv是两个正项级数，若是两个正项级数，若avunnn=lim，+Ra，则这两个级数的敛散性相同。则这两个级数的敛散性相同。=11sinnn例例1 判别级数判别级数的敛散性。的敛散性。解：易知解：易知=11sinnn是正弦级数，因为是正弦级数，因为111sinlim=nnn，而而=11nn发散，发散，故级数故级数=11

14、sinnn发散。发散。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目二、比值审敛法二、比值审敛法认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例5 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性（1）=1nnna(0a)(2)=1!nnnn (3)=12nnn 解：解：（1）annananauunnnnnnn=+=+=+1lim1limlim11 因为因为0a，所以当，所以当10a时时 级数发散。级数发散。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然

15、后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目第三节第三节 任意项级数任意项级数v重点：重点：（1）交错级数审敛法交错级数审敛法 （2）绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛v难点：难点：绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目一、交错级数一、交错级数认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经

16、展开了“精准扶贫”项目例例1 判断下列级数的敛散性。判断下列级数的敛散性。（1）=-11)1(nnn （2）=-111)1(nnn 解：（解：（1）nun1=，111+=+nun 显然有显然有 1+nnuu，且，且 0lim=nnu 故级数收敛。故级数收敛。（2）nun1=，111+=+nun 显然有显然有 1+nnuu，且，且 01lim=nn，故级数收敛。故级数收敛。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近

17、年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2 证明级数证明级数=-121sin)1(nnnn收敛。收敛。证明：证明：因为因为2211sin)1(nnnn-，而级数，而级数=121nn是是2=p时时 的的p级数，它是收敛的，所以由比较判别法，级数级数，它是收敛的，所以由比较判别法，级数=-121sin)1(nnnn 收敛，从而级数收敛，从而级数=-121sin)1(nnnn是绝对收敛的。是绝对收敛的。故级数故级数=-121sin)1(nnnn收敛。收敛。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例 3

18、指出下列级数是绝对收敛还是条件收敛：指出下列级数是绝对收敛还是条件收敛：（1）=-111)1(nnn （2）=-111)1(nnnn 解：（解：（1）级数）级数=-111)1(nnn是交错级数，由交错级数审敛法可知是交错级数，由交错级数审敛法可知 它收敛。而它收敛。而=-=-11111)1(nnnnn是是1=p的的p级数，是发散的，级数，是发散的，故级数故级数=-111)1(nnn条件收敛。条件收敛。（2）级数）级数=-111)1(nnnn的每项取绝对值得级数的每项取绝对值得级数=11nnn，它是，它是23=p 的的p级数，是收敛的，因此级数级数，是收敛的，因此级数=-111)1(nnnn绝对

19、收敛。它本身一绝对收敛。它本身一 定收敛。定收敛。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目第四节第四节 幂级数幂级数v重点：重点：（1）幂级数概念及收敛半径、收敛）幂级数概念及收敛半径、收敛 区间区间 （2）幂级数的运算性质）幂级数的运算性质v难点：难点：利用幂级数的运算性质求幂级利用幂级数的运算性质求幂级 数的和数的和认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目一、幂级数的概念一、幂级数的概念认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然

20、后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 例例1 求幂级数求幂级数 LL+nxxxx321的收敛域及和函数的收敛域及和函数)(xS.x解：这是一个公比为解：这是一个公比为的等比级数，因此当的等比级数，因此当 ，即即11x时发散，所以级数时发散，所以级数 LL+nxxxx321 的收敛域为的收敛域为)1,1(-，发散域为，发散域为 。由等比级数的求和公式知由等比级数的求和公式知,它的和函数为它的和函数为xxS-=11)(，即，即 LL+=-nxxxxx

21、32111 )1,1(-x 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例1 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间（1）=0!nnnx （2）=-11)(nnnx （3）=-1)1(nnnnx （4）=+0212nnnxn 解：收敛半径为解：收敛半径为+=+=+=+)1(lim)!1(1!1limlim1nnnaaRnnnnn 故幂级数故幂级数=0!nnnx的收敛区间为的收敛区间为),(+-。认

22、识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目三、幂级数的运算性质三、幂级数的运算性质性质性质1：设幂级设幂级=0nnnxa和和=0nnnxb的收敛半径分别为的收敛半径分别为1

23、R和和2R，和函数分别为和函数分别为)(1xS和和)(2xS，),min(21RRR=，则幂级数，则幂级数=1)(nnnnxba的收敛半径为的收敛半径为R，且，且)()()(21000 xSxSxbaxbxannnnnnnnnn+=，RxRR，和函数为，和函数为)(xS，则在区间则在区间),(RR-内和函数可导，且有内和函数可导，且有=-=0010)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS 即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导。即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫

24、困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例3 求幂级数求幂级数 =-11nnnx的收敛区间及和函数，并求数项级数的收敛区间及和函数，并求数项级数 =12nnn的和。的和。11limlim1=+=+nnaaRnnnn解：解：因为因为 把把代入幂级数后都不收敛，所以原级数的收敛区间为代入幂级数后都不收敛，所以原级数的收敛区间为)1,1(-。设和函数为设和函数为)(xS，因为因为nxnxdtnt=-01，所以，所以，xxxdtntdtntdttSnnnxnxnnx-=-=-1)()(11010110 认识到了贫困户贫困的根本原因，

25、才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例4 对幂级数对幂级数 LLLL+-+-+-=+nnxxxx)1(1112 （11 -x）进行逐项求导和逐项积分。进行逐项求导和逐项积分。2)1(1)11(xx+-=+解：由于解：由于，对幂级数逐项求导得：，对幂级数逐项求导得：LLLL+-+-+-=+nnnxxxx122)1(321)1(1 （11 -x）对幂级数逐项积分得：对幂级数逐项积分得：LLLL+-+-+-=+xnnxxxxdtt

26、dtttdttddtt002000)1(11（11 -x）即即 LLLL+-+-+-=+-nnxnxxxxx1)1(413121)1ln(1432 （11 -x）认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例5 求幂级数求幂级数 =1!nnnx的和函数。的和函数。解：例解：例2中已经求出它的收敛区间为中已经求出它的收敛区间为),(+-，设和函数为设和函数为)(xS，LLLL+=!21)(2nxxxxSn即：即：),(+-x 逐项求导得：逐项求导得：)(!21)(2xSnxxxxSn=+=LLLL 即即 )()(xSxS

27、=解这个微分方程得：解这个微分方程得：xCexS=)(由于由于1)0(=S，所以，所以1=C，于是，于是xexS=)(即即 LLLL+=!212nxxxenx 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目第五节第五节 函数的幂级数的展开函数的幂级数的展开v重点重点 （1）把函数展开为幂级数）把函数展开为幂级数 （2）求函数的收敛区间）求函数的收敛区间v难点难点 （1）幂级数的展开技巧）幂级数的展开技巧 （

28、2）幂级数的简单应用）幂级数的简单应用认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目一、函数的幂级数展开一、函数的幂级数展开 问题：问题：（1）在（在（1）式中，系数）式中，系数0a，1a，2a，na如何确定？如何确定？（2）)(xf满足什么条件才能展开为满足什么条件才能展开为x的幂级数？的幂级数？我们来解决问题（我们来解决问题（1），不妨设展开式（），不妨设展开式（1）成立，那么根据幂）成立，那么根据幂 级数的逐项求导法，对式（级数的逐项求导法，对式（1）依次求出各阶导数：）依次求出各阶导数：)(xf=0nnnxa对于一

29、个给定的函数对于一个给定的函数，如果能找到一个幂级数，如果能找到一个幂级数,使使（RxR-）（1）成立，那么就说函数成立，那么就说函数)(xf可以展开为可以展开为x 的幂级数的幂级数,（1）式称为）式称为)(xf 的的x的幂级数展开式。的幂级数展开式。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目把把0=x代入（代入（1）式及上述各式中得：）式及上述各式中得：0)0(af=，1)0(af=，2!2)0(af=，nnanf!)0()(=，于是于是 )0(0fa=，!1)0(1fa=，!2)0(2fa =，!)0()(nfan

30、n=，代入到（代入到（1）式中得）式中得 LLLL+=nnxnfxfxffxf!)0(!2)0(!1)0()0()()(2（RxR -）（2）LLLL+=-1232132)(nnxnaxaxaaxf LL+=+221)(2)!2()!1(!)(xanxananxfnnnn 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目称式（称式（2）为）为)(xf的的麦克劳林展开式麦克劳林展开式，（或称，（或称)(xf在在0=x 处的处的泰勒展开式泰勒展开式）。式（式（2)右端的级数称为右端的级数称为)(xf的的麦克劳林级数麦克劳林级数（

31、或称（或称)(xf在在0=x处的处的泰勒级数泰勒级数）。）。并且我们可以得到：如果并且我们可以得到：如果)(xf在包含点在包含点0=x在内的某一在内的某一 区间区间),(RR-内有任意阶导数，且内有任意阶导数，且 （x在在0和和x之间，之间，RxR-）那么，那么，)(xf在在),(RR-区间内就可以展开为麦克劳林级数。用上述区间内就可以展开为麦克劳林级数。用上述 方法把已知函数展开成方法把已知函数展开成x的幂级数的幂级数叫做叫做直接展开法直接展开法。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例1 把函数把函数xexf

32、=)(展开为展开为x的幂级数。的幂级数。LL+!2!112nxxxn），（.321=n解：由于解：由于xnexf=)()(，故得，故得1)0()(=nf，由公式（由公式（2）得，）得，xe的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为 由第四节的例由第四节的例2知，它的收敛半径为知，它的收敛半径为+=R，下面证明这，下面证明这 个级数在个级数在),(-内收敛于内收敛于xe。（x在在0和和 x之间）之间）认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 因为因为xeex，故对任意给定的故对任意给定的x，xe有界，而有界，而)!1(1+nxn

33、 是收敛级数的一般项，所以根据级数收敛的必要条件，对任意是收敛级数的一般项，所以根据级数收敛的必要条件，对任意 的的x，都有，都有 0)!1(lim1=+nxnn 从而，从而，0)(lim=xRnn，Rx 这样，我们得到这样，我们得到xe的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为 LL+=!2!112nxxxenx （+-x）认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2 求正弦函数的麦克劳林级数。求正弦函数的麦克劳林级数。解：解：xysin=的各阶导数为的各阶导数为)2sin()()(pnxxfn+=（0,1,2,3n=L）

34、)0()(nf（n=0，1，2，3，）依次循环地取）依次循环地取0，1，0，-1，于是得于是得xsin的展开式为的展开式为 LL+-+-+-+)!12()1(!5!31253nxxxxnn （0,1,2,3n=L）容易求得此级数的收敛区间为容易求得此级数的收敛区间为),(-。而。而 11)()!1(2)1(sin)!1()()(+=+=nnnnxnnxnfxRpxx（x在在0和和 x之间）之间）认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 例例3 余弦函数余弦函数xxfcos)(=的麦克劳林级数。的麦克劳林级数。解：根据

35、幂级数的运算性质，对解：根据幂级数的运算性质，对xsin的展开式两边求导得：的展开式两边求导得：LL+-+-+-=!2)1(!4!21cos242nxxxxnn （+-x）因为因为 所以由例所以由例1的讨论可得的讨论可得 0)(lim=xRnn，Rx 于是得：于是得：LL+-+-+-=+)!12()1(!5!3sin1253nxxxxxnn （+-x）认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例4 求

36、函数求函数xxxf-+=11ln)(的麦克劳林级数。的麦克劳林级数。解：解：)1ln()1ln(11ln)(xxxxxf-+=-+=可先求可先求)1ln(x+和和)1ln(x-的展开式：的展开式：LL+-+-+-=+1)1(32)1ln(132nxxxxxnn （11-x）把上式中的把上式中的x换为换为x-，得：，得：LL-+-=-+132)1ln(132nxxxxxn （11-x）两式相减便得：两式相减便得：)1253(211ln123LL+-+=-+-nxxxxxxn （11-x）认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶

37、贫”项目例例5 把把x1展开成展开成2-x的幂级数。的幂级数。解：解：把把x-11的展开式中的的展开式中的x换为换为22-x得：得：)2)2(2)3(2)2(221(211443322LL-+-+-=xxxxx （1221-x）整理得：整理得：)2)2()1(2)3(2)2(22211143322LLLL+-+-+-=+nnnxxxxx （40 x）认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目二、幂级数的应用举例二、幂级数的应用举例例例6 求求o15sin的近似值（精确到的近似值（精确到410-）。）。1215p=o解：

38、解：因为因为，由，由xsin的展开式得：的展开式得：12153)12()!12(1)1()12(!51)12(!311212sin-+-+-nnnpppppL 因为因为3112412p，所以，所以 当取前两项为其近似值时，其误差不大于第三项，当取前两项为其近似值时，其误差不大于第三项，所以，所以，2588.0)12(!311212sin3-ppp 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例7 计算积分计算积分10sindxxx的近似值（精确到的近似值（精确到 410-）解：解：被积函数的原函数不是初等函数，将被积函

39、数按幂级数被积函数的原函数不是初等函数，将被积函数按幂级数 展开，有展开，有 LL+-+-+-=)!12()1(!5!31sin242nxxxxxnn （+-x）两边积分得：两边积分得：所以所以 若取前若取前3项作为其近似值，则误差不大于第四项，项作为其近似值，则误差不大于第四项，认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 例例8 利用幂级数证明欧拉公式利用幂级数证明欧拉公式 xixeixsincos+=（*）证明：在证明：在xe的展开式中，将的展开式中，将x换为换为ix得：得：LL+=!)(!3)(!2)(132ni

40、xixixixenix 12-=iii-=314=iii=5由于由于，所以所以 xixxxxixxxixxixixeixsincos)!5!3()!4!21(!5!4!3!2153425432+=-+-+-+-=-+-+=LLL 证毕。证毕。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目第六节第六节 傅立叶级数傅立叶级数v重点：重点：（1）三角函数系的正交性）三角函数系的正交性 （2）把周期为的函数展开为傅

41、立叶）把周期为的函数展开为傅立叶 技术，并求出收敛于的范围技术，并求出收敛于的范围v难点：难点：（1）收敛定理的理解）收敛定理的理解 （2）傅立叶系数的计算）傅立叶系数的计算认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目一、问题的提出一、问题的提出在自然现象和科学技术中，常会遇到各种周期现象，这类周期在自然现象和科学技术中，常会遇到各种周期现象，这类周期 现象中的有关量在经过一定的时间现象中的有关量在经过一定的时间T以后，又回到原来的初值。这以后，又回到原来的初值。这 样的周期一般是可由周期为样的周期一般是可由周期为T的函

42、数来描述。的函数来描述。)()(tfTtf=+例如例如：弹簧的振动可用函数弹簧的振动可用函数)sin(jw+=tAS来表示；来表示；正弦交流电的电流强度可用函数正弦交流电的电流强度可用函数 )sin(0jw+=tII来表示。来表示。其中其中A和和0I叫做叫做振幅振幅，w是是角频率角频率，j叫做叫做初位相初位相。它们。它们 都是以都是以wp2=T为周期的函数，它们所描述的周期现象称为为周期的函数，它们所描述的周期现象称为简谐振动简谐振动。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目二、三角函数系的正交性二、三角函数系的正交

43、性如果级数（如果级数（1）在某种条件下能收敛于）在某种条件下能收敛于 一个函数一个函数)(xf，（，（Dx），），则称函数则称函数)(xf能展开成傅立叶级数，或者说三角级能展开成傅立叶级数，或者说三角级 数（数（1）在这种）在这种条件下收敛于函数条件下收敛于函数)(xf，即，即=+=10)sincos()(nnnnxbnxaAxf，Dx 三角级数（三角级数（1）中出现的函数综合）中出现的函数综合 称为称为三角函数系三角函数系=+10)sincos(nnnnxbnxaA由正弦、余弦函数组成的形如由正弦、余弦函数组成的形如 的级数，的级数，称为称为三角级数三角级数，又称，又称傅立叶级数傅立叶级数。

44、其中其中 都是常数。都是常数。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目设设)(xf以以p2为周期，并且可以展开成傅立叶级数（为周期，并且可以展开成傅立叶级数（1），即），即 =+=10)sincos()(nnnnxbnxaAxf （2）首先就要解决如下的两个问题：首先就要解决如下的两个问题：（1）展开式中的系数展开式中的系数0A，na，nb，如何确定？，如何确定？（2）)(xf满足什么样的条件，展开式

45、才收敛于满足什么样的条件，展开式才收敛于)(xf呢？呢？下面先来解决问题（下面先来解决问题（1）。假定函数）。假定函数)(xf在在,pp-上可积，并且上可积，并且它的展开它的展开 式可以逐项积分，则有式可以逐项积分，则有=-+=10)sincos()(nnnnxdxbnxdxadxAdxxfpppppppp 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目由三角函系的正交性可得：由三角函系的正交性可得：002)(AdxAdxxfppppp=-200aA=dxxfa)(10-=ppp令令，则，则 再用再用kxcos乘以（乘以（

46、2）式右端，并在）式右端，并在,pp-上积分，有上积分，有=-+=10)cossincoscos(coscos)(nnnkxdxnxbkxdxnxadxkxAkxdxxfpppppppp 由三角函数的正交性，得：由三角函数的正交性，得：，从而求出，从而求出na：（n=1，2，3，）认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 nanb由（由（3）式所确定的系数）式所确定的系数，称为称为)(xf的的傅立叶系数傅立叶系数，把它们代入，把它们代入（2）式即得）式即得)(xf的傅立叶级数展开式的傅立叶级数展开式 =+=10)si

47、ncos(2)(nnnnxbnxaaxf （5）同理用同理用kxsin乘以（乘以（2）式两端，并在）式两端，并在,pp-上积分，可得：上积分，可得：（n=1，2，3，）（3）（4）综上所述，综上所述，)(xf的展开式的系数可以表示如下：的展开式的系数可以表示如下：（n=1，2，3，）（n=1，2，3，）认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例1 设设)(xf以以p2为周期，它在为周期，它在,pp-

48、上的表达式为上的表达式为-=,1,1)(xf pp-xx00 将将)(xf展开成傅立叶级数。展开成傅立叶级数。解：解：计算傅立叶系数计算傅立叶系数 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（2）写出傅立叶级数写出傅立叶级数)12sin(1215sin513sin31sin4LL+-+xnnxxxp）0211=+-（1）讨论收敛性：讨论收敛性：由于由于)(xf满足收敛定理的条件，它在满足收敛定理的条件，它在pkx=（处不连处不连续，其它地方都连续，由收敛定理知道，在续，其它地方都连续，由收敛定理知道，在pkx=时，时，

49、级数收敛于级数收敛于，pkx)(xf在在时，级数收敛于时，级数收敛于，即，即)12sin(1215sin513sin31sin4)(LL+-+=xnnxxxxfp （+-x，pkx，）其和函数的图形如图。其和函数的图形如图。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2 设设-=ppxxxxf0,00,)(，以，以p2为周期，将为周期，将)(xf展开为展开为 傅立叶级数。傅立叶级数。解：（解：（1）计

50、算傅立叶系数计算傅立叶系数 21)(100pppppp-=-xdxdxxfa 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目(2)写出傅立叶级数写出傅立叶级数 L-+-+-+-)5sin515cos52(4sin41)3sin313cos32(2sin21)sincos2(422xxxxxxxxpppp ）不连续，）不连续，(3)讨论敛散性讨论敛散性)(xf满足收敛定理的条件，在满足收敛定理的条件，在p)12(+=kx（因此在这些点级数收敛于因此在这些点级数收敛于22)(02)0()0(pppp-=-+=+-ff在其它点处