chapter函数极限连续小结.pptx

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1、一、主要内容一、主要内容（一）函数的定义（一）函数的定义函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数第1页/共52页（二）极限的概念（二）极限的概念左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列

2、极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大无穷大第2页/共52页1 1、极限的定义、极限的定义第3页/共52页第4页/共52页左极限左极限右极限右极限第5页/共52页无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大第6页/

3、共52页定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质第7页/共52页定理定理推论推论1 1推论推论2 23 3、极限的性质、极限的性质第8页/共52页4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法a

4、.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.第9页/共52页5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则(夹逼准则夹逼准则)第10页/共52页(1)(2)6 6、两个重要极限、两个重要极限第11页/共52页定义定义:7 7、无穷小的比较、无穷小的比较第12页/共52页定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)8、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质9、极限的唯一性、极限的

5、唯一性第13页/共52页（三）连续的概念（三）连续的概念左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类第14页/共52页1 1、连续的定义、连续的定义第15页/共52页定理定理3 3、连续的充要条件、连续的充要条件2 2、单侧连续、单侧连续第16页/共52页4 4、间断点的

6、定义、间断点的定义第17页/共52页(1)跳跃间断点跳跃间断点(2)可去间断点可去间断点5 5、间断点的分类、间断点的分类第18页/共52页跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型0yx0yx第19页/共52页0yx无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点0yx第二类间断点第二类间断点第20页/共52页6 6、闭区间的连续性、闭区间的连续性7 7、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理第21页/共52页定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的

7、连续反函数续反函数.定理定理2 28 8、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理3 3第22页/共52页定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9 9、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.第23页/共52页定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区

8、间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.第24页/共52页推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.第25页/共52页二、典型例题二、典型例题Solution.Solution.由此可求得由此可求得x的取值范围，即为定义域的取值范围，即为定义域.第26页/共52页Solution.第27页/共52页Proof.两式联立可求得，两式联立可求得，第28页/共52页Solution.第29页/共52页ex5.计算计算 Solution.第30页/共52页ex6.计算计算 Solution.

9、第31页/共52页Solution.Solution.第32页/共52页Solution.第33页/共52页Solution.第34页/共52页Solution.第35页/共52页Solution.第36页/共52页ex13.计算计算Solution.第37页/共52页Solution.由夹逼准则得由夹逼准则得 第38页/共52页Proof.第39页/共52页的极限存在，并求其极限的极限存在，并求其极限.Solution.第40页/共52页所以数列极限存在所以数列极限存在.第41页/共52页Solution.第42页/共52页Solution.第43页/共52页Solution.第44页/共52页Solution.第45页/共52页Solution.由零点定理由零点定理,第46页/共52页Proof.则则 F(x)在闭区间在闭区间 0,1上连续上连续.由零点定理得由零点定理得,第47页/共52页ex23.设设 f(x)在闭区间在闭区间 0,a上连续上连续,Proof.第48页/共52页Proof.第49页/共52页ex25.设设 f(x)在闭区间在闭区间 a,b上连续上连续,Proof.第50页/共52页由介值定理得由介值定理得,The end 第51页/共52页