Chap格林公式曲线积分与路径的无关性实用.pptx

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1、格林公式区域D边界曲线L的方向定理21.11 格林公式格林公式的简单应用应用格林公式的关键点第1页/共37页曲线积分与路线的无关性区域连通性分类曲线积分与路径无关的定义定理21.12 定理的说明定理的应用第2页/共37页区域D边界曲线L的方向区域D边界曲线L的方向沿边界行走时，若区域D总在左边，则称行走方向为L的正方向，记为L与之相反的方向称为L的负方向，记为-LDD由与组成逆时针方向逆时针方向顺时针方向第3页/共37页定理21.11格林公式定理21.11设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数 及 在D上具有一阶连续偏导数，则有 其中L是D的取正向的边界曲线。公式(1)称为格林(Green)公

2、式。第4页/共37页分析分析只须证明及(1)若区域D既是x型又是y型yxOD(2)若区域D由如图的按段光滑的闭曲线L围成。D(3)若区域不止由一条闭曲线所围成。第5页/共37页yxOabDcdABCE(1)若区域D既是x型又是y型证明：证明(1)第6页/共37页同理可证yxOdDcCEBA两式相加得(1)(2)证明(1)第7页/共37页D(2)若区域D由如图的按段光滑的闭曲线L围成。将D分成三个既是型又是型的区域证明(2)第8页/共37页ABCD证明(2)第9页/共37页GDFCEAB(3)由(2)知若区域不止由一条闭曲线所围成。添加直线段AB,CE，则D的边界曲线由AB,AFC,CE,EC及

3、 CGA构成。证明(3)第10页/共37页简单应用格林公式的简单应用简化曲线积分（例1）简化二重积分（例2，例3）计算平面面积（例4）第11页/共37页xyOL1）简化曲线积分AB解 引入辅助曲线L,例1计算其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限部分。由于例1第12页/共37页2）简化二重积分xyO例2 计算,其中D是以为顶点的三角形闭区域。解则例2第13页/共37页例3 计算,其中L为一条分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。.OxyLOx例3第14页/共37页例3第15页/共37页解记L所围成的闭区域为D，令 则当时,.有xyOL由格林公式知(1)当时,例3第16页

4、/共37页yxO当时,(2)记由和所围成,由格林公式,得逆时针方向),所以例3第17页/共37页xyO例3第18页/共37页3）计算平面面积格林公式:取 得闭区域的面积 取 得 取 得 计算平面面积平面面积计算公式第19页/共37页解例4计算抛物线与x轴所围成的面积。O为直线.曲线由函数表示,例4第20页/共37页应用格林公式的关键点应用格林公式的几个关键点1.先作图并检查是否封闭曲线；2.找P(x,y)及Q(x,y),并检查是否满足定理的条件;3.根据格林公式化为二重积分并求出其值;4.若有添加直线或曲线，则要求出该直线或曲线积分，再求题目要求的值。第21页/共37页区域连通性分类区域连通性

5、分类设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD第22页/共37页曲线积分与路径无关定义GyxoBA如果在区域G内有与路径有关.则称曲线积分在G内与路径无关，否则闭曲线的曲线积分为零）内任意（或沿第23页/共37页定理12在内具有一阶连续偏导数,闭曲线的曲线积分为零）在内恒成立.设区域是一个单连通域,在内与路径无关证 充分性设对内任一闭曲线C,由的单连通性可知：C所围成函数则曲线积分内任意（或沿的充要条件是定理21.12第24页/共37页证明的闭区域D全部在G内，由格林公式得必要性设沿G内任意闭曲线的曲线积分为零，

6、用反证法证。倘若上述结论不成立，则在G内至少存在一点使不妨设可以在G内取一个以在G内连续，由于第25页/共37页证明为圆心、半径足够小的圆形闭区域K，由格林公式及二重积分的性质得其中是K的正向边界曲线，是K的面积。因为于是这与已知矛盾。所以使得在K上恒有设沿G内任意闭曲线的曲线积分为零，证毕第26页/共37页定理21.12(21.12(全微分求积)定理12设区域是一个单连通域,在内为某一函数的全微分的充要条件是在内恒成立.在内具有一阶连续偏导数,函数则等式第27页/共37页定理的说明两条件缺一不可。定理的说明：(1)区域是一个单连通域.偏导数.(2)函数在内具有一阶连续第28页/共37页 L所

7、围成的区域含有原点时，如例3中的积分虽然除去原点外，恒有但沿闭曲线L的积分定理的说明第29页/共37页解例5由点到点的曲线弧其中L为原积分与路径无关。计算故原式例5 5第30页/共37页解例6其中具有连续的导数,计算因积分与路径无关与路径无关,设曲线积分且例6 6第31页/共37页即由知故 例6 6第32页/共37页小 结1.区域D边界曲线L的方向；连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3.格林公式的应用（注意几个关键点）4.曲线积分与路径无关条件格林公式;第33页/共37页小 结4.曲线积分与路径无关条件与路径无关的四个等价命题条件等价命题(3)在D内存在函数使连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.在单连通开区域上具有第34页/共37页思考题若区域 如图为复连通域，思考题试描述格林公式中曲线积分中L的方向。第35页/共37页思考题解答思考题解答由两部分组成外边界：内边界：第36页/共37页感谢您的欣赏！第37页/共37页