D14无穷小无穷大.pptx

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1、例例3.证明证明证证:故取当时,必有因此第1页/共18页3.左极限与右极限左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理定理 3.(P39 题*11)第2页/共18页函数极限的性质2.函数极限的局部保号性（函数极限的局部保号性（P37定理定理3）1.函数极限的局部有界性（函数极限的局部有界性（P36定理定理2）3.函数极限的唯一性函数极限的唯一性（P36定理定理1）4.函数极限与数列极限的关系（函数极限与数列极限的关系（P37定理定理4）第3页/共18页 第一章 二、二、无穷大无穷大 三三、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、无穷小无穷小 第四节第四节无穷小与无穷大第4页/共

2、18页当一、一、无穷小（量）无穷小（量）定义定义1.若时,函数则称函数例如:函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小（量）无穷小（量）.时为无穷小.第5页/共18页其中 为时的无穷小量.定理定理 1.(无穷小与函数极限的关无穷小与函数极限的关系系)证证:当时,有对自变量的其他变化过程类似可证.第6页/共18页二、二、无穷大（量）无穷大（量）定义定义2.若任给任给 M 0,一切满足不等式的 x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将 式改为则记作(正数正数 X),记作总存在第7页/共18页注意注意:1.无穷小并不是很小的数，无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函

3、数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如例如,函数但不是无穷大!第8页/共18页例例.证明证明证证:任给正数 M,要使即只要取则对满足的一切 x,有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线.铅直渐近线说明:第9页/共18页三、无穷小与无穷大的关三、无穷小与无穷大的关系系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:第10页/共18页换成也成立！四、四、无穷小运算法则（无穷小运算法则（P38-39）定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.如果则第11页/共18页时,有定理定理1.有限个无穷小的和还是

4、无穷小.证证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.第12页/共18页说明说明:无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小!例如，例如，类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小.夹逼准则第13页/共18页推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷有界函数与无穷小的乘积是无穷小小.如果则第14页/共18页定理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷有界函数与无穷小的乘积是无穷小小.证证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.第15页/共18页例例1.求求解解:利用定理 2 可知说明说明:y=0 是的渐近线.第16页/共18页内容小结内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系Th13.无穷小与无穷大的关系Th2 作业作业 P37*2(2);4(1);8第五节 第17页/共18页感谢您的欣赏！第18页/共18页