G重积分的应用.pptx

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1、1第第6 6节节 重积分的应用重积分的应用一、立体体积 二、曲面的面积 第21章 本节内容：三、物体的重心四、物体的转动惯量五、物体的引力第1页/共47页21.能用重积分解决的实际问题的能用重积分解决的实际问题的特点特点所求量是 对区域具有可加性 从积分定义出发 建立积分式 用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量 3.解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的方法 第2页/共47页3一、立体体积（补充）一、立体体积（补充）1.曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为3.占有空间有界域 的立体的体积为第3页/共47页4任一点的切平面与曲面所围立体

2、的体积 V.解:曲面的切平面方程为它与曲面的交线在 xoy 面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面求曲面第4页/共47页5例例2.求半径为求半径为a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接锥面所围成的立体的体积（如图）.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为第5页/共47页6二、曲面的面积二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则第6页/共47页7故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即第7页/共47页8若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且若光滑曲面方程由参数方程给出，也有

3、相应的计算公式。参见P253254。略。第8页/共47页9例3求圆锥在圆柱体内那部分的面积。（P253 例1）解：根据面积公式其中，D：,所求曲面方程为所以，第9页/共47页10例例4.计算双曲抛物面计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A.（补充）第10页/共47页11例例5.计算半径为计算半径为 a 的球的表面积的球的表面积.解:设球面方程为 球面面积元素为方法2 利用直角坐标方程.练习 方法1 利用球坐标方程.注意：本例是 P254 例2 的特例。第11页/共47页12三、物体的重心三、物体的重心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的重心坐标为设物体

4、占有空间域 ,有连续密度函数则 公式,分别位于为即:采用“分割,近似代替,求近似和,取极限”可导出其重心 第12页/共47页13将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的重心坐标就近似该物体的重心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点第13页/共47页14同理可得同理可得则得形心坐标：第14页/共47页15若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩第15页/共47页16例例6.求位于两圆求位于两圆和的重心.（补充）解:利用对称性可知而之间均匀薄

5、片第16页/共47页17例例7.一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形,剖面剖面壁线壁线的方程为内储有高为 h 的均质钢液,解:利用对称性可知重心在 z 轴上，炉壁方程为因此故自重,求它的重心.（补充）若炉不计炉体的其坐标为第17页/共47页18第18页/共47页19四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续体的转动惯量可用积分计算.第19页/共47页20类似可得类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对

6、原点的转动惯量第20页/共47页21如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.这里l为转动轴，r(x,y)为D中点(x,y)到l的距离函数。第21页/共47页22例例8.求半径为求半径为 R 的均匀半圆薄片对其的均匀半圆薄片对其直径直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.（P257 例5另解）第22页/共47页23解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,则球体的质量例例9.9.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯的转动惯量量.(补补)设球 所占域为(用球坐标)第23页/共47页24 k为引力常数五、物体的引力五、物体的引

7、力设物体占有区域,A（，）点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度引力元素在三坐标轴上的投影分别为第24页/共47页25对 xoy 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为第25页/共47页26例例10.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。第26页/共47页27例例11.求半径求半径 R 的均的均匀球匀球对位于的单位质量质点的引力.解:利用对称性知引力分量点第27页/共47页28为球的质量第28页/共47页29作业作业P259 2，3（1）,4（2）5（1），6（1）第29页/共47页30(t 为时间)的雪

8、堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,1.设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时?(2001考研)备用题备用题第30页/共47页31提示提示:记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则(用极坐标)第31页/共47页32由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.第32页/共47页332.计算计算其中D 是由曲所围成的平面域.解:其形心坐标为:面积为:积分区域线形心坐标第33页/共47页343.第34页/共47页35解4.第35页/共47页36第36页/共47页37解

9、解方程组得两曲面的交线为圆周平面上的投影域为5.在第37页/共47页38第38页/共47页396.求均匀球壳求均匀球壳解：利用对称性为计算方便选择：第39页/共47页407.设一圆柱体由柱面设一圆柱体由柱面解：画出圆柱体所占区域的图形，注意到圆柱体是均匀的，且具有对称性,计算其转动惯量在柱面坐标中第40页/共47页41解8.第41页/共47页42第42页/共47页43解9.第43页/共47页44解10.第44页/共47页4511.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围立体的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为:第45页/共47页46质心坐标第46页/共47页47谢谢您的观看！第47页/共47页