第4章-线性映射ppt课件.ppt

《第4章-线性映射ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4章-线性映射ppt课件.ppt（55页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第四章第四章 线性映射线性映射厦门大学数学科学学院厦门大学数学科学学院 网站网站:IP:59.77.1.116IP:59.77.1.116认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目主题主题用线性映射的观点研究线性空间用线性映射的观点研究线性空间线性映射与线性相关性的关系线性映射与线性相关性的关系线性映射与子空间的关系线性映射与子空间的关系两重要子空间两重要子空间两重要子空间两重要子空间ImImA A和和和和KerKerA A确定线性映射的方法确定线性映射的方法由空间基的象决由空间基的象决定定认识到了贫困户贫困的根本原因

2、，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目要点要点在取定基情况下在取定基情况下 线性映射线性映射 矩阵矩阵 几何观点几何观点 代数方法代数方法线性映射在不同基下的矩阵线性映射在不同基下的矩阵矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似矩阵的相似用同构观点讨论线性映射与矩阵本质联系用同构观点讨论线性映射与矩阵本质联系认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目目的要求目的要求熟练理解熟练理解和和掌握掌握映射映射、单射单射、满射满射、双射双射、可逆映射可逆映射的定义的定义熟练掌握熟练掌握线性

3、映射线性映射的定义与基本性质的定义与基本性质正确理解和掌握正确理解和掌握线性空间同构线性空间同构的性质与判的性质与判别方法别方法了解了解嵌入映射嵌入映射与与投影映射投影映射认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目映射映射_1映射映射映射映射 两集合两集合两集合两集合A A和和和和B B 的一个映射的一个映射的一个映射的一个映射AB象象原象原象认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目ABba1a2ABAB12ABba1a2ABba1a2AB1

4、2合法合法非法！非法！映射映射_2认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目映射映射_3n 为为满满满满的的n 为为一一对应一一对应一一对应一一对应或或或或双射双射双射双射的的n 为为单单单单的的 若若B中每个元素都有中每个元素都有A中元素与之对应中元素与之对应若若 为满的且是单的为满的且是单的认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目应用应用矩阵密码矩阵密码明文明文 密文密文置换密码置换密码置换密码置换密码 A,B,Z 0,1,25 A,B,

5、Z 0,1,25 K K:密钥密钥密钥密钥 P P:明文字母对应整数明文字母对应整数明文字母对应整数明文字母对应整数 C C:密文字母对应整数密文字母对应整数密文字母对应整数密文字母对应整数 C C=P P+K K(mod 26)(mod 26)为模为模为模为模2626的同余式，该密码称为的同余式，该密码称为的同余式，该密码称为的同余式，该密码称为加法密码加法密码加法密码加法密码。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目应用应用_矩阵密码矩阵密码例例例例：明文信息为：明文信息为：明文信息为：明文信息为 MEETING

6、 IN MY OFFICEMEETING IN MY OFFICE 若若若若K K=5,=5,则密文为则密文为则密文为则密文为 RJJYN SLNSR DTKKN HJRJJYN SLNSR DTKKN HJ解密：解密：解密：解密：实验法实验法实验法实验法 用用用用K K=0,1,25=0,1,25 逐个检验逐个检验逐个检验逐个检验P P=C CK K(mod 26)(mod 26)字母出现频率字母出现频率字母出现频率字母出现频率 字母字母字母字母E E出现频率最高，解方出现频率最高，解方出现频率最高，解方出现频率最高，解方 程程程程 9=4+9=4+K K （mod 26mod 26）得得得

7、得K K=5=5 缺点：容易破译，保密性差缺点：容易破译，保密性差缺点：容易破译，保密性差缺点：容易破译，保密性差认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目应用应用_矩阵密码矩阵密码矩阵密码矩阵密码 将一组将一组n 个明文字母指派给一组个明文字母指派给一组n 个密文个密文,同一字母可以有不同的对应。同一字母可以有不同的对应。每一个字母用一个数代表每一个字母用一个数代表:1到到26表示表示A到到Z,27表示空格表示空格,28表示表示?,29表示！表示！取取n=2,加密过程是同时取两个明文字母加密过程是同时取两个明文字母P

8、1和和P2,用它们的等价数字置换成具有如下形式用它们的等价数字置换成具有如下形式的模的模29的同余式：的同余式：C1=aP1+bP2(mod 29)C2=cP1+dP2(mod 29)认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目应用应用_矩阵密码矩阵密码这样就确定了明文字母这样就确定了明文字母这样就确定了明文字母这样就确定了明文字母P P1 1 和和和和P P2 2的等价密码的等价密码的等价密码的等价密码C C1 1和和和和C C2 2,如此一对一进行下去，直到全部信息被加密。如此一对一进行下去，直到全部信息被加密。如此

9、一对一进行下去，直到全部信息被加密。如此一对一进行下去，直到全部信息被加密。加密过程可记作加密过程可记作加密过程可记作加密过程可记作 M M 称为称为称为称为密码矩阵密码矩阵密码矩阵密码矩阵。这种加密方法破坏了字母出。这种加密方法破坏了字母出。这种加密方法破坏了字母出。这种加密方法破坏了字母出现的频率不变性，加大了破译的难度。现的频率不变性，加大了破译的难度。现的频率不变性，加大了破译的难度。现的频率不变性，加大了破译的难度。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目应用应用_矩阵密码矩阵密码为加大破译难度，可设为加大

10、破译难度，可设n=3。设密码矩阵设密码矩阵明文明文 UNITED NATIONS加密加密 等价数字：等价数字：21,14,9,20,5,4,27,14,1,20,9,15,14,19 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目应用应用_矩阵密码矩阵密码信息密文：信息密文：ZXVVJUBCOEPLCRO因因因因n n=3=3让每三个连续的字母成为一个列向量进行矩让每三个连续的字母成为一个列向量进行矩让每三个连续的字母成为一个列向量进行矩让每三个连续的字母成为一个列向量进行矩阵计算阵计算阵计算阵计算认识到了贫困户贫困的根本

11、原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目应用应用_矩阵密码矩阵密码解密解密解密解密 密文密文密文密文 WUUF!VNSOWVKLMHURLQHKWKIWUUF!VNSOWVKLMHURLQHKWKI 密码矩阵的逆阵密码矩阵的逆阵密码矩阵的逆阵密码矩阵的逆阵：先对前先对前12个字母进行译密，得到个字母进行译密，得到继续下去，得明文信息：继续下去，得明文信息：SEND MONEY IMMEDIATELY!认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目映射映射_4l l“相等

12、相等相等相等”集合集合集合集合A A到到到到B B的两个映射的两个映射的两个映射的两个映射 称为相等的当称为相等的当称为相等的当称为相等的当且仅当且仅当且仅当且仅当 都有都有都有都有 ,则称则称则称则称 ,记做记做记做记做特别提示特别提示特别提示特别提示 只有定义在相同的值域和定义域下的两只有定义在相同的值域和定义域下的两只有定义在相同的值域和定义域下的两只有定义在相同的值域和定义域下的两个映射才有相等的概念个映射才有相等的概念个映射才有相等的概念个映射才有相等的概念l l合成合成合成合成 若若若若 是集合是集合是集合是集合A A到到到到B B的映射的映射的映射的映射,是是是是集合集合集合集合

13、B B到到到到C C的映射的映射的映射的映射,则定义映射则定义映射则定义映射则定义映射 的合成的合成的合成的合成 为集合为集合为集合为集合A A到到到到C C的映射且的映射且的映射且的映射且特别提示特别提示特别提示特别提示 映射的映射的映射的映射的合成合成合成合成一般一般一般一般不可交换不可交换不可交换不可交换认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目映射映射_5l l逆逆逆逆 设设设设 是是是是A A到到到到B B的双射的双射的双射的双射,定义定义定义定义B B到到到到A A的映射的映射的映射的映射 如下如下如下如下

14、:对任对任对任对任一一一一 B B,取取取取 在在在在 下的原像记为下的原像记为下的原像记为下的原像记为,定义定义定义定义 ,由于由于由于由于 是双射是双射是双射是双射,因此因此因此因此 确是确是确是确是B B到到到到A A的映射的映射的映射的映射,显然是一个双射显然是一个双射显然是一个双射显然是一个双射,且且且且 ,则称则称则称则称 为为为为 的逆映射的逆映射的逆映射的逆映射,记为记为记为记为l l命题命题命题命题 设设设设 是集合是集合是集合是集合A A到到到到B B的映射的映射的映射的映射,如果存在如果存在如果存在如果存在B B到到到到A A的映射的映射的映射的映射 使得使得使得使得 ,

15、则则则则 是一个双射是一个双射是一个双射是一个双射,且且且且l l命题命题命题命题 双射的合成是双射双射的合成是双射双射的合成是双射双射的合成是双射.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射线性映射_1l定义定义 设设V,V是是K上的线性空间上的线性空间,是是V到到V的映射的映射,且满足下列条件且满足下列条件则称则称 是是V到到V的的线性映射线性映射.注注 V到到V上的线性映射称为上的线性映射称为V上的上的线性变换线性变换.V到到K上的线性映射称为上的线性映射称为V上的上的线性函数线性函数.认识到了贫困户贫困

16、的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例子例子l l例例例例1 1 线性空间线性空间线性空间线性空间V V到到到到WW上的上的上的上的0 0映射映射映射映射.l l例例例例2 2 线性空间线性空间线性空间线性空间V V上的恒等映射上的恒等映射上的恒等映射上的恒等映射ididV V.l l例例例例3 V3 V1 1,V,V2 2是是是是V V的子空间的子空间的子空间的子空间,.,.对对对对i i=1,2,=1,2,定义定义定义定义则则则则 是线性映射是线性映射是线性映射是线性映射,且满足且满足且满足且满足称称称称 为为为为投影映射投影

17、映射投影映射投影映射,为为为为嵌入映射嵌入映射嵌入映射嵌入映射.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射线性映射_2l l单单单单线性映射线性映射线性映射线性映射l l满满满满线性映射线性映射线性映射线性映射认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射线性映射_3l命题命题 设设 是是 的线性映射的线性映射,则则 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项

18、目线性映射线性映射_4l命题命题 设设 是是 的线性映射的线性映射,则则 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性同构线性同构_1l线性线性同构同构或同构或同构l自同构自同构l命题命题 设设V,W是是K上有限维线性空间上有限维线性空间,则则认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性同构线性同构_2l命题命题l注注 对一般的线性映射对一般的线性映射,该命题未必成立该命题未必成立认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除

19、。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目目的与要求目的与要求熟练理解熟练理解与与掌握掌握L L(V,U)空间结构和空间结构和L L(V)的代的代数结构数结构了解了解Knn是是K-代数代数认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射的运算线性映射的运算l l线性映射的线性映射的线性映射的线性映射的和和和和l l线性映射的线性映射的线性映射的线性映射的数乘数乘数乘数乘l l线性函数线性函数线性函数线性函数 V VKK上的线性映射上的线性映射上的线性映射上的线性映射认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开

20、始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目l命题命题 VU上所有线性映射全体上所有线性映射全体 按按照上述加法和数乘定义照上述加法和数乘定义,构成构成K上的一个线上的一个线性空间性空间.lVK上所有线性函数全体也构成上所有线性函数全体也构成K上的一上的一个线性空间个线性空间,称为称为V的的共轭空间共轭空间,记作记作V*.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目l l线性变换线性变换线性变换线性变换 线性映射线性映射线性映射线性映射l l线性空间线性空间线性空间线性空间V V上所

21、有线性变换上所有线性变换上所有线性变换上所有线性变换l l线性变换的线性变换的线性变换的线性变换的乘积乘积乘积乘积l l线性变换的线性变换的线性变换的线性变换的幂幂幂幂l l特别提示特别提示特别提示特别提示 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目代数代数l l设设设设A A是集合是集合是集合是集合,K,K是数域是数域是数域是数域,在在在在A A定义加法、数乘和定义加法、数乘和定义加法、数乘和定义加法、数乘和乘法乘法乘法乘法，使得，使得，使得，使得A A关关关关于加法和数乘构成于加法和数乘构成于加法和数乘构成于加法和

22、数乘构成KK上的线性空间上的线性空间上的线性空间上的线性空间,且满足且满足且满足且满足（1 1）乘法结合律）乘法结合律）乘法结合律）乘法结合律 （2 2）存在单位元）存在单位元）存在单位元）存在单位元1 1，使得，使得，使得，使得（3 3）分配律）分配律）分配律）分配律 （4 4）数乘与乘法的协调）数乘与乘法的协调）数乘与乘法的协调）数乘与乘法的协调则称则称则称则称A A为为为为K-K-上的代数上的代数上的代数上的代数.l l设设设设V V是数域是数域是数域是数域KK上的线性空间，则上的线性空间，则上的线性空间，则上的线性空间，则 是是是是K-K-代数代数代数代数l l 是是是是K-K-代数代

23、数代数代数认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目目的与要求目的与要求掌握掌握线性映射线性映射 由由V的基的像唯一确定的基的像唯一确定的思想的思想,并用于解题并用于解题理解理解 作为作为空间同构空间同构和和作为作为代数同构代数同构及其在应用上的意义及其在应用上的意义同构的方法及其应用是高代中的重要思想方法之同构的方法及其应用是高代中的重要思想方法之一一,也是难点之一也是难点之一认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射与矩阵线性映射与

24、矩阵_1l l映射基和像的关系映射基和像的关系映射基和像的关系映射基和像的关系 设设设设V,UV,U是数域是数域是数域是数域KK上的线性空间上的线性空间上的线性空间上的线性空间,是是是是V V的一组的一组的一组的一组基基基基.1)1)设设设设 ,且且且且 ,则则则则2)2)对任意给定的对任意给定的对任意给定的对任意给定的 ,则存在唯一线性映射则存在唯一线性映射则存在唯一线性映射则存在唯一线性映射 使得使得使得使得认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射与矩阵线性映射与矩阵_2l l线性映射的线性映射的线性映射

25、的线性映射的表示矩阵表示矩阵表示矩阵表示矩阵 设设设设V,UV,U是是是是KK上线性空间上线性空间上线性空间上线性空间 ,分别取分别取分别取分别取V,V,U U的基如下的基如下的基如下的基如下假定假定假定假定 则称矩阵则称矩阵则称矩阵则称矩阵 为为为为 在在在在 与与与与下的下的下的下的表示矩阵表示矩阵表示矩阵表示矩阵.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射与矩阵线性映射与矩阵_3l l线性映射与表示矩阵的关系线性映射与表示矩阵的关系线性映射与表示矩阵的关系线性映射与表示矩阵的关系 l l定理定理定理定理认

26、识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射与矩阵线性映射与矩阵_3l l推论推论推论推论 设设设设V,UV,U分别是分别是分别是分别是KK上是上是上是上是n n,mm维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间,则则则则 l l注注注注 设设设设 分别是分别是分别是分别是V,UV,U的两组基的两组基的两组基的两组基,对对对对则则则则认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射与矩阵线性映射与矩阵_3l l命题命题命题命题 设设设设 是是

27、是是V V的基的基的基的基,且且且且 又设又设又设又设 是是是是U U的基的基的基的基,且且且且设设设设 ,则则则则认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性变换与矩阵线性变换与矩阵_1l l定义定义定义定义 设设设设A,BA,B是两个是两个是两个是两个K-K-代数代数代数代数,若存在若存在若存在若存在K-K-空间同构映射空间同构映射空间同构映射空间同构映射 且满足且满足且满足且满足则称则称则称则称 是是是是K-K-代数同构代数同构代数同构代数同构.l l定理定理定理定理 设设设设V V是数域是数域是数域是数域KK

28、上的上的上的上的n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间,是是是是V V的一组基的一组基的一组基的一组基,令令令令其中其中其中其中则则则则 是代数同构是代数同构是代数同构是代数同构.l l推论推论推论推论 设设设设V V是是是是n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间,则则则则 .认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性变换与矩阵线性变换与矩阵_2l l命题命题命题命题 设设设设 是是是是V V的基的基的基的基,且且且且 设设设设 ,且且且且则则则则l l命题命题命题命题 设设设设 则则则则A A,B

29、 B是同一个线是同一个线是同一个线是同一个线性变换在不同基下的矩阵性变换在不同基下的矩阵性变换在不同基下的矩阵性变换在不同基下的矩阵.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性变换与矩阵线性变换与矩阵_3l l定义定义定义定义 设设设设 若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵P P,使得使得使得使得则称则称则称则称A A与与与与B B相似相似相似相似.l l注注注注 n n维线性空间上同一个线性变换在不同基下的维线性空间上同一个线性变换在不同基下的维线性空间上同一个线性变换在不同基下的维线性空间上

30、同一个线性变换在不同基下的表示矩阵是相似的表示矩阵是相似的表示矩阵是相似的表示矩阵是相似的.l l命题命题命题命题 相似关系是等价关系相似关系是等价关系相似关系是等价关系相似关系是等价关系.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例子例子l l例例例例1 1 设设设设V V是是是是n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间,U,U是是是是mm维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间,.则存在则存在则存在则存在V V的基的基的基的基 ,U,U的基的基的基的基 ,使得使得使得使得l l例例例例2 2 设设设设V V是

31、是是是n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间,.,.则存在则存在则存在则存在 使得使得使得使得 ,其中其中其中其中 是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵是可逆矩阵.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目目的与要求目的与要求熟练掌握熟练掌握线性映射的线性映射的 的的核核 与与像像 的的概念及用于刻画概念及用于刻画 的单射、满射的单射、满射;熟练掌握熟练掌握和应用和应用维数公式维数公式;学会对具体例子的学会对具体例子的 和和 的计算的计算;掌握维数掌握维数公式证明过程中应用到的公式证明过程中应用到的扩基方法扩基方法和

32、和同构方法同构方法;理解用线性映射证明理解用线性映射证明秩秩的命题的方法的命题的方法.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射的像与核线性映射的像与核_1l l引理引理引理引理 设设设设1)1)若若若若 是是是是V V的子空间的子空间的子空间的子空间,则则则则 是是是是U U的子空间的子空间的子空间的子空间;2)2)若若若若 是是是是U U的子空间的子空间的子空间的子空间,则则则则 是是是是V V的子空间的子空间的子空间的子空间.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工

33、作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射的像与核线性映射的像与核_2l l定义定义定义定义线性映射线性映射线性映射线性映射像空间像空间像空间像空间 的秩的秩的秩的秩核空间核空间核空间核空间 的零度的零度的零度的零度认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射的像与核线性映射的像与核_3l l定理定理定理定理 设设设设 是是是是 上的线性映射上的线性映射上的线性映射上的线性映射.则则则则 是是是是U U的子空间的子空间的子空间的子空间;是是是是V V的子空间的子空间的子空间的子空间.l l推论推论推论推论 l

34、 l推论推论推论推论 是单射是单射是单射是单射;是满射是满射是满射是满射.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例l l例例例例1 1 求求求求 ,其中其中其中其中l l例例例例2 2 设设设设 .定义线性映射定义线性映射定义线性映射定义线性映射A A A A:求求求求Im Im A A A A,Ker,Ker A A A A.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射的像与核线性映射的像与核_4定理定理定理定理 设设设设 是是是

35、是V V的一组基的一组基的一组基的一组基,是是是是U U的一组的一组的一组的一组基基基基.定义定义定义定义 A A A A则有则有则有则有交换图交换图交换图交换图认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射的像与核线性映射的像与核_5l l定理定理定理定理 线性映射的秩与表示矩阵的秩之间的关系线性映射的秩与表示矩阵的秩之间的关系线性映射的秩与表示矩阵的秩之间的关系线性映射的秩与表示矩阵的秩之间的关系l l定理定理定理定理 像空间、核空间及表示矩阵的秩之间的关系像空间、核空间及表示矩阵的秩之间的关系像空间、核空间及

36、表示矩阵的秩之间的关系像空间、核空间及表示矩阵的秩之间的关系l l推论推论推论推论 设线性映射设线性映射设线性映射设线性映射则则则则 1)1)是单射是单射是单射是单射r r(A A)=)=n n=dimV;=dimV;2)2)是满射是满射是满射是满射r(r(A A)=)=mm=dimU.=dimU.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目线性映射的像与核线性映射的像与核_6l l推论推论推论推论 设设设设 是是是是n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间V V的线性变换的线性变换的线性变换的线性变换,则下列命则

37、下列命则下列命则下列命题等价题等价题等价题等价:1)1)是可逆映射是可逆映射是可逆映射是可逆映射;2)2)是同构映射是同构映射是同构映射是同构映射;3)3)是单射是单射是单射是单射;4)4)是满射是满射是满射是满射;5)5)在一组基下的表示矩阵是可逆阵在一组基下的表示矩阵是可逆阵在一组基下的表示矩阵是可逆阵在一组基下的表示矩阵是可逆阵.l l定理定理定理定理 (线性映射的维数公式线性映射的维数公式线性映射的维数公式线性映射的维数公式)设设设设 ,则则则则认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例子例子l l例例例例3

38、 3 是是是是V V的一组基的一组基的一组基的一组基,是是是是U U的一的一的一的一组基组基组基组基,求求求求认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例子例子l l例例例例4 4 是是是是V V的子空间的子空间的子空间的子空间,则则则则l l例例例例5 5 是是是是VV的子空间的子空间的子空间的子空间,则则则则l l例例例例6 6 设设设设 ,求证求证求证求证认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目目的与要求目的与要求熟练掌握熟练掌握不变子

39、空间不变子空间的定义与的定义与导出线性变导出线性变换换;正确理解正确理解线性变换与它在不变子空间上导线性变换与它在不变子空间上导出变换的异同点出变换的异同点;了解了解用矩阵刻画不变子空间的方法用矩阵刻画不变子空间的方法.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目不变子空间不变子空间_1l l定义定义定义定义 设设设设U U是是是是V V的子空间的子空间的子空间的子空间,且满足且满足且满足且满足则称则称则称则称U U是是是是 不变子空间不变子空间不变子空间不变子空间或或或或 子空间子空间子空间子空间.将将将将 限制在限制

40、在限制在限制在U U上上上上,导出导出导出导出U U上的线性变换上的线性变换上的线性变换上的线性变换,称为由称为由称为由称为由 导出的线性变换导出的线性变换导出的线性变换导出的线性变换(或称为或称为或称为或称为 在在在在U U上的限制上的限制上的限制上的限制),),记为记为记为记为 .l l注注注注1 1 与与与与 的的的的相同点相同点相同点相同点是在是在是在是在U U上对应法则一样上对应法则一样上对应法则一样上对应法则一样;不同点不同点不同点不同点是是是是 是是是是V V到到到到V V的线性变换的线性变换的线性变换的线性变换;而而而而 是是是是U U到到到到U U上的线性变换上的线性变换上的

41、线性变换上的线性变换.l l注注注注2 2 定义中定义中定义中定义中U U是是是是 的不变子空间这个条件不可少的不变子空间这个条件不可少的不变子空间这个条件不可少的不变子空间这个条件不可少,否否否否则无法导出则无法导出则无法导出则无法导出U U上的线性变换上的线性变换上的线性变换上的线性变换 .认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目不变子空间不变子空间_2l l例例例例1 1 1)1)线性空间线性空间线性空间线性空间V V本身和零子空间是任一线性变换本身和零子空间是任一线性变换本身和零子空间是任一线性变换本身和零子

42、空间是任一线性变换的不变子空间的不变子空间的不变子空间的不变子空间,称平凡的不变子空间称平凡的不变子空间称平凡的不变子空间称平凡的不变子空间;2)2)的数乘变换的数乘变换的数乘变换的数乘变换,则则则则V V的任一子的任一子的任一子的任一子空间都是空间都是空间都是空间都是 子空间子空间子空间子空间;3)3)设设设设 是线性空间是线性空间是线性空间是线性空间V V上的线性变换上的线性变换上的线性变换上的线性变换,V,V1 1,V,V2 2是是是是 子空间子空间子空间子空间,则则则则 是是是是 子空间子空间子空间子空间 .l l例例例例2 2 设设设设 是是是是V V上线性变换上线性变换上线性变换上

43、线性变换,则则则则 是是是是 子空间子空间子空间子空间.l l例例例例3 3 设设设设 在基在基在基在基 下的表示矩阵下的表示矩阵下的表示矩阵下的表示矩阵是是是是 .则则则则 没有非平凡的不变子空间没有非平凡的不变子空间没有非平凡的不变子空间没有非平凡的不变子空间.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目不变子空间不变子空间_3l l不变子空间与块上三角矩阵的关系不变子空间与块上三角矩阵的关系不变子空间与块上三角矩阵的关系不变子空间与块上三角矩阵的关系设设设设U U是是是是n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空

44、间V V上线性变换上线性变换上线性变换上线性变换 的不变子空间的不变子空间的不变子空间的不变子空间,设设设设 是是是是U U的一组基的一组基的一组基的一组基,将其扩为将其扩为将其扩为将其扩为V V的一组基的一组基的一组基的一组基 ,则则则则 在此基下的表示矩阵是在此基下的表示矩阵是在此基下的表示矩阵是在此基下的表示矩阵是反之反之反之反之,若若若若 在基在基在基在基 下的矩阵为下的矩阵为下的矩阵为下的矩阵为(*),(*),则则则则 是一个是一个是一个是一个 子空间子空间子空间子空间.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”

45、项目不变子空间不变子空间_4l l不变子空间与块对角矩阵的关系不变子空间与块对角矩阵的关系不变子空间与块对角矩阵的关系不变子空间与块对角矩阵的关系设设设设 是是是是n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间V V的线性变换的线性变换的线性变换的线性变换,V,V1 1与与与与V V2 2是是是是 子空间子空间子空间子空间,是是是是V V1 1的基的基的基的基,是是是是V V2 2的基的基的基的基,则则则则 在基在基在基在基 下的表示矩阵是下的表示矩阵是下的表示矩阵是下的表示矩阵是其中其中其中其中A A1 1是是是是r r阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵,A A2 2是是是是n nr r 阶方阵阶方阵

46、阶方阵阶方阵.反之反之反之反之,若若若若 在在在在 下的矩阵是下的矩阵是下的矩阵是下的矩阵是(*),(*),令令令令 ,则则则则V V1 1,V,V2 2都是都是都是都是 子空间子空间子空间子空间,且且且且l l注注注注 结论可推广到结论可推广到结论可推广到结论可推广到mm个不变子空间的情形个不变子空间的情形个不变子空间的情形个不变子空间的情形.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例子例子l l例例例例4 4 设设设设V V是是是是3 3维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间,在基在基在基在基 下的矩阵是下的矩

47、阵是下的矩阵是下的矩阵是求证求证求证求证:是是是是 子空间子空间子空间子空间.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例子例子l l例例例例5 5 设设设设 是是是是n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间V V的线性变换的线性变换的线性变换的线性变换,.,.求证求证求证求证存在子空间存在子空间存在子空间存在子空间W,W,使得对任意的使得对任意的使得对任意的使得对任意的 若若若若 的的的的秩秩秩秩 n n,则存在非平凡子空间则存在非平凡子空间则存在非平凡子空间则存在非平凡子空间U,U,使得使得使得使得l l注注注注 在基在基在基在基 下的矩阵是下的矩阵是下的矩阵是下的矩阵是用矩阵语言叙述用矩阵语言叙述用矩阵语言叙述用矩阵语言叙述,设设设设 ,则则则则A A相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵相似于矩阵 即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵P P,使使使使l l注注注注 一般地一般地一般地一般地,虽然虽然虽然虽然 ,但但但但未必有未必有未必有未必有