一函数的连续.pptx

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1、一、函数的连续性变量的增量 若变量u从初值u1变到终值u2 则u2-u1就叫做变量u的增量 记作Du 即Du=u2-u1 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 当自变量x在该邻域内从x0变到x0+Dx时 对应的函数 y 的增量为Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数的增量y=f(x)f(x0)x0+Dxx0 f(x0+Dx)DxDy提问 变量的增量一定大于零吗？下页第1页/共16页 设函数 y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 如果函数连续的定义那么就称函数 y=f(x)在点x0处连续 等价关系 设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此下页第2页/共16页讨论 如何用e-d

2、语言叙述函数的连续性定义？e 0 d 0 x|x-x0|d 有|f(x)-f(x0)|e 提示 设函数 y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 如果函数连续的定义那么就称函数 y=f(x)在点x0处连续 下页第3页/共16页 设函数 y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 如果函数连续的定义那么就称函数 y=f(x)在点x0处连续 左右连续性左右连续与连续的关系 函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续 下页第4页/共16页函数在区间上的连续性 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 如果区间包括端点 那么函数在右端点连

3、续是指左连续 在左端点连续是指右连续 连续函数举例 1 多项式函数P(x)在区间(-+)内是连续的 这是因为 函数P(x)在(-+)内任意一点 x0处有定义 并且下页第5页/共16页 2 函数 y=sin x 在区间(-+)内是连续的 这是因为 函数y=sin x在(-+)内任意一点x处有定义 并且函数在区间上的连续性 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该区间上连续 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续 连续函数举例首页第6页/共16页二、函数的间断点间断点的定义 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提下 如果

4、函数 f(x)有下列三种情形之一 (1)在x0没有定义则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点或间断点 (2)虽然在x0有定义 但 f(x)不存在 (3)虽然在x0有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0)下页第7页/共16页间断点举例 例1 下页第8页/共16页 例2 当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次 所以点x=0是函数的间断点 所以点x=0称为函数的振荡间断点 间断点举例下页第9页/共16页211所以点x=1是函数的间断点 如果补充定义 令x=1时y=2 则所给函数在x=1成为连续 所以x=1称为该函数的可去间断点 间断点举例 例3 下页第10页

5、/共16页所以x=1是函数f(x)的间断点 如果改变函数f(x)在x=1处的定义 令f(1)=1 则函数在x=1成为连续 所以x=1也称为此函数的可去间断点 111/2y=f(x)间断点举例 例4 下页第11页/共16页 因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点-11y=x+1y=x-1间断点举例 例5 下页第12页/共16页 通常把间断点分成两类 设 x0是函数f(x)的间断点 如果左极限f(x0-0)及右极限f(x0+0)都存在 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点 不属于第一类间断点的间断点 称为第二类间断点 在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点 不相等者称为跳跃间断点 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点 间断点的类型下页第13页/共16页 例6 解 下页从而在点x=1处连续，试确定常数a,b的值.要使f(x)在点x=1处连续，必须满足第14页/共16页 例7 解 从而确定常数a的值，使f(x)在x=0处连续.要使f(x)在点x=0处连续，必须满足结束第15页/共16页感谢您的观看！第16页/共16页