第1讲相似矩阵及二次型精选文档.ppt

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1、第1讲相似矩阵及二次型本讲稿第一页，共四十四页1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性本讲稿第二页，共四十四页1.1.定义：定义：内积内积一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质本讲稿第三页，共四十四页说明说明1 维向量的内积是维向量的内积是3维向量内积维向量内积的推广，但是没有的推广，但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义本讲稿第四页，共四十四页2.2.内积的运算性质内积的运算性质（施瓦兹不等式）（施瓦兹不等式）本讲稿第五页，共四十四页1.1.定义：定义：令令长度长度范数范数2.性质：性质：二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质本讲稿第六页，共四十四页3.单位向量：

2、单位向量：4.n维向量间的夹角维向量间的夹角本讲稿第七页，共四十四页1.1.正交的概念正交的概念2.2.正交向量组的概念正交向量组的概念三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法 若一非零向量组中的若一非零向量组中的向量两两正交向量两两正交，则称该向，则称该向量组为正交向量组量组为正交向量组本讲稿第八页，共四十四页证明：证明：3.3.正交向量组的性质正交向量组的性质本讲稿第九页，共四十四页4.4.向量空间的正交基向量空间的正交基例例是二维向量空间的一个正交基是二维向量空间的一个正交基本讲稿第十页，共四十四页5.5.规范正交基规范正交基例如例如本讲稿第十一页，共四十四页本讲稿第十二页，

3、共四十四页 同理可知同理可知本讲稿第十三页，共四十四页（）正交化正交化：（2 2）求规范正交基的方法求规范正交基的方法步骤：步骤：取取 ，本讲稿第十四页，共四十四页（）单位化）单位化：取取施密特正交化施密特正交化 过程过程 本讲稿第十五页，共四十四页例例1 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交规范化正交规范化.解：解：取取先正交化先正交化.本讲稿第十六页，共四十四页再单位化，再单位化，得规范正交向量组如下：得规范正交向量组如下：本讲稿第十七页，共四十四页1.1.正交矩阵正交矩阵（2 2）定理：）定理：四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换（1）定义：）定义：A的列

4、（或行）向量都是单位向量且两两正交的列（或行）向量都是单位向量且两两正交A 为正交矩阵为正交矩阵注：注：正交矩阵正交矩阵A的的 n 个列（或行）向量构成向量空个列（或行）向量构成向量空间间Rn 的一个规范正交基的一个规范正交基本讲稿第十八页，共四十四页（3）性质：）性质：正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变若若 为为正交阵正交阵，则线性变换，则线性变换 称为称为正交变换正交变换2.2.正交变换正交变换（1 1）定义：）定义：（2 2）性质：）性质：本讲稿第十九页，共四十四页例例2 2 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵解：解：所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考

5、察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于本讲稿第二十页，共四十四页所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵由于由于解：解：本讲稿第二十一页，共四十四页2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量本讲稿第二十二页，共四十四页注：注：一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念本讲稿第二十三页，共四十四页2.特征方程与特征多项式特征方程与特征多项式本讲稿第二十四页，共四十四页3.特征值的性质特征值的性质例例1 1 本讲稿第二十五页，共四十四页解解例例2 2 本讲稿第二十六页，共四十四页本讲稿第二十七页，共四十四页例例 3 3 解解本讲稿第二十八页，共四十四页本讲稿第二十九页，

6、共四十四页本讲稿第三十页，共四十四页例例 4 4 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解本讲稿第三十一页，共四十四页本讲稿第三十二页，共四十四页得基础解系为：得基础解系为：本讲稿第三十三页，共四十四页例例 5 5 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得本讲稿第三十四页，共四十四页（3）本讲稿第三十五页，共四十四页求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：小结：小结：本讲稿第三十六页，共四十四页证明证明则则即即类推之，有类推之，有二、特征值和特征

7、向量的性质二、特征值和特征向量的性质本讲稿第三十七页，共四十四页把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得本讲稿第三十八页，共四十四页注：注：1 10 0 属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的3 30 0 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征一个特征向量不能属于不同的特征值向量不能属于不同的特征值2 20 0 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量是属于这

8、个特征值的特征向量本讲稿第三十九页，共四十四页本讲稿第四十页，共四十四页例例 6 6 设设A是是 阶方阵，其特征多项式为：阶方阵，其特征多项式为：解：解：AT与与A有相同的特征多项式，也有相同的特征值有相同的特征多项式，也有相同的特征值本讲稿第四十一页，共四十四页1 1将一组基规范正交化的方法：将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化其单位化小结：小结：2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：本讲稿第四十二页，共四十四页思考题：思考题：本讲稿第四十三页，共四十四页思考题解答：思考题解答：本讲稿第四十四页，共四十四页