习题课学习教程.pptx

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1、1一、内容提要1.1.全排列及其逆序数全排列及其逆序数2.2.n n阶行列式的定义阶行列式的定义第1页/共27页23.3.行列式的性质行列式的性质性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等，行列式与它的转置行列式相等，性质性质2 2互换行列式的两行互换行列式的两行(列列),),行列式变号行列式变号.行列式的某一行行列式的某一行(列列)的公因子可以提到行列式的公因子可以提到行列式性质性质3 3记号外记号外.推论推论:如果行列式如果行列式D D有两行有两行(列列)完全相同，完全相同，则则性质性质4 4若行列式若行列式D D中有两行中有两行(列列)成比例成比例,则则性质性质5 5行列式可按某一行行列

2、式可按某一行(列列)拆成两个行列式之和拆成两个行列式之和.性质性质6 6所得的行列式值不变所得的行列式值不变.将行列式中某一行将行列式中某一行(列列)的的k k倍加到另一行倍加到另一行(列列),),第2页/共27页34.4.行列式按行行列式按行(列列)展开展开(1)(1)余子式,代数余子式.(2)(2)关于代数余子式的重要性质:按行展开按行展开按列展开按列展开第3页/共27页45.5.几个特殊的行列式几个特殊的行列式 第4页/共27页5范德蒙德（Vandermonde）行列式第5页/共27页6二、典型例题1.1.计算排列的逆序数计算排列的逆序数2.2.计算（证明）行列式计算（证明）行列式例题主

3、要类型例题主要类型第6页/共27页71.1.计算排列的逆序数计算排列的逆序数逆序数的逆序数的计算计算方法：方法：例例1 1求下列排列的逆序数，并确定其奇偶性.解解2 1 7 3 6 8 5 4034于是逆序数为是偶排列.分别计算出排列中每个元素前面比它大的元素个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，它们之总和即为所求排列的逆序数.第7页/共27页81 3 5(2n-1)2 4 6 (2n-4)(2n-2)(2n)0000(n-1)(n-2)(n-3)2101 3 5 7 2 4 6 800003210(n-1)偶排列偶排列奇排列奇排列第8页/共27页9练习练习求下列排列的逆序数，并确定其奇偶性

4、.解解偶排列.当n为偶数时，排列为偶排列，当n为奇数时，排列为奇排列第9页/共27页10例例2 2选择i和j，使(1)1 i 25 j 4897成为奇排列，解解解题思路：解题思路：此类问题通常取小数在先，大数在后，此类问题通常取小数在先，大数在后，若符合要求，即为所求，否则另一种情况符合要求若符合要求，即为所求，否则另一种情况符合要求.(1)(1)132564897,132564897,为所求为所求.127435689,127435689,则取则取从而从而127485639127485639成偶排列成偶排列.第10页/共27页112.2.计算（证明）行列式计算（证明）行列式行列式计算方法行列式

5、计算方法:1.1.对角线法则对角线法则 适合二、三阶行列式；适合二、三阶行列式；2.2.化三角形行列式法化三角形行列式法 利用行列式性质化为三角形行列式；利用行列式性质化为三角形行列式；3.3.降阶法降阶法 利用行列式展开法则将高阶行列式化利用行列式展开法则将高阶行列式化 为低阶行列式；为低阶行列式；4.4.递推公式法递推公式法 利用行列式性质递推出利用行列式性质递推出D Dn n与与D Dn n-1-1或或D Dn n-2-2间的关系式，再由递推关系式求出间的关系式，再由递推关系式求出D Dn n；5.5.数学归纳法数学归纳法.第11页/共27页12低阶（低阶（3434阶）行列式的计算阶）行

6、列式的计算方法方法1 1：利用行列式的性质化为三角形行列式；利用行列式的性质化为三角形行列式；方法方法2 2：利用行列式展开法则，利用行列式展开法则，即利用行列式性质即利用行列式性质将某行将某行(列列)化出较多的零，化出较多的零，按这行按这行(列列)展开展开.注意注意二阶、三阶行列式可以用对角线法则，二阶、三阶行列式可以用对角线法则，四阶及四阶以上不能用对角线法则计算四阶及四阶以上不能用对角线法则计算.-降阶法降阶法-化三角形行列式法化三角形行列式法题型题型1 1第12页/共27页13例例3 3计算四阶行列式计算四阶行列式0 0 1 1 1 1 1 15 5 1 1 4 4 1 1-4 4 2

7、 2 2 2 1 12 2 1 1 0 0 1 11 1 1 11 1 1 11 -1 2 11 -1 2 14 1 2 04 1 2 05 0 4 25 0 4 21 1 1 11 1 1 10 0 -2 1 0 -2 1 00 0 -3 -2 -4 -3 -2 -40 0 -5 -1 -3 -5 -1 -3按第按第1 1列展开列展开-2 1 0-2 1 0-3 -2 -4-3 -2 -4-5 -1 -3-5 -1 -30 01 01 0-2 -4-2 -4-1 -3-1 -30 0-7-7-7-7按第按第1 1行行展开展开-7-7-7-7-4-4-3-30 0 0 0 1 1 0 0第13

8、页/共27页14计算行列式计算行列式练习练习 第14页/共27页15例例4 4计算三阶行列式计算三阶行列式说明：说明：本题若用对角线本题若用对角线法则，化简较麻烦法则，化简较麻烦.第15页/共27页16例例5 5计算四阶行列式计算四阶行列式提取公因子按第1列展开第16页/共27页17提取公因子按第1列展开第17页/共27页18练习练习计算四阶行列式计算四阶行列式第18页/共27页19n n阶行列式的计算阶行列式的计算 降阶法降阶法 化三角形行列式法化三角形行列式法 递推法递推法主要方法主要方法 数学归纳法数学归纳法题型题型2 2第19页/共27页20例例6 6证明证明证法证法1 1按最后一行展开-降阶法降阶法特例特例第20页/共27页21证法证法1 1按最后一行展开第21页/共27页22例例6 6证明证明证法证法2 2建立递推公式建立递推公式-递推法递推法按第一列展开第22页/共27页23第23页/共27页24例例6 6证明证明证法证法3 3数学归纳法数学归纳法第24页/共27页25因此对任意的正整数n等式成立.第25页/共27页26例例7 7计算计算解法解法1 1原式（加边升阶法）（加边升阶法）第26页/共27页27谢谢大家观赏！第27页/共27页