连续控制系统数学模型.pptx

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1、1第2章 连续控制系统的数学模型 2.1 系统数学模型的概念 2.2 微分方程描述 2.3 传递函数 2.4 结构图 2.5 信号流图 2.6 系统数学模型的MATLAB表示 第1页/共146页22.1 系统数学模型的概念 自动控制理论方法是先将系统抽象成数学模型，然后用数学的方法处理。数学模型：是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学表达式。第2页/共146页32.1 系统数学模型的概念 完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！第3页/共146页4数学模型的定义与主要类型 静态模型与动态模型(静态模型是t时系统的动态模型)输入输出描述模

2、型（外部描述模型）与内部描述模型 连续时间模型与离散时间模型 参数模型与非参数模型10第4页/共146页5 描描述述系系统统静静态态（工工作作状状态态不不变变或或慢慢变变过过程程）特特性性的的模模型型，称称为为静静态态数数学学模模型型。静静态态数数学学模模型型一一般般是是以以代代数数方方程程表表示示的的，数数学学表表达达式式中中的的变变量量不不依依赖赖于于时时间间，是是输输入入输出之间的稳态关系输出之间的稳态关系。描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微

3、分方程等形式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情形式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。况。（1）静态模型与动态模型数学模型的定义与主要类型第5页/共146页6（2 2）输入输出描述模型与内部描述模型）输入输出描述模型与内部描述模型描述系统描述系统输出与输入输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出之间关系的数学模型称为输入输出描述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模描述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。型。状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系间的关系，所以称为内部描述模型。内部描述模型

4、不仅，所以称为内部描述模型。内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系，而且描述了系统内部描述了系统输入输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传递关系，所以比输入输出模型更深入地揭示了系信息传递关系，所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。统的动态特性。数学模型的定义与主要类型第6页/共146页7 （3 3）连续时间模型与离散时间模型）连续时间模型与离散时间模型根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号，根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号，数学模型分为数学模型分为连续时间模型连续时间模型和和离散时间模型离散时间模型，简称连续，简称连续模型和离散模型。模型和离散模型

5、。连续数学模型有连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式微分方程、传递函数、状态空间表达式等。等。离散数学模型有离散数学模型有差分方程、差分方程、Z Z传递函数、离散状态空间表传递函数、离散状态空间表达式达式等。等。数学模型的定义与主要类型第7页/共146页8（4 4）参数模型与非参数模型）参数模型与非参数模型从描述方式上看，数学模型分为参数模型和非参数模型从描述方式上看，数学模型分为参数模型和非参数模型两大类。两大类。参数模型参数模型是用数学表达式表示的数学模型，如传递函数、是用数学表达式表示的数学模型，如传递函数、差分方程、状态方程等。差分方程、状态方程等。非参数模型非参数模型是直

6、接或间接从物理系统的试验分析中得到是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、频率特性曲线等。频率特性曲线等。数学模型的定义与主要类型第8页/共146页9建立数学模型的方法 机理分析建模方法，称为分析法；对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律、化学规律分别列写运动方程。（白箱）KCL KVL 牛顿定律 热力学定律等。实验建模方法，通常称为系统辨识。人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，并用适当的数学模型去逼近。（黑箱）建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有两大类方法，或者说有两种不同

7、的途径。第9页/共146页10分析法建立系统数学模型的几个步骤：分析法建立系统数学模型的几个步骤：建立物理模型。建立物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律列写原始方程。利用适当的物理定律如牛如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）恒定律等）选定系统的选定系统的输入量、输出量及状态变量输入量、输出量及状态变量（仅（仅在建立状态模型时要求），在建立状态模型时要求），消去中间变量消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。建立适当的输入输出模型或状态空间模型。建立数学模型的方法 第10页/共146页11实验法基于系统辨识的建模方法实验法基

8、于系统辨识的建模方法已知知识和辨识目的实验设计-选择实验条件模型阶次-适合于应用的适当的阶次参数估计-最小二乘法、最大似然估计、相关分析、时域、频域模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近建立数学模型的方法 第11页/共146页12最有效的建模方法是将机理分析建模方法与系统辨识方法结合起来。实用的建模方法是尽量利用人们对物理系统的认识，由机理分析提出模型结构，然后用观测数据估计出模型参数，这种方法常称为“灰箱”建模方法，实践证明这种建模方法是非常有效的。建立数学模型的方法 第12页/共146页13第2章 连续控制系统的数学模型 2.1 控制系统数

9、学模型的概念 2.2 微分方程描述 2.3 传递函数 2.4 结构图 2.5 信号流图 2.6 系统数学模型的MATLAB表示 第13页/共146页14第2章 连续控制系统的数学模型 2.2 微分方程描述 描述系统输出变量和输入变量之间动态关系的微分方程称为微分方程模型 第14页/共146页152.2 微分方程描述系统微分方程的形式与系统分类之间的关系:（1）非线性微分方程描述的是非线性系统；（2）线性微分方程描述的是线性系统;（3）时变系统的微分方程的系数与时间有关；（4）时不变(定常)系统的微分方程的系数与时间无关。系统u(t)y(t)第15页/共146页16 根据系统的机理分析，列写系统

10、微分方程的一般步骤为根据系统的机理分析，列写系统微分方程的一般步骤为（1 1）确定确定系统的输入、输出变量；系统的输入、输出变量；（2 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理、化学等定律，量所遵循的物理、化学等定律，列写列写各变量之间的动态各变量之间的动态方程，一般为微分方程组；方程，一般为微分方程组；（3 3）消去中间变量消去中间变量，得到输入、输出变量的微分方程；，得到输入、输出变量的微分方程；（4 4）标准化标准化：将与输入有关的各项放在等号：将与输入有关的各项放在等号右边右边，与输，与输出有关的各项放在等号出有关的各项放在

11、等号左边左边，并且分别按，并且分别按降幂排列降幂排列，最，最后将系数归化为反映系统动态特性的参数，如时间常数后将系数归化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。等。注注意意：由由于于实实际际系系统统的的结结构构一一般般比比较较复复杂杂，甚甚至至不不清清楚楚内内部部机机理理，所所以以，列列写写实实际际工工程程系系统统的的微微分分方方程程是是很很困困难的。难的。2.2 微分方程描述第16页/共146页 列列写写如如图图所所示示RCRC网网络络的的微微分分方方程程。给给定定输输入入电电压压 为为系系统统的输入量，电容上的电压的输入量，电容上的电压 为系统的输出量。为系统的输出量。解 设回路电流为i，

12、由电路理论可知，电阻上的电压为：由基尔霍夫电压定律，列写回路方程式电容上的电压与电流的关系为：消去中间变量u1、i得令 为电路时间常数，则 为RC网络的微分方程，它是一阶常系数线性微分方程。例2.1 一阶RC网络系统第17页/共146页例2.2 二阶RC网络系统给定输入电压 为系统的输入量，电容C2上的电压 为系统的输出量。i1i2第18页/共146页思考：能否可以将二阶RC网络看成是两个一阶RC网络的串联？分别建立一阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系，然后直接得到二阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系？串联？T12=0第19页/共146页串联i2i1第20页/共146页串联？T12=0

13、 二阶RC网络虽然是两个一阶RC网络的串联，但应该注意到前面一个RC网络不是开路，后面一个RC网络是前面一个RC网络的负载，T12系数项就反映了这一负载效应。第21页/共146页22第22页/共146页C-+一阶有源网络系统二阶有源网络系统思考：能否可以将下列有源二阶RC网络看成是两个有源一阶RC网络的串联？为什么？第23页/共146页24 图图2-3 2-3 所示为电枢控制直流所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电电动机的微分方程，要求取电枢电压枢电压Ua(t)(v)(v)为输入量，电为输入量，电动机转速动机转速m(t)(rad/s)为输出为输出量，列写微分方程。图中量，列写微分方程。

14、图中Ra()、La(H)分别是电枢电路分别是电枢电路的电阻和电感，的电阻和电感，Mc(NM)是折是折合到电动机轴上的总负载转矩。合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。激磁磁通为常值。例2-32.2 微分方程描述第24页/共146页25解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压U Ua a(t)(t)在电枢回路中产生电枢电流在电枢回路中产生电枢电流i ia a(t)(t)，再由电，再由电流流i ia a(t)(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转矩与激磁磁通相互作用产生电磁

15、转矩M Mm m(t)(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。的运动方程可由以下三部分组成。电枢回路电压平衡方程电枢回路电压平衡方程电磁转矩方程电磁转矩方程电动机轴上的转矩平衡方程电动机轴上的转矩平衡方程 2.2 微分方程描述第25页/共146页26Ea 是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即 Ea=Cem(t)Ce反电势系数(v/rad/s)电枢回路电压平衡方程：2.2 微分方程描述第26页/共146页27：电动机转矩系数（Nm/A）：由电枢电流产生的电磁转

16、矩（Nm）电动机轴上的转矩平衡方程：fm：电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（Nm/rad/s）Jm：转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的）kgm电磁转矩方程：Mc(NM)Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转矩。是折合到电动机轴上的总负载转矩。2.2 微分方程描述第27页/共146页28 电动机机电时间常数（s）在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而可简化为、求出ia(t)，代入同时亦代入得：电动机传递系数2.2 微分方程描述第28页/共146页29如果电枢电阻如果电枢电阻RaRa和电动机的转动惯量和电动机的转动惯量J Jm m都很小而都很小而忽略不计时忽略

17、不计时 还可进一步简化为还可进一步简化为电动机的转速 与电枢电压 成正比，于是 电动机可作为测速发电机使用。2.2 微分方程描述第29页/共146页30由牛顿定律：例2-4右图是弹簧质量阻尼器机械位移系统。试写质量在外力F作用下，位移的运动方程（F，都是时间的函数）。图2-4 弹簧质量阻尼器机械位移系统2.2 微分方程描述第30页/共146页31第2章 连续控制系统的数学模型 2.1 控制系统数学模型的概念 2.3 传递函数2.2 微分方程描述 2.4 传递函数模型 2.5 结构框图模型 2.6 频率特性模型 第31页/共146页32 数学工具拉普拉斯变换与反变换数学工具拉普拉斯变换与反变换

18、拉氏变换定义拉氏变换定义 设函数设函数f(t)f(t)满足满足 t0 t0 t0时，时，f(t)f(t)分段连续分段连续 则则f(t)f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作的拉氏变换存在，其表达式记作 第32页/共146页33线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理 拉氏变换基本定理：数学工具拉普拉斯变换与反变换数学工具拉普拉斯变换与反变换第33页/共146页34初值定理 微分定理 积分定理 数学工具拉普拉斯变换与反变换第34页/共146页35F(s)F(s)化成下列因式分解形式：化成下列因式分解形式：a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为 拉氏反变换 数学工具拉普拉斯变换与反变换第35页/共1

19、46页36b.F(s)b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开含有共扼复数极点时，可展开为为 数学工具拉普拉斯变换与反变换第36页/共146页37c.F(s)含有多重极点时，可展开为 其余各极点的留数确定方法与上同。数学工具拉普拉斯变换与反变换第37页/共146页数学预备知识：拉氏变换 典型信号的拉氏变换（1）第38页/共146页典型信号的拉氏变换（2）第39页/共146页拉氏变换的性质 第40页/共146页应用拉氏变换的终值定理求 注意拉氏变换终值定理的适用条件：事实上：的极点均处在复平面的左半边。不满足终值定理的条件。第41页/共146页几个拉氏变换定理的证明 第42页/共146页43拉氏变

20、换的应用：求解微分方程（时域解）第43页/共146页44拉氏变换的应用：求解微分方程（求时域解）第44页/共146页有理分式的分解（1）：极点为相异实数的情况 第45页/共146页46有理分式的分解（2）：出现极点为相同实数的情况 第46页/共146页有理分式的分解（2）：出现极点为相同实数的情况 第47页/共146页有理分式的分解（3）：出现极点为相异复数的情况 第48页/共146页f(t)?第49页/共146页例21中若已知在例21中已经求得网络微分方程为：由拉氏变换法可得：（1）第50页/共146页51式中对（1）中各项求拉氏变换并代人各已知数据，整理后得：由于电路是突然接通电源的，故可

21、将输入信号视为阶跃输入量，即（2）对（2）式求拉氏反变换，得到（1）式的时域解为：线性定常微分方程的求解第51页/共146页52 前两项是由网络输入电压产生的输出分量，而与初始条件无关，故称为零初始条件响应；后一项则是初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为零输入响应。两者统称为网络的单位阶跃响应。从上述时域响应式中求取输出的初始值即t0时刻的值 和终值即t趋于无穷大时的值？线性定常微分方程的求解（3）第52页/共146页53利用拉氏变换的初值定理，可以直接从（利用拉氏变换的初值定理，可以直接从（3 3）式中了解网络中输出电压的初始值和终值。当式中了解网络中输出电压的初始值和终值。当的初

22、始值为：的终值为：线性定常微分方程的求解第53页/共146页54线性定常微分方程的求解网络的输出则称为单位脉冲响应，即为：第54页/共146页55用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程为：考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。线性定常微分方程的求解第55页/共146页56 传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。中引申出来的概念。微分方程是在时域中描述系统动态性能

23、的数学模型，在微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输给定外作用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复控制系统在复数域的数学模型数域的数学模型传递函数传递函数。定义：定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。传递函数与脉冲响应函数的定义

24、 第56页/共146页系统u(t)y(t)系统G(s)U(s)Y(s)系统微分方程与传递函数可以直接转换!设描述线性定常系统的微分方程为 因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动态性能之间的关系，所以，为简化分析，设系统的初始条件为零。在零初始条件下，对上式取拉氏变换系统的输出为第57页/共146页系统G(s)U(s)Y(s)单位脉冲输入信号下系统的输出 单位脉冲输入信号的拉氏变换为1 单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为 单位脉冲输入信号下系统的输出为系统G(s)1G(s)系统g(t)可见，系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉冲输入信号下系统的输出。因此，系统的单位脉冲输入信号下系统

25、的输出完全描述了系统动态特性，所以也是系统的数学模型，通常称为脉冲响应函数。定义 在零初始条件下，线性定常系统在单位脉冲输入信号作用下的输出响应，称为该系统的脉冲响应函数，记为 g(t)。？思考：求系统在单位阶跃信号作用下的输出响应（单位阶跃响应）。并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系？第58页/共146页59例例2.12.1所示所示RCRC网络的微分方程为网络的微分方程为 所以，系统的传递函数为 传递函数与脉冲响应函数的定义 第59页/共146页60例例2.22.2所示二阶所示二阶RCRC网络的微分方程为网络的微分方程为 所以，系统的传递函数为 传递函数与脉冲响应函数的定义 第6

26、0页/共146页61传递函数的性质：（1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输 入输出无关；（2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函 数的所有性质；（3）传递函数是复变量s 的有理真分式，即nm；（4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；（5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系；（6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均 为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对 的共轭复数。传递函数与脉冲响应函数的定义 第61页/共146页62传递函数的表示方式 （1）有理分式形式 传递函数的分母多项式 D(s)称为系统的特征多项式，D(s)=0称为系统的特征方程，D(s)

27、=0的根称为系统的特征根或极点。分母多项式的阶次定义为系统的阶次。对于实际的物理系统，多项式D(s)、N(s)的所有系数为实数，且分母多项式的阶次 n高于或等于分子多项式的阶次m，即 nm。第62页/共146页63传递函数的表示方式 （2）零极点形式 将传递函数的分子、分母多项式变为首一多项式，然后在复数范围内因式分解，nm，得：，称为系统的零点；为系统的极点；k为系统的根轨迹放大系数。第63页/共146页64传递函数的表示方式 （2）零极点形式 系统零点、极点的分布决定了系统的特性，因此，可以画出传递函数的零极点图，直接分析系统特性。在零极点图上，用“”表示极点位置，用“”表示零点第64页/

28、共146页65（2）零极点形式（传递函数是s的复变函数，s是复数变量）第65页/共146页66（传递函数是s的复变函数，s是复数变量）（2）零极点形式第66页/共146页67 （3）时间常数形式 将传递函数的分子、分母多项式变为尾一多项式，然后在复数范围内因式分解，得 式中，K为传递系数，通常也为系统的放大系数；为系统的时间常数。第67页/共146页68问题的提出自动控制理论采用的方法是研究系统的数学模型。这样，不仅避开了各种实际系统的物理背景，容易揭示控制系统的共性，而且使研究的工作量大为减少。能否找出组成系统数学模型的基本环节，任何线性连续系统的数学模型总能由这些基本环节中的一部分组合而成

29、。线性系统的基本环节第68页/共146页69传递函数的一般形式实际系统中往往存在着延迟，输出量的变化落后于输入量变化的时间称为纯滞后时间。若延时时间很短，可忽略不计，但许多系统尤其是过程控制中，延时时间往往很长，分析系统时必须考虑延时效应。下面举例说明线性系统的基本环节第69页/共146页70如图所示溶解槽溶解系统，料斗中的溶质用皮带输送如图所示溶解槽溶解系统，料斗中的溶质用皮带输送机送至加料口。机送至加料口。线性系统的基本环节第70页/共146页（1）假设料斗的溶质直接落入溶解槽，则溶液浓度假设料斗的溶质直接落入溶解槽，则溶液浓度y(t)与料斗加料量与料斗加料量x(t)的关系为的关系为 传递

30、函数为（2）考虑运输带输送的延迟，则溶液浓度y(t)与料斗加料量x(t)的关系为 或传递函数为 线性连续定常传递函数的一般形式为：第71页/共146页72线性系统的基本环节放大环节（比例环节）：积分环节：微分环节：惯性环节：振荡环节：一阶微分环节：二阶微分环节：滞后环节（纯时滞环节）：一个系统或一个元件（线性连续）总可以由一个或几个基本环节组成。有些基本环节在实际中可以单独存在，但象各种微分环节实际上是不能单独存在的。第72页/共146页73典型环节通常分为以下六种：典型环节通常分为以下六种：（1 1）比例环节比例环节式中式中 K-K-增益增益特点：特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。输

31、入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。器等。任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。线性系统的基本环节第73页/共146页74（2 2）惯性环节）惯性环节特点：特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。复现，输出无振荡。实例：一阶实例：一阶RCRC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。这一环节。线性系统的基本环节式 T-时间常数第74页/共146页75（3 3）微分环节微分环节

32、 理想微分理想微分一阶微分一阶微分二阶微分二阶微分 特点：特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。变化趋势。实例：实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。微分环节。线性系统的基本环节第75页/共146页76（4 4）积分环积分环节节（5 5）振荡环节振荡环节式中式中 阻尼比阻尼比 -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。

33、其输出出现振荡。实例：实例：RLCRLC电路的输出与输入电压间的传递函数。电枢控制电路的输出与输入电压间的传递函数。电枢控制的直流伺服电机。的直流伺服电机。特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。线性系统的基本环节第76页/共146页77（6 6）纯时间延时环纯时间延时环节节式中式中 延迟时间延迟时间特点：特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型

34、就包含有延迟环节有延迟环节。线性系统的基本环节第77页/共146页78惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；惯性环节与延迟环节的区别：延迟环节从输入开始后在0时间内没有输出，在t=之后，才有输出。第78页/共146页79第2章 连续控制系统的数学模型 2.1 系统数学模型的概念 2.3 传递函数 2.2 微分方程描述 2.4 结构图 2.5 信号流图 2.6 系统数学模型的MATLAB表示 第79页/共146页80结构图的基本组成控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式，可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变

35、换过程。特点：具有图示模型的直观，又有数学模型的精确。第80页/共146页结构图包含四个基本元素：（1）信号线：（2）引出点（测量点）：这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点。（3）比较点（综合点）：（4）方块：第81页/共146页82(2)信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。（3）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。“+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。控制系统的结构图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。（1）方框（Block Diagra

36、m）:表示输入到输出单向传输间 的函数关系。214 结构图中的方框信号线方框结构图的基本组成第82页/共146页83注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。(4)分支点（引出点、测量点）Branch Point表示信号测量或引出的位置 注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。图215 比较点示意图结构图的基本组成第83页/共146页84（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。（2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方框连接起来，便可得到系统的结构图。系统结构图-也是系统数学模型的一种。结构图的绘制第84页/共146页85图2-17一阶R

37、C网络 解：由图2-17，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：对其进行拉氏变换得：例2-8 画出下列RC电路的方块图。结构图的绘制第85页/共146页86将图（b）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC网络的方块图。结构图的绘制第86页/共146页87例2-9 画出下列R-C网络的方块图 由图清楚地看到，后一级R2-C2网络作为前级R1-C1网络的负载，对前级R1-C1网络的输出电压产生影响，这就是负载效应。结构图的绘制第87页/共146页88解：（解：（1 1）根据电路定）根据电路定理列出方程，写出对应理列出方程，写出对应的拉氏变换，的拉氏变换，也可直接也可直接画出该电路的

38、运算电路画出该电路的运算电路图如图图如图(b)(b)；（2 2）根据列出的）根据列出的4 4个式个式子作出对应的框图；子作出对应的框图；（3 3）根据信号的流向）根据信号的流向将各方框依次连接起来。将各方框依次连接起来。结构图的绘制第88页/共146页89结构图的绘制第89页/共146页90如果在这两极如果在这两极R-CR-C网络之间接入一个网络之间接入一个输入阻抗很大而输输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离出阻抗很小的隔离放大器，如图放大器，如图2-2-2222所示。则此电所示。则此电路的方块图如图路的方块图如图(b)(b)所示。所示。结构图的绘制-第90页/共146页91结构图的简化结构图的简

39、化等效变换等效变换 为了由系统的结构图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对结构图进行等效变换。结构图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。三种基本形式的等效法则一定要掌握。第91页/共146页92图2-23 环节的串联连接（1）串联连接 特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。结论：串联环节的等效传递函数 等于所有传递函数的乘积。n为相串联的环节数 结构图的简化等效变换第92页/共146页93 图2-24 环节的并联连接 特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出C

40、(s)为各环节的输出之和，即:（2）并联连接结构图的简化等效变换结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。n为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。第93页/共146页94图2-25 环节的反馈连接（3）反馈连接 结构图的简化等效变换第94页/共146页95（4）比较点和分支点（引出点）的移动有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。结构图的简化结构图的简化等效变换等效变换第95页/共146页96 图2-26 比较点移动示意图 放大缩小 缩小放大 结构图的简化等效变换第96页/共146页97 左图2-27 分支点移

41、动示意图 缩小放大放大缩小右结构图的简化等效变换第97页/共146页98结构图化简求系统传递函数的基本方法：(1)利用等效变换法则，通过移动比较点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的几种基本的简单回路。(2)将结构图变换为代数方程组,然后求解代数方程组.(3)将结构图变换为信号流图,然后应用梅森增益公式(4)直接应用梅森增益公式(最好不用!)G(s)R(s)C(s)结构图的简化等效变换第98页/共146页结构框图的化简 例2-10G(s)R(s)C(s)第99页/共146页100例2-11 用结构图的等效法则，求图2-28所示系统的传递函数C(s)/R(s)解：这是一个具有交叉反馈的多回路

42、系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。本题的求解方法是把图中的点A先前移至B点，化简后，再后移至C点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。图2-28结构图的简化等效变换第100页/共146页101 反馈公式 串联和并联结构图的简化等效变换第101页/共146页102结构图的简化等效变换第102页/共146页103例2-12 将例2-9的系统结构图简化 结构图的简化等效变换第103页/共146页104简化提示：分支点A后移（放大-缩小）比较点B前移（放大-缩小）比较点1和2交换。第104页/共146页 结构图的化简（解方程组）例2.13G(s

43、)R(s)C(s)第105页/共146页106反馈控制系统的传递函数(1)前向通路传递函数-假设N(s)=0 打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。等价于C(s)与误差E(s)之比(2)反馈回路传递函数 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。第106页/共146页107(3)(3)开环传递函数开环传递函数 Open-loop Transfer FunctionOpen-loop Transfer Function 假设假设N(s)=0N(s)=0主反馈信号主反馈信号B(s)B(s)与误差信号与误差信号E(s)E(s)之之比。比。(4)闭环传递函数 Closed-loop

44、 Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。反馈控制系统的传递函数第107页/共146页108推导：因为 右边移过来整理得 即*反馈控制系统的传递函数第108页/共146页109(5)误差传递函数 假设N(s)=0误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。代入上式，消去G(s)即得：将反馈控制系统的传递函数第109页/共146页110图2-18 输出对扰动的结构图 利用公式*，直接可得：(6)输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0*反馈控制系统的传递函数第110页/共146页111（7）误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0 图2-19 误差对

45、扰动的结构图 利用公式*，直接可得：*反馈控制系统的传递函数第111页/共146页112线性系统满足叠加原理，当控制输入线性系统满足叠加原理，当控制输入R(s)R(s)与扰动与扰动N(s)N(s)同同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消R(s)产生的误差。反馈控制系统的传递函数第112页/共146页113信号流图和梅逊公式（SJMason）结构图是一种很有用的图示法。对于复杂的控制系统，结构图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图，既能表示系统

46、的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。2.5 信号流图第113页/共146页114信号流图是表达线性代数方程组结构的一种图。节点：小圆圈表示变量或信号，称为节点。支路：连接两个节点的线段称为支路。增益：标在支路旁边的数学算子称为传递函数或传递增益。传递增益可以是常数，也可以是复变函数。当传递函数为1时可以不标。信号流图的定义及其基本性质第114页/共146页115用信号流图表示方程组的基本法则为用信号流图表示方程组的基本法则为:1)1)支支路路终终点点信信号号等等于于始始点点信信号号乘乘以以支支路路传传递递函函数数。例例如如，代代数

47、数方方程程 x x2 2=ax=ax1 1可可以以表表示示为为图图2.242.24所示信号流图。所示信号流图。图2.24 的信号流图信号流图的定义及其基本性质第115页/共146页116信信号号只只能能沿沿支支路路以以箭箭头头方方向向传传送送。虽虽然然代代数数方方程程 x x2 2=ax=ax1 1 可以写成可以写成 图2.25 的信号流图但在系统中当x1作为输入，x2作为输出时，信号流图就不能画成信号流图的定义及其基本性质第116页/共146页117 2 2）节点表示了系统中的信号，而且可以把所有输入）节点表示了系统中的信号，而且可以把所有输入支路的信号叠加，并把和信号等同地送到所有输出支支

48、路的信号叠加，并把和信号等同地送到所有输出支路路。其值均为所有输入信号乘各自的支路传递函数之。其值均为所有输入信号乘各自的支路传递函数之和。和。如如 x4=a1x1+a2x2+a3x3 可以表示成图可以表示成图2.262.26所示。所示。图2.26 x4=a1x1+a2x2+a3x3 的信号流图信号流图的定义及其基本性质第117页/共146页118 标准作法标准作法 :在构作信号流图时，通常将在构作信号流图时，通常将输入节点画在左边输入节点画在左边而输出节点画在右边而输出节点画在右边，把，把“反馈反馈”分支画在水分支画在水平线下面平线下面，其它分支画成水平线或在水平线上，其它分支画成水平线或在

49、水平线上边。自回环按其方向可以画在下面也可以画在边。自回环按其方向可以画在下面也可以画在上面。上面。信号流图的构造 第118页/共146页119（1 1）由线性代数方程组构造信号流图由线性代数方程组构造信号流图 构造步骤：构造步骤：1 1）把把方方程程组组写写成成“因因”、“果果”形形式式。注注意意，每每个个变变量量作作为为“果果”只能一次，其余的作为只能一次，其余的作为“因因”；2 2）把各变量作为节点，从左到右按次序画在图上；）把各变量作为节点，从左到右按次序画在图上；3 3）按按方方程程式式表表达达的的关关系系，分分步步画画出出各各节节点点与与其其他他节节点点之之间间的的关关系；系；信号

50、流图的构造 第119页/共146页120 设线性系统由设线性系统由n n个线性代数方程描述，若写成个线性代数方程描述，若写成则称为因果关系形式。其中，写在等式左端的变量为“果”，写在等式右端的变量为“因”。对于一个给定的线性方程组，其信号流图不是唯一的。但这些信号流图尽管形式上不同，但求解结果都是一样的，都描述了同一个系统。所以，这些信号流图是等效的，称为等效的非同构图。信号流图的构造 第120页/共146页121（2 2）由微分方程组构造）由微分方程组构造 信号流图只能表示线性代数方程，当系统是由线性微分方信号流图只能表示线性代数方程，当系统是由线性微分方程描述时，则应首先程描述时，则应首先