ch测量误差的基本知识实用.pptx

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1、 观测与观测值分类观测与观测值分类1.1.等精度观测和不等精度观测等精度观测和不等精度观测 通通常常把把测测量量仪仪器器、观观测测者者的的技技术术水水平平和和外外界界环环境境三三个个方方面面综综合合起起来来，称称为为观观测测条条件件。观观测测条条件件不不理理想想和和不不断断变变化化，是是产产生生测测量量误误差差的的根根本本原原因因。通通常常把把观观测测条条件件相相同同的的各各次次观观测测，称称为为等等精精度度观观测测；观观测测条条件件不不同同的的各各次观测，称为次观测，称为不等精度观测。不等精度观测。2.2.直接观测和间接观测直接观测和间接观测3.3.独立观测和非独立观测独立观测和非独立观测第

2、1页/共38页 系统误差可以消除或减弱系统误差可以消除或减弱。(计算改正、观测方法、仪器检校计算改正、观测方法、仪器检校)1.1.粗差粗差(错误错误)超限的误差超限的误差 测量误差的种类测量误差的种类2.2.系统误差系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。规律性变化，具有积累性。例：例：误差误差 处理方法处理方法 钢尺尺长误差 ld ld 计算改正 钢尺温度误差 lt lt 计算改正 水准仪视准轴误差I I 操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C C 操作时抵消(盘左盘右取平均)粗差、系统误差和偶然误差第2页/共38页3.3.偶然误差偶

3、然误差误差出现的大小、符号各不相同，表误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。面看无规律性。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。准确度准确度(测量成果与真值的差异）最或是值最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）几个概念几个概念 精（密）度精（密）度（观测值之间的离散程度）测量平差测量平差（求解最或是值并评定精度）第3页/共38页举例举例:在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了358358个三角形个三角形的内的内 角之和，得到角之和，得到358358个三角形个三角形闭合差闭合差 i i(偶然误

4、偶然误 差，也即真误差差，也即真误差)，然后对三角形闭合差，然后对三角形闭合差 i i 进行分析。进行分析。分析结果表明，分析结果表明，当观测次数很多时，偶然当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而而 且，观测次数越多，规律性越明显。且，观测次数越多，规律性越明显。偶然误差的特性偶然误差的特性第4页/共38页第5页/共38页用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低,并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。各条形

5、顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律第6页/共38页偶然误差具有正态分布的特性偶然误差具有正态分布的特性 当观测次数n无限增多(n)、误差区间d 无限缩小(d 0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。图6-1误差统计直方图第7页/共38页从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性：四个特性：3.3.偶然误差的特性偶然误差的特性(1)(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不

6、会超过一定 的限值的限值(有界性有界性)；(2)(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性趋向性)；(3)(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性对称性)；(4)(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零 (抵偿性抵偿性)：特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。第8页/共38页由正态分布密度函数由正态分布密度函数式中、为常数；=2.72828x=y正态分布曲线(a=0)令：，上式为：5.2 5

7、.2 衡量精度的指标衡量精度的指标1.方差与标准差第9页/共38页 表示 的离散程度x=y较小较大称为称为标准差标准差：上式中，上式中，称为称为方差方差：标准差标准差 的数学意义的数学意义第10页/共38页中误差中误差上式中，偶然误差 为观测值 与真值X之差：观测次数n n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：i=i-X测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形：第11页/共38页2.2.用改正数计算中误差的公式用改正数计算中误差的公式当观测值的真值未知时：当观测值的真值未知时：设某未知量的观

8、测值为：则该量的算术平均值为：则该量的改正数：观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形：计算得：观测值的中误差计算得：观测值的中误差第12页/共38页 m m1 1=2.72.7 是第一组观测值的中误差；是第一组观测值的中误差；m m2 2=3.63.6 是第二组观测值的中误是第二组观测值的中误差。差。m m1 1小于m m2 2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比较离散，其精度较低：第13页/共38页2.2.容许误差容许误差(极限误差)测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|偶然误差分别

9、出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(|m)=0.683=68.3P(|2m)=0.954=95.4P(|3m)=0.997=99.7第14页/共38页 3.3.相对误差相对误差(相对中误差相对中误差)误差绝对值与观测量之比。误差绝对值与观测量之比。用于表示用于表示距离距离的精度。的精度。用分子为用分子为1 1的分数表示。的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。K2K1，所以距离S2精度较高。例例2 2：用钢尺丈量两段距离分别得用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米米,m1=0.02m；S2=200米米,m2=0.02

10、m。计算。计算S1、S2的相对误差。的相对误差。0.0210.021K1=；K2=100500020010000解：解：第15页/共38页一.一般函数的中误差令的系数为，(c)式为：对(a)全微分：(b)设有函数：为独立观测值设设 有真误差有真误差 ，函数，函数 也产生真误差也产生真误差(a)由于和是一个很小的量，可代替代替上式中的和：(c)代入(b)得5.3 5.3 误差传播定律误差传播定律第16页/共38页对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1n且ij）(e)对K个(e)式取总和：(f)第17页/共38页由偶然误差的抵偿性知：(g)式最后一项极小于前面各项

11、，可忽略不计，则：前面各项即(h)(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)第18页/共38页(h)考虑，代入上式，得中误差关系式：(6-10)上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。第19页/共38页解：列函数式求全微分中误差式1.倍数函数的中误差设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式例：量得1:1000地形图上两点间长度=168.5mm 0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：二.几种常用函数的中误差第20页/共38页2.线性函数的中误差设有函数式全微分中误差式解：对上式全微分：由中误差式得：例：设有某线性函数其中、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z

12、中误差。第21页/共38页函数式全微分中误差式3.算术平均值的中误差式对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。由于等精度观测时，代入上式：得由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。第22页/共38页4.和或差函数的中误差函数式：全微分：中误差式：当等精度观测时：上式可写成：例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。解：第23页/共38页函数式函数的中误差一般函数倍数函数和差函数线性函数算术平均值观测值函数中误差公式汇总第24页/共38页 观测值的算术平均值观测值的算术平均值(最或是值)用观测值的改正数用观测

13、值的改正数v v计算观测值的计算观测值的 中误差中误差(即:白塞尔公式)第25页/共38页证明算术平均值为该量的最或是值：证明算术平均值为该量的最或是值：设该量的真值为X，则各观测值的真误差为 1 1=1 1-X X 2 2=2 2-X X n=n-X X上式等号两边分别相加得和：对某未知量未知量进行了n次观测，得n个观测值 1 1,2 2,n n,则该量的算术平均值为：x=1+2+nnn 一一.观测值的观测值的算术平均值算术平均值(最或是值、最可靠值最或是值、最可靠值)第26页/共38页当观测无限多次时：当观测无限多次时：得两边除以两边除以n n：由由当当观测次数无限多时，观测值的算术平均值

14、就是该观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；量的真值；当当观测次数有限时，观测值的算术平均观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。所以，算术平均值是最或是值。L=X第27页/共38页二二.观测值的改正数观测值的改正数v v：Vi=L-i(i=1,2,n)特点1改正数总和为零：对上式取和：以代入：通常用于计算检核L=nv=nL-nv=n -=0v=0特点2vv符合“最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x=n 以算术平均值以算术平均值为最或是值，并为最或是值，并据此计算各观

15、测据此计算各观测值的改正数值的改正数 v v，符合符合vv=min vv=min 的的“最小二乘原则最小二乘原则”。第28页/共38页 比较前面的公式，可以证明，两式根号内的比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，部分是相等的，即在与中：用观测值的改正数用观测值的改正数v v计算中误差计算中误差一一.计算公式计算公式(即白塞尔公式即白塞尔公式)：精度评定精度评定第29页/共38页算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术平均值；观测值的中误差；算术平均值的中误差；算术平均值的相对中误差：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。第30页/共38页v 用真误差求观测值的

16、中误差，即用真误差求观测值的中误差，即v 用真误差计算观测值算术平均值的中误差计算公式为用真误差计算观测值算术平均值的中误差计算公式为 v 用改正数计算观测值的中误差，即用改正数计算观测值的中误差，即v 用改正数计算观测值算术平均值的中误差计算公式为用改正数计算观测值算术平均值的中误差计算公式为 第31页/共38页一、权的概念权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。1权的定义：设一组不同精度的观测值为l i,其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数，则定义权为：称Pi为观测值l i的权。不同精度直接观测平差不同精度直接观测平差第32页/共

17、38页1权的定义：对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：2权的性质（1 1）权表示观测值的相对精度；（2 2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；（3 3）权的大小由选定的值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个值。第33页/共38页二、测量中常用的定权方法1同精度观测值的权对于一组同精度观测值l i，一次观测的中误差为m，由权的定义，选定=m2，则一次观测值的权为：n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：同精度观测值算术平均值的权为：第34页/共38页二、测量中常用的定权方法2单位权与

18、单位权中误差对于一组不同精度的观测值l i，一次观测的中误差为mi，设某次观测的中误差为m，其权为P0，选定=m2，则有：数值等于1的权，称为单位权；权等于1的中误差称为单位权中误差，常用表示。对于中误差为mi的观测值，其权为：相应中误差的另一表示方法为：第35页/共38页二、测量中常用的定权方法3水准测量的权与测站数成反比，或者与路线长度成反比。4角度测量的权与测回数成正比。5距离测量的权与长度成反比第36页/共38页三、非等精度观测值的最或是值加权平均值设对某量进行了n次非等精度观测，观测值分别为l1,l2,ln,其权分别为P1，P2，Pn。则观测量的最或是值为加权平均值：四、加权平均值的中误差第37页/共38页感谢您的欣赏！第38页/共38页