误差与实验数据处理 (2)幻灯片.ppt

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1、误差与实验数据处理误差与实验数据处理第1页，共30页，编辑于2022年，星期二基本概念基本概念误差公理：误差公理：误差公理：误差公理：一切测量都存在误差。一切测量都存在误差。一切测量都存在误差。一切测量都存在误差。真真真真 值：被测量的真实量值。值：被测量的真实量值。值：被测量的真实量值。值：被测量的真实量值。等精度测量：在同一条件下进行的重复多次测量。等精度测量：在同一条件下进行的重复多次测量。等精度测量：在同一条件下进行的重复多次测量。等精度测量：在同一条件下进行的重复多次测量。不确定度不确定度不确定度不确定度(U)(U)(U)(U)：表示测量结果不确定的程度。表示测量结果不确定的程度。表

2、示测量结果不确定的程度。表示测量结果不确定的程度。直接测量：用测量器具直接测出被测量量值的测量。直接测量：用测量器具直接测出被测量量值的测量。直接测量：用测量器具直接测出被测量量值的测量。直接测量：用测量器具直接测出被测量量值的测量。间接测量：先直接测出与被测量有关的直接测量量值，间接测量：先直接测出与被测量有关的直接测量量值，间接测量：先直接测出与被测量有关的直接测量量值，间接测量：先直接测出与被测量有关的直接测量量值，再根据该被测量与直接测量量值之间的数再根据该被测量与直接测量量值之间的数再根据该被测量与直接测量量值之间的数再根据该被测量与直接测量量值之间的数 学关系算出被测量量值的测量。

3、学关系算出被测量量值的测量。学关系算出被测量量值的测量。学关系算出被测量量值的测量。第2页，共30页，编辑于2022年，星期二测量误差测量误差1、绝对误差：被测量的测量值、绝对误差：被测量的测量值与其真值之差为绝对误差与其真值之差为绝对误差与其真值之差为绝对误差与其真值之差为绝对误差(测量误差测量误差测量误差测量误差)：式中：式中：式中：式中：为绝对误差；为绝对误差；为绝对误差；为绝对误差；为测量值；为测量值；为测量值；为测量值；R R为被测量的真值为被测量的真值为被测量的真值为被测量的真值真值包括：真值包括：真值包括：真值包括：(1)(1)理论真值理论真值理论真值理论真值 三角形的三个内角之

4、和三角形的三个内角之和三角形的三个内角之和三角形的三个内角之和180180o o(2)(2)约定真值约定真值约定真值约定真值 米原器和千克原器米原器和千克原器米原器和千克原器米原器和千克原器(3)(3)相对真值相对真值相对真值相对真值 有限次重复测量值的算术平均值有限次重复测量值的算术平均值有限次重复测量值的算术平均值有限次重复测量值的算术平均值;高一级准确度等级测量器具所测得的值作为较低高一级准确度等级测量器具所测得的值作为较低高一级准确度等级测量器具所测得的值作为较低高一级准确度等级测量器具所测得的值作为较低 一一一一 级级级级准确度等级测量器具测量值的真值准确度等级测量器具测量值的真值准

5、确度等级测量器具测量值的真值准确度等级测量器具测量值的真值2 2、相对误差、相对误差、相对误差、相对误差:绝对误差与真值之比绝对误差与真值之比绝对误差与真值之比绝对误差与真值之比 .用百分数表示：用百分数表示：用百分数表示：用百分数表示：式中：式中：式中：式中：E E为相对误差；为相对误差；为相对误差；为相对误差；第3页，共30页，编辑于2022年，星期二测量结果的表达测量结果的表达 1 1、等精度重复直接测量等精度重复直接测量等精度重复直接测量等精度重复直接测量 ,测量列为测量列为测量列为测量列为 mm1 1，mm2 2，mmn n,如果系统误差为零或采如果系统误差为零或采如果系统误差为零或

6、采如果系统误差为零或采用修正方法消除了系统误差，也去除了粗大误差用修正方法消除了系统误差，也去除了粗大误差用修正方法消除了系统误差，也去除了粗大误差用修正方法消除了系统误差，也去除了粗大误差测量结果：测量结果：测量结果：测量结果：给出上述测量结果同时，还要指明相应的置信概率p于是，测量结果应为测量结果应为:同时给出：同时给出：重复测取数据个数n由置信概率P决定。P=0.95,n在22 25次之间；P=0.997，n大于等于370次；P=0.683,n为小于等于20次。第4页，共30页，编辑于2022年，星期二u没有标出准确度等级没有标出准确度等级,可以连续读数（可估读）的仪器，取仪器最小分可以

7、连续读数（可估读）的仪器，取仪器最小分度值的一半作为仪器的最大误差度值的一半作为仪器的最大误差u没有标出准确度等级没有标出准确度等级,又不可连续读数（不可估读）的仪器，取最小分又不可连续读数（不可估读）的仪器，取最小分度值作为仪器的最大误差度值作为仪器的最大误差u已标出准确度等级的仪器，仪器的最大误差已标出准确度等级的仪器，仪器的最大误差 由误差公式计算。由误差公式计算。2 2、单次直接测量、单次直接测量、单次直接测量、单次直接测量 ：式中：式中：为测量仪器的最大误差；为测量仪器的最大误差；设仪器准确度等级为设仪器准确度等级为a，满量程为，满量程为L u u有些仪器最大误差由相应的公式计算有些

8、仪器最大误差由相应的公式计算有些仪器最大误差由相应的公式计算有些仪器最大误差由相应的公式计算第5页，共30页，编辑于2022年，星期二数据舍入规则数据舍入规则1、若若舍舍去去部部分分的的数数值值小小于于保保留留部部分分末末位位的的半半个个单单位位，则则末末位位不不变变。例例如如：将下列数据舍入到小数点后第二位将下列数据舍入到小数点后第二位1.23481.23（因为（因为0.00480.005）5.624995.62（因为（因为0.004990.005）5.625015.63（因为（因为0.005010.005）3、若若舍舍去去部部分分的的数数值值等等于于保保留留部部分分末末位位的的半半个个单单

9、位位，则则末末位位凑凑成成偶偶数数，末末位为偶数时不变，末位为奇数时加位为偶数时不变，末位为奇数时加1。1.23501.24（因为（因为0.0050=0.005，且，且3为奇数）为奇数）5.625005.62（因为（因为0.00500=0.005，且，且2为偶数）为偶数）5.605005.60（0认为是偶数）认为是偶数）第6页，共30页，编辑于2022年，星期二测量结果中，测量结果中，或或 保留数字位数应与不确定度一致保留数字位数应与不确定度一致最终结果，标准偏差 取一位有效数字，相对误差 取两位有效数字。在计算过程中多取一位，在误差处理中，和 都采用进位的方法。标准偏差 和 都应取成 。例如

10、例如：取取例如：例如：保留数字位数保留数字位数1 1、2 2、第7页，共30页，编辑于2022年，星期二测量误差的分类测量误差的分类1 1、系统误差：、系统误差：、系统误差：、系统误差：在相同条件下，多次重复测量同一量值时，在相同条件下，多次重复测量同一量值时，误差的大小和符号保持不变或按一定规律误差的大小和符号保持不变或按一定规律变化。变化。2 2、随机误差：、随机误差：、随机误差：、随机误差：在相同条件下，多次重复测量同一量时，误在相同条件下，多次重复测量同一量时，误差的大小、符号均无规律地变化。差的大小、符号均无规律地变化。3 3、粗大误差：、粗大误差：、粗大误差：、粗大误差：在相同条件

11、下，多次重复测量同一量时，明在相同条件下，多次重复测量同一量时，明显歪曲测量结果的误差。显歪曲测量结果的误差。第8页，共30页，编辑于2022年，星期二系统误差的判别系统误差的判别2 2 2 2、残余误差观察法、残余误差观察法、残余误差观察法、残余误差观察法（根据测量顺序作图观察，判断有规律系统误差）（根据测量顺序作图观察，判断有规律系统误差）m1，m2，.，mnn nr r1 12 23 34 40.10.10.20.20.30.3 1 1、实验对比法、实验对比法 （判断固定不变的系统误差）系统误差）第9页，共30页，编辑于2022年，星期二随机误差的方差和标准差随机误差的方差和标准差1 1

12、、无限次测量列任一次、无限次测量列任一次、无限次测量列任一次、无限次测量列任一次测量值的标准差（测量值的标准差（测量值的标准差（测量值的标准差（n n ）对等精度无限测量列对等精度无限测量列对等精度无限测量列对等精度无限测量列 mm1 1，mm2 2，mmn n,去除了系统误差和粗大误差，任去除了系统误差和粗大误差，任去除了系统误差和粗大误差，任去除了系统误差和粗大误差，任一次测量值的方差和标准差分别为：一次测量值的方差和标准差分别为：一次测量值的方差和标准差分别为：一次测量值的方差和标准差分别为：按上式计算标准差需要已知真值，测量次数按上式计算标准差需要已知真值，测量次数n需足够大，是理论计

13、算公式。需足够大，是理论计算公式。第10页，共30页，编辑于2022年，星期二2、有限次测量列任一次测量列任一次测量值的标准差（贝塞尔公式贝塞尔公式）实际测量中，测量次数实际测量中，测量次数实际测量中，测量次数实际测量中，测量次数 n n 是有限的是有限的是有限的是有限的，用算术平均值作为被测量的真值的最佳，用算术平均值作为被测量的真值的最佳，用算术平均值作为被测量的真值的最佳，用算术平均值作为被测量的真值的最佳值，则任一次测量值的标准差的方差和标准差分别为：值，则任一次测量值的标准差的方差和标准差分别为：值，则任一次测量值的标准差的方差和标准差分别为：值，则任一次测量值的标准差的方差和标准差

14、分别为：测量结果：测量结果：同时给出：同时给出：第11页，共30页，编辑于2022年，星期二3 3、测量列算术平均值的标准差、测量列算术平均值的标准差、测量列算术平均值的标准差、测量列算术平均值的标准差在在在在相相相相同同同同条条条条件件件件下下下下，对对对对被被被被测测测测量量量量重重重重复复复复做做做做 n n 次次次次测测测测量量量量，得得得得 mm1 1，mm2 2，mmn n ，去去去去除除除除系系系系统统统统误误误误差差差差和和和和粗粗粗粗大大大大误误误误差差差差，由由由由于于于于随随随随机机机机误误误误差差差差的的的的存存存存在在在在,围围围围绕绕绕绕测测测测量量量量值值值值算算

15、算算术术术术平平平平均均均均值值值值的的的的标标标标准准准准差差差差，由由由由下下下下式求出：式求出：式求出：式求出：测量结果：测量结果：同时给出同时给出:第12页，共30页，编辑于2022年，星期二粗大误差的剔除粗大误差的剔除拉依达准则：拉依达准则：拉依达准则：拉依达准则：格拉布斯准则：格拉布斯准则：凡剩余误差大于格拉布斯鉴别值的误差被认为是粗大误差，该测量值舍去式中g（a，n）为格拉布斯准则判别系数，它与测量次数n及显著性水平(取0.05或0.01)有关，判别系数见下表mm1 1，mm2 2，mmn n （n 10）该测量值舍去第13页，共30页，编辑于2022年，星期二n na an n

16、a a0.050.050.010.010.050.050.010.01g g（n,an,a）g g（n,an,a）3 31.151.151.161.1617172.482.482.782.784 41.461.461.491.4918182.502.502.822.825 51.671.671.751.7519192.532.532.852.856 61.821.821.941.9420202.562.562.882.887 71.941.942.102.1021212.582.582.912.918 82.032.032.222.2222222.602.602.942.949 92.112.

17、112.322.3223232.622.622.962.9610102.182.182.412.4124242.642.642.992.9911112.232.232.482.4825252.662.663.013.0112122.282.282.552.5530302.742.743.103.1013132.332.332.612.6135352.812.813.183.1814142.372.372.662.6640402.872.873.243.2415152.412.412.702.7050502.962.963.343.3416162.442.442.752.751001003.17

18、3.173.593.59第14页，共30页，编辑于2022年，星期二0.00010.0001 0.010.0124.7624.769 90 00 024.7524.758 80.00010.0001-0.01-0.0124.7424.747 70.00040.0004-0.02-0.0224.7324.736 60 00 024.7524.755 50.00250.0025+0.05+0.0524.8024.804 40.00040.0004-0.02-0.0224.7324.733 30.00010.0001+0.01+0.0124.7624.762 20.00010.0001-0.01-0

19、.0124.7424.741 1序序号号等精度直接测量列的数据处理实例等精度直接测量列的数据处理实例例：对某一轴的直径进行等精度测量例：对某一轴的直径进行等精度测量例：对某一轴的直径进行等精度测量例：对某一轴的直径进行等精度测量9 9次，得到下表数据，求测量结果。次，得到下表数据，求测量结果。次，得到下表数据，求测量结果。次，得到下表数据，求测量结果。1 1、求算数平均值、求算数平均值、求算数平均值、求算数平均值2 2、求残余误差、求残余误差、求残余误差、求残余误差3 3、判断系统误差、判断系统误差、判断系统误差、判断系统误差 根据残余误差观察法，由表可以看出误差符根据残余误差观察法，由表可以

20、看出误差符号大体上正负相同，且无显著变化规，判断该测号大体上正负相同，且无显著变化规，判断该测量列无有规律变化的系统误差。量列无有规律变化的系统误差。第15页，共30页，编辑于2022年，星期二4 4、求测量值的标准差、求测量值的标准差、求测量值的标准差、求测量值的标准差5 5、判别粗大误差、判别粗大误差、判别粗大误差、判别粗大误差 本本实实例例测测量量轴轴径径的的次次数数较较少少，因因而而不不采采用用拉拉依依达达 准准则则判判别别粗粗大大 误差，采用格拉布斯准则，误差，采用格拉布斯准则，故判别测量列中存在粗大误差故判别测量列中存在粗大误差 ,将将mm4 4去掉后去掉后 ,重新计算。重新计算。

21、第16页，共30页，编辑于2022年，星期二0.0002250.000225 0.0150.01524.7624.769 90.0000250.000025 0.0050.00524.7524.758 80.0000250.000025-0.005-0.00524.7424.747 70.0002250.000225-0.015-0.01524.7324.736 60.0000250.000025 0.005 0.005 24.7524.755 5 0.0002250.000225-0.015-0.01524.7324.733 30.0002250.0002250.0150.01524.762

22、4.762 20.0000250.000025-0.005-0.00524.7424.741 1序序号号6 6 6 6、再一次求算数平均值、残余误差、标准差、再一次求算数平均值、残余误差、标准差、再一次求算数平均值、残余误差、标准差、再一次求算数平均值、残余误差、标准差、判别粗大误差判别粗大误差判别粗大误差判别粗大误差 等等等等第17页，共30页，编辑于2022年，星期二7 7、最后的测量结果、最后的测量结果、最后的测量结果、最后的测量结果第18页，共30页，编辑于2022年，星期二间接测量间接测量设设设设 N N N N 为间接测量量，为间接测量量，为间接测量量，为间接测量量，x x、y y

23、、z z为独立的直接测量参数为独立的直接测量参数为独立的直接测量参数为独立的直接测量参数N=N=N=N=f f f f(x(x(x(x、y y、z)z)z)z)间间间间接接接接测测测测量量量量量量量量N N N N的的的的误误误误差差差差是是是是分分分分别别别别由由由由x x x x、y y y y、z z z z 在在在在各各各各自自自自直直直直接接接接测测测测量量量量中中中中的误差引起的，间接测量标准误差计算式为的误差引起的，间接测量标准误差计算式为的误差引起的，间接测量标准误差计算式为的误差引起的，间接测量标准误差计算式为:第19页，共30页，编辑于2022年，星期二N N的相对误差为的

24、相对误差为:第20页，共30页，编辑于2022年，星期二27.21527.21520.5320.5313.7313.736.736.730 027.1527.1527.227.227.227.227.2527.2527.2527.2527.227.227.327.327.327.327.327.327.3527.3527.127.127.127.127.127.127.227.227.227.220.4520.4520.5020.5020.52520.52520.57520.57520.620.620.5520.5520.5520.5520.620.620.6520.6520.6520.652

25、0.3520.3520.4520.4520.4520.4520.520.520.5520.5513.6513.6513.72513.72513.713.713.77513.77513.813.813.7513.7513.813.813.813.813.8513.8513.913.913.5513.5513.65 13.65 13.613.613.713.713.713.76.6756.6756.7256.7256.756.756.756.756.756.756.76.76.75 6.75 6.86.86.86.86.86.86.656.656 6.7.7 6.76.76.76.76.76.70

26、 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0右右左左右右左左右右左左右右左左右右左左右右左左403020100间接测量举例：间接测量举例：已知已知:旋光性溶液的长度旋光性溶液的长度:L=10 cm 浓度：浓度：C0=0；C1=10%；C2=20%；C3=30%；C4=40%测得不同浓度的旋光度测得不同浓度的旋光度 数据表数据表第21页，共30页，编辑于2022年，星期二求：旋光率求：旋光率求：旋光率求：旋光率 a a 注：注：i i 代表不同浓度代表不同浓度1 1、由式由式由式由式得得得得其中其中其中其中 :2 2、第22页，共30页，编辑于2022

27、年，星期二b.坐坐标标轴轴焦焦点点用用低低于于测测量量值值最最低低值值且且与与最最低低值值相相近近的的整整数数表示表示,不一定从零开始不一定从零开始 测量数据的表示方法测量数据的表示方法c.数数据据过过大大或或过过小小，分分度度应应以以 表表示示，坐坐标标轴轴 不标数据点不标数据点d.描点用描点用、*等标出。等标出。f.图线大约在图线大约在 或或 位置位置1 1、列表法列表法列表法列表法：表名、已知条件列在表格右上方，行、列标清标题（名称代表符号、：表名、已知条件列在表格右上方，行、列标清标题（名称代表符号、：表名、已知条件列在表格右上方，行、列标清标题（名称代表符号、：表名、已知条件列在表格

28、右上方，行、列标清标题（名称代表符号、单位（单位（单位（单位（在符号后并括起来在符号后并括起来在符号后并括起来在符号后并括起来）。同一个单位可标在表格右上方。同一个单位可标在表格右上方。同一个单位可标在表格右上方。同一个单位可标在表格右上方2、作图法作图法:a.水平轴自变量，纵轴因变量，标明符号、单位水平轴自变量，纵轴因变量，标明符号、单位e.注明图号、图名注明图号、图名第23页，共30页，编辑于2022年，星期二3 3、实验数据的直线拟合、实验数据的直线拟合、实验数据的直线拟合、实验数据的直线拟合（一元线性回归）（一元线性回归）（一元线性回归）（一元线性回归）:给测量值配上一个最佳的给测量值

29、配上一个最佳的给测量值配上一个最佳的给测量值配上一个最佳的直线方程的过程。设测得一组数（直线方程的过程。设测得一组数（直线方程的过程。设测得一组数（直线方程的过程。设测得一组数（x xi i、y y i i）对于每一个测量值对于每一个测量值 xi ，它对应的测量值为，它对应的测量值为 yi，由公式，由公式(1)计算出计算出 xi 对应的对应的 y 值，值，再由公式再由公式(2)计算差值计算差值 v i(1)(1)(2)(2)对于对于对于对于公式公式(1)，最佳的直线方程应该最佳的直线方程应该最佳的直线方程应该最佳的直线方程应该使得差值的平方和为最小，即使得差值的平方和为最小，即第24页，共30

30、页，编辑于2022年，星期二r的的 绝绝 对对 值值 越越 近近 于于1，说说 明明 线线 性性 函函 数数 拟拟 合合 是是 合合 理理 的的。r等于零或趋近于零，说明等于零或趋近于零，说明 x、y 两物理量根本不存在线性关系两物理量根本不存在线性关系。得到得到分别求得分别求得第25页，共30页，编辑于2022年，星期二27.21527.21520.5320.5316.7316.7313.7313.736.736.730 027.1527.1527.227.227.227.227.2527.2527.2527.2527.227.227.327.327.327.327.327.327.3527

31、.3527.127.127.127.127.127.127.227.227.227.220.4520.4520.5020.5020.52520.52520.57520.57520.620.620.5520.5520.5520.5520.620.620.6520.6520.6520.6520.3520.3520.4520.4520.4520.4520.520.520.5520.5516.67516.67516.716.716.72516.72516.7516.7516.816.816.7516.7516.816.816.816.816.8516.8516.916.916.6 16.6 16.61

32、6.616.6516.6516.6516.6516.716.713.6513.6513.72513.72513.713.713.77513.77513.813.813.7513.7513.813.813.813.813.8513.8513.913.913.5513.5513.65 13.65 13.613.613.713.713.713.76.6756.6756.7256.7256.756.756.756.756.756.756.76.76.75 6.75 6.86.86.86.86.86.86.656.656 6.7.7 6.76.76.76.76.76.70 00 00 00 00 00

33、00 00 00 00 00 00 00 00 00 0右右左左右右左左右右左左右右左左右右左左右右左左4030X 20100(0 ,0 )(10%,6.73)(20%,13.73)(30%,20.53)(40%,27.215)例：例：第26页，共30页，编辑于2022年，星期二第27页，共30页，编辑于2022年，星期二如何写实验报告如何写实验报告实验名称实验名称实验目的实验目的实验原理实验原理实验内容实验内容实验步骤实验步骤实验仪器实验仪器实验数据处理实验数据处理实验数据记录实验数据记录回答思考题回答思考题绘制实验数据曲线绘制实验数据曲线实实验验课课前前做做好好预预习习作作业业：提提交交一

34、一份份误误差差处处理理方方法法总总结结及及误误差差处处理理的的例例子子第28页，共30页，编辑于2022年，星期二第29页，共30页，编辑于2022年，星期二随机误差随机误差设测量列为设测量列为设测量列为设测量列为mm1 1，mm2 2，mmi i则用绝对误差表示的随机误差列则用绝对误差表示的随机误差列则用绝对误差表示的随机误差列则用绝对误差表示的随机误差列 i i为：为：为：为：i immi iR R（i i1 1，2 2，3 3，n n）将上式两边求和得：将上式两边求和得：将上式两边求和得：将上式两边求和得：由正态分布的抵偿特性有：由正态分布的抵偿特性有：由正态分布的抵偿特性有：由正态分布的抵偿特性有：有有有有当当当当n n为有限值时，测量值序列的算术平均值为为有限值时，测量值序列的算术平均值为为有限值时，测量值序列的算术平均值为为有限值时，测量值序列的算术平均值为:第30页，共30页，编辑于2022年，星期二