微分方程建模中的若干问题幻灯片.ppt

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1、微分方程建模中的若干问题第1页，共52页，编辑于2022年，星期六 1.微分方程建模中假设的微分方程建模中假设的 提出提出 与与 修改修改 问题问题 “商品价格商品价格变变化的两大特点化的两大特点”：平衡价格平衡价格应应是是 商品供需平衡商品供需平衡 的价位；的价位；趋趋于于过过程程应应具有具有惯惯性特征：呈性特征：呈现现 阻尼震阻尼震荡荡 过过程特征程特征 建立在建立在 市市场经济场经济 下下 价格价格变动变动模型模型 具体具体问题问题：试图试图建立一个建立一个 数学模型数学模型，描，描绘绘在健全的市在健全的市场场 经济经济框架下，商品价格受市框架下，商品价格受市场场机制机制调节调节，偏高或

2、偏低，偏高或偏低 的价格将会的价格将会 自自动趋动趋于平衡于平衡。建模目的建模目的：建立一个价格随：建立一个价格随时间时间演演变变,以以 阻尼振阻尼振荡荡 方式方式 逐逐渐趋渐趋于理性的于理性的 商品供需平衡价格商品供需平衡价格 的模型。的模型。第2页，共52页，编辑于2022年，星期六 (3)商品价格的变化速度商品价格的变化速度 p(t)与市场的与市场的 过剩需求过剩需求 D(t)S(t)有关有关.假定它们之间成假定它们之间成 正比正比 :(2)商品供应商品供应 S(t)随价格随价格 p(t)的增大而上升的增大而上升.假定它们之间的关系也近似为假定它们之间的关系也近似为 线性关系线性关系;建

3、模假建模假设设：(1)商品需求商品需求 D(t)随价格随价格 p(t)的增大而下降的增大而下降.假定它们之间的关系近似为假定它们之间的关系近似为 线性关系线性关系:第3页，共52页，编辑于2022年，星期六 模型建立：模型建立：第4页，共52页，编辑于2022年，星期六 模型分析：模型分析：当当 时时,当当时时,结论未能达到建模目的！结论未能达到建模目的！说明商品价格是说明商品价格是 单调单调 地趋向平衡价格地趋向平衡价格.第5页，共52页，编辑于2022年，星期六 建模假设的建模假设的 修改修改：(3)*商品价格的变化速度商品价格的变化速度 p(t)与市场的与市场的 过剩需求过剩需求 D(t

4、)S(t)对时间对时间 t 的的 累积量有关累积量有关(即考虑过剩即考虑过剩 需求的时间滞后效应需求的时间滞后效应).(2)商品供应商品供应 S(t)随价格随价格 p(t)的增大而上升的增大而上升.假定它们之间的关系也近似为假定它们之间的关系也近似为 线性关系线性关系;(1)商品需求商品需求 D(t)随价格随价格 p(t)的增大而下降的增大而下降.假定它们之间的关系近似为假定它们之间的关系近似为 线性关系线性关系:假定它们之间成假定它们之间成 正比正比 :第6页，共52页，编辑于2022年，星期六 模型再建立：模型再建立：商品价格随时间演变而处在商品价格随时间演变而处在 等幅震荡等幅震荡 之中

5、。之中。结论还未能达到建模目的！结论还未能达到建模目的！第7页，共52页，编辑于2022年，星期六 建模假设的建模假设的 再次修改再次修改：假假设设(1)、(2)不不变变；(3)*商品价格的变化速度商品价格的变化速度 p(t)不仅与市场过剩需求不仅与市场过剩需求 D(t)S(t)对时间对时间 t 的累积量有关的累积量有关,还与当时的价格与平衡价格还与当时的价格与平衡价格 p*的的 偏差程度偏差程度 有关有关 (即考虑健全的市场有政府宏观调控因素即考虑健全的市场有政府宏观调控因素),假定它们之间也成假定它们之间也成 正比正比，且比例系数且比例系数 仍假定它们之间仍假定它们之间 成成 正比正比;(

6、强调政府宏观调控只是微调强调政府宏观调控只是微调)。第8页，共52页，编辑于2022年，星期六 模型又一模型又一 次建立：次建立：商品价格随时间演变而呈现商品价格随时间演变而呈现 阻尼震荡阻尼震荡 现象现象 。该结论达到建模目的！该结论达到建模目的！模型可采用模型可采用 第9页，共52页，编辑于2022年，星期六 2.微分方程模型在微分方程模型在 模型分析模型分析 中的主要问题之一中的主要问题之一 稳定性分析稳定性分析 用微分方程方法建立的动态模型问题用微分方程方法建立的动态模型问题 模型分析模型分析 中的一个中的一个 重要问题是：重要问题是：当时间充分长后当时间充分长后，动态过程的，动态过程

7、的 变化趋势变化趋势 是什么？是什么？微分方程模型中微分方程模型中,方程方程(组组)+初始条件初始条件 解解 初始条件的作用在于确定解初始条件的作用在于确定解,它它的微小变化会产生不同的的微小变化会产生不同的 解，换言之，对解的发展性态变化解，换言之，对解的发展性态变化,往往具有影响作用往往具有影响作用.问题问题是是这这种种对对解的解的发发展性展性态态的影响作用是的影响作用是 长长期存在期存在 的的,还还是当是当时间时间充分大以后充分大以后,影响作用会影响作用会 “消逝消逝”?（1）微分方程模型的稳定性及其实际意义 第10页，共52页，编辑于2022年，星期六 有有时时候候,初始条件的微小初始

8、条件的微小变变化会化会导导致解的性致解的性态态随随时间变时间变 大后大后,产产生生显显著的差异著的差异,这时这时称称 系系统统是不是不稳稳定定 的的;有有时时候候,初始条件初始条件变变化化导导致解的性致解的性态态差异会随差异会随时间变时间变大大 后而消失后而消失,这时这时称称该该 系系统统是是稳稳定定 的的.在在实际问题实际问题中中,初始状初始状态态不能精确地而只能近似地确定不能精确地而只能近似地确定,所以所以稳稳定性定性问题问题的研究的研究对对于用微分方程方法建立的模型于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的具有十分重要的实际实际意意义义。也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中也就是说

9、，在具有稳定性特征的微分方程模型中,长远长远 来看来看,最终发展结果与精确的初始状态究竟如何最终发展结果与精确的初始状态究竟如何,两者两者 之间没有多大关系之间没有多大关系,初始状态刻画得精确不精确是无关初始状态刻画得精确不精确是无关 紧要的。紧要的。第11页，共52页，编辑于2022年，星期六 微分方程稳定性理论微分方程稳定性理论 可以使我们在很多情况下不求解可以使我们在很多情况下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是 稳定稳定 或或 不稳定不稳定 的结论。的结论。研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于研究者对于微分方程稳定性理论的研

10、究兴趣往往大于 该方程解有无解析表达式的研究兴趣。该方程解有无解析表达式的研究兴趣。在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分方在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分方 程是一类称为程是一类称为 自治系统自治系统 的方程的方程。自治方程自治方程 是指方程中不显含自变量是指方程中不显含自变量 t 的微分方程，例如的微分方程，例如第12页，共52页，编辑于2022年，星期六 自治方程自治方程 中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势，中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势，则这个解的则这个解的 最终趋势值最终趋势值 只能是该方程的只能是该方程的 平衡点平衡点。的的 平衡点平衡点 是指代数方程是指

11、代数方程 的根的根 （可能不止一个根）（可能不止一个根）；的的 平衡点平衡点 是是指代数方程组指代数方程组 的解的解 （可能不止一组解）。（可能不止一组解）。如果存在某个邻域，使微分方程的解如果存在某个邻域，使微分方程的解 x(t)从这个邻域从这个邻域 内的某个点内的某个点 x(0)出发出发，满足满足:则称微分方程则称微分方程 的的 平衡点平衡点 是是 稳定稳定 的；的；第13页，共52页，编辑于2022年，星期六 如果存在某个邻域，使微分方程的解如果存在某个邻域，使微分方程的解 x(t)，y(t)从这个邻域内的某个点从这个邻域内的某个点 x(0)，y(0)出发出发，满足满足:则称微分方程则称

12、微分方程 的的 平衡点平衡点 是是 稳定稳定 的。的。上述上述 一阶自治方程一阶自治方程 和和 二阶自治方程组二阶自治方程组 解的解的 稳定性理论稳定性理论 结果可简介如下：结果可简介如下：第14页，共52页，编辑于2022年，星期六 非线性方程非线性方程(一个方程一个方程 )情况情况 形式形式:x(t)=f(x(t)平衡点平衡点:解 f(x)=0,得 x=x0.注意:有时该方程的 根不止一个.稳定意义稳定意义:当当 t 时时,如如 x x0,则称则称 x0 是稳定的是稳定的 平衡点平衡点;否则称否则称 x0 是不稳定平衡点是不稳定平衡点.第15页，共52页，编辑于2022年，星期六 由此由此

13、,当当 f(x0)0 时时,x x0;当当 f(x0)0 时时,x +.(c)一阶一阶非非线线性性问题问题的的稳稳定性定性结论结论:根据有关数学理根据有关数学理论论,一阶一阶非非线线性性问题问题的的稳稳定性在非定性在非临临界情况下，与界情况下，与一阶一阶 线线性性问题结论问题结论完全相同完全相同.研究方法研究方法:(a)作作 f(x)的线性替代的线性替代(利用一元函数的泰勒展开式利用一元函数的泰勒展开式):f(x)f(x0)(x-x0)+f(x0)=f(x0)(x-x0);(b)线性问题研究线性问题研究:求解求解 x=f(x0)(x x0),解得解得 第16页，共52页，编辑于2022年，星期

14、六非线性方程非线性方程(两个方程两个方程 )组情况组情况 平衡点平衡点:解解 f(x,y)=0,得得 x=x 0 g(x,y)=0,y=y 0 .y(t)=g(x(t),y(t)形式形式:x(t)=f(x(t),y(t),稳稳定意定意义义:当当 t +时时,如如 x x0,y y0,则则称称 (x0,y0)是是稳稳定的平衡点定的平衡点;否否则则称称 (x0,y0)是不是不稳稳定平衡点定平衡点.上面的方程上面的方程组组有有时时可能不止一可能不止一组组解解.第17页，共52页，编辑于2022年，星期六 研究方法研究方法:(a)作作 f(x,y)与与 g(x,y)的的线线性替代（利用二元函数性替代（

15、利用二元函数 的泰勒展开式）的泰勒展开式）:f(x,y)fx(x0,y0)(x-x0)+f y(x0,y0)(y-y0);g(x,y)g x(x0,y0)(x-x0)+g y(x0,y0)(y-y0).(b)线线性性问题问题研究研究:记记 a1=f x(x0,y0),a2=f y(x0,y0),b1=g x(x0,y0),b2=g y(x0,y0),p=-(a1+b2),q=a1 b2-a2 b1,并无妨并无妨设设 x0=0,y0=0;第18页，共52页，编辑于2022年，星期六求解求解 其中其中 1 ,2 为为特征方程特征方程 r 2+p r+q=0 的两根的两根.这里这里 1+2=-p,1

16、 2 =q 或写为或写为 第19页，共52页，编辑于2022年，星期六 (1)当当 p 0,q 0 时时,如果如果 p2 4q 0，由，由 1+2=-p,1 2 =q,推得推得 1 与与 2 均为负数均为负数，故当故当 t +时，时，e 1 t 与与 e 2 t 均趋于零均趋于零，系统稳定系统稳定;如果如果 p2 4q 0，由，由 1+2=-p,k=i 中中 为负数为负数（k =1，2），故当故当 t +时，时，ek t=et（sint cost）（k =1，2）也均趋于零也均趋于零，系统仍为稳定系统仍为稳定的的；第20页，共52页，编辑于2022年，星期六 (2)当当 p 0 时时,如果如果

17、 p2 4q 0，由，由 1+2=-p,可推出可推出 1 与与 2 中至少有一个为正数，中至少有一个为正数，故当故当 t +时，时，e1 t 与与 e2 t 中至少有一个中至少有一个 趋于趋于 +，系统不稳定系统不稳定;如果如果 p2 4q 0，仍由，仍由 1+2=-p,可推出可推出 k=i （k =1，2）中中 为正数为正数，故当故当 t +时时,ek t=et（sint cost）（k =1，2）趋于趋于+，仍可推出，仍可推出 系统不稳定系统不稳定。第21页，共52页，编辑于2022年，星期六 (3)当当 q 0 时时,此时必定有此时必定有 p2 4q 0，此时此时 系统也必不稳定系统也必

18、不稳定。由由 1 2 =q,可推出可推出 1 与与 2 中至少有一个为中至少有一个为 正数，正数，故当故当 t +时，时，e1 t 与与 e2 t 中至少有一个趋于中至少有一个趋于 +，第22页，共52页，编辑于2022年，星期六 当当 p 0,q 0 时时,相应的平衡点是稳定的；相应的平衡点是稳定的；当当 p 0 或当或当 q 0 时时,相应的平衡点是不稳定的。相应的平衡点是不稳定的。综述之，在线性方程组非临界（综述之，在线性方程组非临界（p 0)情况中情况中 第23页，共52页，编辑于2022年，星期六 (C)非线性问题的非线性问题的 稳定性结论稳定性结论:(i)若相应的线性问题是若相应的

19、线性问题是 稳定稳定 的的,则对应非线性问题也则对应非线性问题也 是是 稳定稳定 的的；(ii)若相应的线性问题是若相应的线性问题是 不稳定不稳定 的的,则对应非线性问题则对应非线性问题 也是也是 不稳定不稳定 的的.在非临界情况下在非临界情况下（p 0)，第24页，共52页，编辑于2022年，星期六 微分方程稳定性理论微分方程稳定性理论 的应用实例的应用实例 渔场防止捕捞过渡问题渔场防止捕捞过渡问题 建模目的：建立一个在有捕建模目的：建立一个在有捕捞捞的情况下，的情况下，渔场渔场中中鱼鱼量量 随随时间变时间变化的数学模型化的数学模型，藉此研究，藉此研究鱼鱼量数量数 随随时间变时间变化的化的发

20、发展展趋势趋势。建模假设：建模假设：(1)在无捕在无捕捞捞条件下，条件下，鱼鱼量数量数 x(t)的增长服从的增长服从 Logistic 规律：规律：(2)有捕有捕捞时捞时，单单位位时间时间的捕的捕捞捞量量 h 与与渔场鱼渔场鱼量成正比：量成正比：第25页，共52页，编辑于2022年，星期六 模型建立与分析：模型建立与分析：令令 当当 k r 时时,f(x1)=-r+k 0,x2 为为不不稳稳定点定点；当当 k r 时时,f(x1)=-r+k 0,x1 为为不不稳稳定点定点，f(x2)=r k 0 ,q 2 0 ;q 3 0 ;(x2,k2)是是稳稳定的定的，(x3,k3)是不是不稳稳定的定的

21、；第29页，共52页，编辑于2022年，星期六 当当 p N c 时时,q 2 0 ,q 3 0 ;(x 2 ,k 2)是不是不稳稳定的定的，(x 3 ,k 3)是是稳稳定的定的 ；第30页，共52页，编辑于2022年，星期六 3.偏微分方程偏微分方程 建模问题建模问题 休渔期鱼群分布规律模型休渔期鱼群分布规律模型 建立实行休渔政策下近海鱼群分布情况的数学模型。建立实行休渔政策下近海鱼群分布情况的数学模型。建模假设：建模假设：(1)海岸线近似为直线；鱼群只沿垂直于海岸海岸线近似为直线；鱼群只沿垂直于海岸 线方向向外游动；故问题的空间维数可取为一维；线方向向外游动；故问题的空间维数可取为一维；海

22、岸 0 外海 x (2)规定休渔区域在沿海规定休渔区域在沿海 l l 公里以内；休渔边界公里以内；休渔边界 x=l l 外，鱼群将全部被外海渔船打尽；外，鱼群将全部被外海渔船打尽；(3)任何地点任何地点 x、任何时刻、任何时刻 t 的鱼群密度分布函数的鱼群密度分布函数 u(x,t)为可微函数；为可微函数；第31页，共52页，编辑于2022年，星期六(4)初始时刻的鱼群密度分布函数初始时刻的鱼群密度分布函数 u(x,0)为已知函数为已知函数 u 0(x)；(5)t 时刻时刻、x 处鱼群处鱼群密度密度 u(x,t)的增长速度为的增长速度为 已知函数已知函数 f(u);(6)t 时刻时刻、x 处鱼群

23、数向外游动的扩散量处鱼群数向外游动的扩散量 (x,t)与与 u x(x,t)成正比成正比，比例系数为常数，比例系数为常数 a 2 ：这个假设类似于热量扩散问题中的这个假设类似于热量扩散问题中的 Fourier 法则法则。第32页，共52页，编辑于2022年，星期六建模过程建模过程 单位时间里单位时间里，a,b 段段上鱼群数的变化量为：上鱼群数的变化量为：这个变化量可分为两项之和，一项为单位时间里，残留这个变化量可分为两项之和，一项为单位时间里，残留 在在 a,b 段内的鱼群数：段内的鱼群数：另一项为单位时间里，另一项为单位时间里，a,b 段内的新生鱼群数：段内的新生鱼群数：第33页，共52页，

24、编辑于2022年，星期六 其中初边值其中初边值 条件为：条件为：第34页，共52页，编辑于2022年，星期六0l lxt 这个偏微分方程的初、边值问题是这个偏微分方程的初、边值问题是 适定的适定的，即问题的解是即问题的解是 存在、唯一存在、唯一 的，且的，且 连续依赖连续依赖 于初边值数据。于初边值数据。第35页，共52页，编辑于2022年，星期六 4.自由边界问题自由边界问题 自由边界问题是一类较为复杂的偏微分方程问题，这种自由边界问题是一类较为复杂的偏微分方程问题，这种 类型的问题在各种各样的应用中非常频繁地出现，例如类型的问题在各种各样的应用中非常频繁地出现，例如 它可出现在物相变化过程

25、、化学反应过程、生物扩散它可出现在物相变化过程、化学反应过程、生物扩散 过程、土壤冻过程等等的物理、化学现象之中，甚至过程、土壤冻过程等等的物理、化学现象之中，甚至 还出现在金融衍生物价格计算、抵押贷款评估研究等等还出现在金融衍生物价格计算、抵押贷款评估研究等等 的经济现象之中。的经济现象之中。（1）一相一相 Stefan 问题问题 考虑一根套在与四周完全绝缘隔热的管子中而正在融考虑一根套在与四周完全绝缘隔热的管子中而正在融 化的细冰棍；其右端为冰，左端为融化而成的水。拟化的细冰棍；其右端为冰，左端为融化而成的水。拟 建立一个融化水区域上任意点处温度随时间演变的模型。建立一个融化水区域上任意点

26、处温度随时间演变的模型。第36页，共52页，编辑于2022年，星期六 建模假设：建模假设：（1）假定冰区域温度恒等于零度；）假定冰区域温度恒等于零度；（2）假定水区域中热量传导服从）假定水区域中热量传导服从 Fourier 定律定律，即，即 单位时间中高温点到低温点的热流量大小与两点单位时间中高温点到低温点的热流量大小与两点 之间的温差成正比；之间的温差成正比；由此可推出以下等式：由此可推出以下等式：（3）假定水的密度）假定水的密度、比热、比热 c、热传导系数、热传导系数 k 和和 为了融化冰为水的潜热为了融化冰为水的潜热 L 均为常数均为常数。第37页，共52页，编辑于2022年，星期六 取

27、细棍的一小段取细棍的一小段 x,x+x ,设细棍的截面积为设细棍的截面积为 s 0 厘米厘米2；记记 q(x,t)为热流密度（卡为热流密度（卡/秒秒 厘米厘米2,单位时间内通过单位时间内通过 单位面积单位面积 的热量），的热量），则在则在 t 时间内，沿时间内，沿 x 方向流入小段方向流入小段 x,x+x 的总热量数近似为：的总热量数近似为：q(x,t)s 0 t（卡）（卡）,流出小段流出小段 x,x+x 的总热量数近似为：的总热量数近似为：q(x+x,t)s 0 t（卡）（卡）,流入小段与流出小段的热量差使得小段中水的温度升流入小段与流出小段的热量差使得小段中水的温度升 高，这个热量差可以根

28、据下式计算：高，这个热量差可以根据下式计算：（x s 0）c u(x,t+t)u(x,t)（卡）（卡），第38页，共52页，编辑于2022年，星期六 这样便可得：这样便可得：根据根据 Fourier 定律，有：定律，有：这个方程称为这个方程称为热传导方程热传导方程第39页，共52页，编辑于2022年，星期六 在融化而成的水域里在融化而成的水域里，水的温度，水的温度 u(x,t)服从服从 热传导热传导 方程方程：u t=a2 uxx ,x (0,s0),t (0,+).为求解这个为求解这个偏微分方程偏微分方程，还需知道，还需知道左、右边界值左、右边界值和和初值初值。在在 左边界上左边界上 水温为

29、已知函数：水温为已知函数：u(0,t)=u 1(t)0;假定水温的假定水温的 初值初值 为已知函数为已知函数：u(x,0)=u 0(x)；由于右边界端处的由于右边界端处的 热传导热传导，冰在不断融化，故水域的，冰在不断融化，故水域的 右边界是一条右边界是一条 移动边界移动边界，或称为，或称为 自由边界自由边界。这条这条 自由边界自由边界 本身也是需要求解的本身也是需要求解的 未知一元函数未知一元函数！第40页，共52页，编辑于2022年，星期六0L冰冰水水xts0 x=s(t)易知，在移动的右边界易知，在移动的右边界 s(t)上水温函数应满足：上水温函数应满足：u(s(t),t)=0 ；为了决

30、定为了决定 自由边界自由边界 的位置，还需导出边界上的位置，还需导出边界上另一个条件另一个条件。t1t2t3t4第41页，共52页，编辑于2022年，星期六 设在设在 t 时段内，移动边界向右移动了一段路程时段内，移动边界向右移动了一段路程 x ，x为了融化边界移动中消失的冰，为了融化边界移动中消失的冰，需要一份热量，其数量应是：需要一份热量，其数量应是：在在 t 时段内，从边界左边水域中传入阴影冰区域内的时段内，从边界左边水域中传入阴影冰区域内的 总热量根据总热量根据 Fourier 定律定律，应是：，应是：两者应该相等：两者应该相等：第42页，共52页，编辑于2022年，星期六 令令 t

31、0，可得：可得：于是，融化水区域上任意点处温度于是，融化水区域上任意点处温度 u(x,t)随时间随时间 t 演变的模型为：演变的模型为：xtx=s(t)0s0 偏微分方程理论研究证明了这个问题也是偏微分方程理论研究证明了这个问题也是 适定适定 的的。第43页，共52页，编辑于2022年，星期六（2）两相两相 Stefan 问题问题 如果冰区域温度不恒等于零度，该区域中也有热传导如果冰区域温度不恒等于零度，该区域中也有热传导 过程，则一相过程，则一相 Stefan 问题就变成了两相问题就变成了两相 Stefan 问题。问题。xtx=s(t)0s0L这个问题的这个问题的 适定性适定性 也已获得证明

32、也已获得证明。第44页，共52页，编辑于2022年，星期六（3）细胞体内氧气的扩散与吸收问题细胞体内氧气的扩散与吸收问题 细胞体内氧气的会向周边细胞体内氧气的会向周边 扩散扩散，在在 扩散扩散 的同时，细胞的同时，细胞 体也在体也在 吸收吸收 氧气以维持生命氧气以维持生命；如果细胞得不到氧气的；如果细胞得不到氧气的 供给将会死亡。建立一个描绘该供给将会死亡。建立一个描绘该 扩散扩散 吸收吸收 过程的数过程的数 学模型。学模型。为简单计，以下只考虑一个一维细胞体模型。为简单计，以下只考虑一个一维细胞体模型。第45页，共52页，编辑于2022年，星期六 建模假设：建模假设：（1）假定氧气在细胞体中

33、从氧气浓度大的左边）假定氧气在细胞体中从氧气浓度大的左边 扩散扩散 至至 浓度小的右边；在扩散中，浓度小的右边；在扩散中，扩散流量扩散流量 q 的大小与的大小与 左、右两点的氧气浓度左、右两点的氧气浓度 c 的差成正比；即：的差成正比；即：（2）假定任何时刻，每单位立方体的细胞体）假定任何时刻，每单位立方体的细胞体 吸收吸收 氧气氧气 的速度为一常数的速度为一常数 D；（3）某一时刻起，断绝氧气供给；缺乏氧气的细胞体）某一时刻起，断绝氧气供给；缺乏氧气的细胞体 即行死亡，即行死亡，不再参与氧气扩散过程不再参与氧气扩散过程。（k 为扩散为扩散系数系数）第46页，共52页，编辑于2022年，星期六

34、细胞体末端细胞体末端氧气氧气 考虑细胞体在位置考虑细胞体在位置 x 处、长为处、长为 x 的一段细胞上扩散的一段细胞上扩散 和吸收氧气情况。和吸收氧气情况。在在 t 时段内，时段内，经扩散进入这段细胞内的氧气数量是经扩散进入这段细胞内的氧气数量是:经扩散流出这段细胞内的氧气数量是经扩散流出这段细胞内的氧气数量是:这段细胞内氧气的变化量是：这段细胞内氧气的变化量是：这段细胞氧气的吸收量是：这段细胞氧气的吸收量是：第47页，共52页，编辑于2022年，星期六 进入量、流出量、变化量和吸收量之间应有关系：进入量、流出量、变化量和吸收量之间应有关系：根据假设（根据假设（1），），氧气扩散、吸收方程氧气

35、扩散、吸收方程 第48页，共52页，编辑于2022年，星期六0 xts0 在细胞体左端，在在细胞体左端，在 t=0 起断绝氧气输入，故有：起断绝氧气输入，故有：在细胞体右末端在细胞体右末端 x=s 处，始终有条件：处，始终有条件：随着氧气的缺乏，随着氧气的缺乏，右末端的细胞逐渐右末端的细胞逐渐死亡，故有末端的死亡，故有末端的位置随时间而变动，位置随时间而变动，形成一条形成一条 自由边界自由边界：x=s(t).第49页，共52页，编辑于2022年，星期六 氧气扩散、吸收问题氧气扩散、吸收问题：寻求未知函数对：寻求未知函数对：c(x,t)，s(t)，使得它们满足：使得它们满足：第50页，共52页，编辑于2022年，星期六 在初边至充分光滑情况下，这个问题的在初边至充分光滑情况下，这个问题的 适定性适定性 也可证明。也可证明。事实上，若该问题的充分事实上，若该问题的充分 光滑解为光滑解为 c(x,t)，令令 u(x,t)=c t(x,t),则有则有第51页，共52页，编辑于2022年，星期六0 xts0 关于关于 u(x,t),s(t)的自由边界问题，本质的自由边界问题，本质 上便化成为一个上便化成为一个 Stefan 问题了。问题了。第52页，共52页，编辑于2022年，星期六