BB对坐标曲线积分.pptx

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1、1一、一、对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的概念1.引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.第1页/共22页21)“大化大化小小”.2)“常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在第2页/共22页33)“近似近似和和”4)“取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)第3页/共22页42.定义定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意

2、分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线.称为被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限记作第4页/共22页51).1).存在条件：2).2).组合形式第5页/共22页6若 为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,第6页/共22页7二二.对坐标的曲线积分的对坐标的曲线积分的性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)用L 表示 L 的反向弧,则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

3、!第7页/共22页8三、对坐标的曲线积分的计算法三、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有思想方法：统一变量化为定积分利用变量代入法可得上式 左边右边证明：第8页/共22页9特别是,如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有第9页/共22页10例例1.计算计算其中L 为沿抛物线解法1 取 x 为参数,则解法2 取 y 为参数,则从点的一段.第10页/共22页11例例2.计算计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解:(1)取L的参数方程为(2

4、)取 L 的方程为则则第11页/共22页12例例3：计算：计算：其中L 为折线 OABO,O(0,0)A(1,0)B(1,2)解：第12页/共22页13例例4.设在力设在力场场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为第13页/共22页14例例5.求求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解:取 的参数方程第14页/共22页15四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系第15页/共22页16类似地类似地,在在空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联系上的两类曲线积分的联系是是令第16页/共22页17例例1.1.将积分化为对弧长的积分,解：其中L 沿上半圆周第17页/共22页181.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结内容小结第18页/共22页193.计算计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧第19页/共22页204.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :第20页/共22页21作业作业 P515 1 2,3;2;3第21页/共22页22感谢您的观赏！第22页/共22页