D多元复合函数求导.pptx

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1、一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则 链式法链式法则则情形 中间变量均为一元函数设则函数的导数这种导数称为全导数第1页/共30页则推广:的导数第2页/共30页例1.设 求全导数解:则 设的导数第3页/共30页情形中间变量是多元函数的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设则复合函数的偏导数第4页/共30页设 则的偏导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广:第5页/共30页例例2.设设解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 设则的偏导数第6页/共30页常采用下面记号：在多元复合函数求导中，为方便起见，第7页/共30页解注意：例3 设，其中具有二阶连续偏导数，求：.设则的偏

2、导数第8页/共30页 f 有二阶连续偏导数，第9页/共30页解例4 设，其中具有二阶连续偏导数，求：第10页/共30页例4 设求：f 有二阶连续偏导数，第11页/共30页情形 中间变量既有一元函数，又有多元函数。则函数 设zuvwxyxy第12页/共30页解：zuvwxyxy例5.设 求第13页/共30页例5 求设另解：题设函数可看作由复合而成，利用情形中的公式可得同样结果或者先式两边取对数，后求得偏导数第14页/共30页多元复合函数求导，遵循一个如下法则：设复合函数有n个中间变量这里变化率即为偏导数（或导数）（因变量对 的变化率）（对自变量 变化率）则复合函数对自变量的变化率等于m个自变量第

3、15页/共30页。例如 设，而，则再如,注意:这里表示固定 y 对x 求导,表示固定 v 对x求导与不同,第16页/共30页例6.设机动 目录 上页 下页 返回 结束 求解：第17页/共30页机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7.设求解：第18页/共30页二、多元复合函数的全微分法则(1)设则(2)设，而则可证可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,其全微分表达 形式都一样,这一性质叫做全微分形式不变性。1.全微分形式不变性第19页/共30页设 u,v 是某些自变量的多元函数，则有（C为常数）；证明(3),由全微分形式不变性，有2.全微分运算法则第20页/共30页例8.设 ，求一阶偏导数.

4、解：即第21页/共30页 设 例9.解：即求全微分。第22页/共30页习题P75763,5,6(提示),8(1)(4),9,11.第23页/共30页思考与练习思考与练习1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 求解：第24页/共30页2.设设 f 具有二阶连续偏导数,求解:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共30页3.已知求解:由两边对 x 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共30页4.求在点处可微,且设函数解:由题设(2001考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共30页解 另解 因为所以。例5 设而求全导数第28页/共30页解例8 设 f具有二阶连续导数，求第29页/共30页感谢您的观看！第30页/共30页