ch格林公式及其应用.pptx

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1、区域连通性的分类 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD第1页/共41页一、一、格林公式格林公式定理1 第2页/共41页边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边。第3页/共41页证明(1)yxoabDcdABCE第4页/共41页同理可证yxodDcCE第5页/共41页(2)D两式相加得第6页/共41页第7页/共41页GDFCEAB(3)由(2)知第8页/共41页第9页/共41页xyoL（1）简化曲线积分简单应用AB第10页/共41页第11页/共41页（2）简化二重积分xyo第12页/共41页

2、第13页/共41页（例3 计算 解 可直接化为对x的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。从到（第14页/共41页第15页/共41页解第16页/共41页xyoLyxo第17页/共41页xyo(注意格林公式的条件)第18页/共41页还可将结论更一般化（略）小结（1）L是D的边界，在D上简单，而且 易于计算时，可应用格林公式计算 OxyL1L2L3L注 此例中所作的辅助圆l是否一定要是D内的圆周（即r充分小）？第19页/共41页（2）L不封闭时，采取“补线”的方法：要求右端的二重积分及曲线积分易于计算。选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。（3）如在D上P、Q一阶偏导连续，且处处有 则 如

3、D 内除点外均有 则 第20页/共41页 其中是包围点的与同向的光滑的简单闭曲线，特别地是以为中心的圆、椭圆等（半径或长短半轴大小不限，只要内部没有别的“坏点”）例5 计算 逆时针方向。解第21页/共41页除原点外处处有 取,逆时针方向，则第22页/共41页（3）计算平面面积第23页/共41页解第24页/共41页第25页/共41页GyxoBA如果在区域G内有二、平面上曲线积分与路径无关的条件二、平面上曲线积分与路径无关的条件第26页/共41页平面上曲线积分与路径无关的等价条件具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:定理8.2.2 设 是单连通域,在 内函数(1)沿 中任意光滑闭曲线 ,有(2)

4、对 中任一分段光滑曲线 ,曲线积分与路径无关,只与起止点有关.(3)在 内是某一函数的全微分,即(4)在 内每一点都有第27页/共41页说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为 证明 (1)(2)(1)(2)设为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线则(根据条件(1)第28页/共41页证明 (2)(2)（3 3）在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点,与路径无关,有函数 第29页/共41页证明 (3)(3)（4 4）设存在函数 使得则 在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有第30页/共41页证明 (4)(4)（1 1）设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域

5、为证毕第31页/共41页说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;3)可用积分法求在域D内的原函数:第32页/共41页例7 计算其中L 为上半从 O(0,0)到 A(4,0).解 为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D,则第33页/共41页例8 验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证 设则由定理2 可知,存在函数 u(x,y)，使。第34页/共41页例9 验证在右半平面内存在原函数,并求出它.证 令则由定理 2 可知存在原函数第35页/共41页或第36页/共41页内容小结1 格林公式2 等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线L有在 D 内有设P,Q在单连通域D内具有一阶连续偏导数,则有第37页/共41页思考与练习1 设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:第38页/共41页2 设提示 第39页/共41页 备用题 1 设C C为沿从点依逆时针的半圆,计算解 添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点第40页/共41页感谢您的观看！第41页/共41页