D不定积分的定义与性质.pptx

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1、一、一、原函数与不定积分的概原函数与不定积分的概念念引例:一个质量为 m 的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据牛顿第二定律,加速度定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x)满足在区间 I 上的一个原函数.则称 F(x)为f(x)如引例中,的原函数有 第1页/共25页问题问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共25页定理定理 2.原函数都在函

2、数族(C 为任意常数)内.证:1)又知故即属于函数族机动 目录 上页 下页 返回 结束 即第3页/共25页定义定义 2.在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号;被积函数;被积表达式.积分变量;(P183)若则(C 为任意常数)C 称为积分常数不可丢!例如,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共25页不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线.第5页/共25页例例1.设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所

3、求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共25页例例2.质点在距地面质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻 t 质点所在位置为则(运动速度)(加速度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直上抛,不计阻 先由此求 再由此求第7页/共25页先求先求由知再求于是所求运动规律为由知机动 目录 上页 下页 返回 结束 故第8页/共25页二、二、基本积分表基本积分表(P186)从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k 为常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/

4、共25页或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共25页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共25页例例3.求求解:原式 =例4.求解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共25页三、不定积分的性三、不定积分的性质质推论:若则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共25页例例5.求求解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共25页例例6.求求解:原式=例7.求解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共25页例例8.求求解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共25页内容小结内容小结1.不定积分的概念 原

5、函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表(见P 186)2.直接积分法:利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共25页思考与练习思考与练习1.证明 2.若(P191题4)提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示:第18页/共25页3.若若是的原函数,则提示:已知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共25页4.若若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B?或由题意其原函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共25页5.求下列积分求下列积分:提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共25页6.求不定积分求不定积分解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共25页7.已知已知求 A,B.解:等式两边对 x 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共25页作业作业P190 1 (5),(12),(14),(20),(23),(25),(26);2;3第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共25页2023/4/13阜师院数科院感谢您的欣赏！第25页/共25页