随机变量及其概率分布1.pptx

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1、 在前面的学习中在前面的学习中,我们用字母我们用字母A A、B B、C.C.表表示事件，并视之为样本空间示事件，并视之为样本空间的子集；针对等的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。件的概率。本章，将用随机变量表示随机事件，以便本章，将用随机变量表示随机事件，以便采用高等数学的方法描述、研究随机现象。采用高等数学的方法描述、研究随机现象。随机变量及其分布Random Variable and Distribution第1页/共49页随机变量n基本思想将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果n 有些随机试验的结果可直接用数值来表示

2、.例如:在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示 例如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的可规定:用 1表示“正面朝上”用 0 表示“反面朝上”Random Variablen 有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化第2页/共49页例例 设箱中有1010个球，其中有2 2个红球，8 8个白 球；从中任意抽取2 2个,观察抽球结果。取球结果为取球结果为取球结果为取球结果为:两个白球两个白球两个白球两个白球;两个红球两个红球两个红球两个红球;一红一白一红一白一红一白一红一白 特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了 对应关系如果用如果用X表示取得的红球数，则

3、，则X X的取值可为的取值可为0 0，1 1，2 2。此时，此时，“两只红球两只红球”=“X X取到值取到值2”,2”,可记为 X=2 “一红一白一红一白”记为 XX=1=1,“两只白球两只白球”记为 XX=0=0 试验结果的数量化第3页/共49页随机变量的定义随机变量的定义 1)它是一个变量 2)它的取值随试验结果而改变 3）随机变量在某一范围内取值，表示一个 随机事件n随机变量n随机变量的两个特征:设随机试验的样本空间为，如果对于每一个样本点 ，均有唯一的实数 与之对应，称 为样本空间上的随机变量。第4页/共49页某个灯泡的使用寿命某个灯泡的使用寿命X X。某电话总机在一分钟内收到的呼叫次

4、数某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.Y.在在00，11区间上随机取点，该点的坐标区间上随机取点，该点的坐标X.X.X 的可能取值为 0,+)Y 的可能取值为 0，1，2，3，.,X 的可能取值为 0，1上的全体实数。n n例例随机变量的实例随机变量的实例第5页/共49页用随机变量表示事件用随机变量表示事件n若X X是随机试验E E的一个随机变量，S SRR，那么 XS S可表示可表示E E中的事件中的事件 如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则“出现偶数点”可表示为：X=2 X=4 X=6“出现的点数小于”可表示为：X 4或X3n E中的事件通常都可以用X的不同取值来表示.第6页/共49

5、页随机变量的类型随机变量的类型n 离散型n 非离散型随机变量的所有取值是有限个或可列个随即变量的取值有无穷多个，且不可列其中连续型随机变量是一种重要类型第7页/共49页 离散随机变量的概率分布离散随机变量的概率分布 称此式为X的分布律（列）或概率分布（Probability distribution)设离散型随机变量 的所有可能取值是 ，而取值 的概率为即第8页/共49页随机变量随机变量X X的概率分布的概率分布全面表达了全面表达了X X的所有可能取的所有可能取值以及取各个值的概率情况值以及取各个值的概率情况 p1，p2 ，p K P x1，x2，xk，X离散随机变量分布律的表格表示法n 公式

6、法n 表格法性质 第9页/共49页例 设X的分布律为求 P(0X2)P(0X2)=P（X=1）+P（X=2）=1/2+1/6=2/3分布律确定概率解 第10页/共49页=P(抽得的两件全为次品)求分布律举例求分布律举例 例例1 1 设有一批产品设有一批产品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，件次品，从中任意抽取从中任意抽取2 2件，如果用件，如果用X X表示取得的次品数，求表示取得的次品数，求随机变量随机变量X X的分布律及事件的分布律及事件“至少抽得一件次品至少抽得一件次品”的的概率。概率。解：X的可能取值为 0，1，2=P(抽得的两件全为正品)PX=1PX=2=P(只有一件为次品)P

7、X=0第11页/共49页故故 X X的分布律为的分布律为而“至少抽得一件次品”=X1=X=1X=2 PX1=PX=1+PX=2注意：X=1与X=2是互不相容的！实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了故第12页/共49页 从一批次品率为从一批次品率为p p的产品中，有放回抽样直的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X X的分布律。的分布律。解解 记记A Ai i=“第第i i次次取到正品取到正品”,i=1,2,3,i=1,2,3,则则 A Ai i,i=1,2,3,i=1,2,3,是相互独立的！是相互独立的！且且

8、X的所有可能取值为 1 1，2 2，3 3，,k,k,P(X=k)=P(X=k)=(1-(1-p)p)k-1k-1p,k=1,2,p,k=1,2,(X=k)对应着事件 例第13页/共49页设随机变量X的分布律为试确定常数b.解由分布律的性质,有例第14页/共49页几种常见的离散型分布几种常见的离散型分布n0-10-1分布分布(二点分布二点分布 )1p p P 0 1 X 则称X服从参数为p 的二点分布或(0-1)分布,背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。如：上抛一枚硬币。定义：定义：若随机变量X的分布律为:第15页/共49页例设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中

9、随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量其概率分布为即X服从两点分布。第16页/共49页 其中0 p 0,则称X服从参数为的泊松分布XP()n定义第20页/共49页服务台在某时间段内接待的服务次数服务台在某时间段内接待的服务次数X X；交换台在某时间段内接到呼叫的次数交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;Y;矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒的数目 体

10、积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。n 实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从 Poisson分布的第21页/共49页 已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从的泊松分布，分别 求（1）每分钟内恰好接到3次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次的概率例解第22页/共49页泊松定理泊松定理 实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式二项分布的泊松近似The Poisson Approximation to the Binomial Distribution第23页/共49页 某人骑摩托车上街,出事故率为0

11、.020.02，独立重复上街400400次，求出事故至少两次的概率.400400400400次上街次上街次上街次上街400400400400重重重重BernouliiBernouliiBernouliiBernoulii实验实验实验实验记记X X为出事故的次数，则为出事故的次数，则1-1-e e-8-8-8e-8e-8-8 0.99720.9972 P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)n 结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！=1-0.98=1-0.98 400400-400-400（0.02)(0.980.02)(0.98 399

12、399)0.99700.9970 泊松定理 例 解第24页/共49页若某人做某事的成功率为1%，他重复努力400次，则至少成功一次的概率为成功次数服从二项概率 有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 第25页/共49页随机变量的分布函数随机变量的分布函数 设设X X为一随机变量为一随机变量,则对任意实数则对任意实数x x，(Xx)(Xx)是一个随机事件，称是一个随机事件，称为随机变量随机变量X X的的分布函数定义域为（，）；值域为，。F(x)是一个普通的函数！Distribution Functionn分布函数的定义第26页/共49页 引进分布函数引进分布函数引进分布函数引进分布函数F(x)F

13、(x)F(x)F(x)后，事件的概率都可以后，事件的概率都可以后，事件的概率都可以后，事件的概率都可以用用用用F(x)F(x)F(x)F(x)的函数值来表示。的函数值来表示。的函数值来表示。的函数值来表示。分布函数表示事件的概率nP（Xb）=F(b)nP（aXb）=F(b)F(a)nP（Xb）=1 P（Xb）=1-F(b)P（aXb）=P(X b)-P(Xa)=F(b)-F(a)第27页/共49页已知 X 的分布律为求X的分布函数，并画出它的图形。第28页/共49页分布函数的性质分布函数的性质n F(x)是单调不减函数n 0 F(x)1,且 不可能事件必然事件n F(x)处处左连续第29页/共

14、49页分布函数 F(x)的图形nF(x)是单调不减函数第30页/共49页是不是某一随机变量的分布函数？不是 因为 函数 可作为分布函数第31页/共49页概率密度函数n 定义 设X为一随机变量，若存在非负实函数 f(x),使对任意实数 a b，有 则称X为连续型随机变量，f(x)称为X 的概率密度函数,简称概率密度或密度函数.Probability density function p.d.f.分布函数 第32页/共49页n密度函数在区间上的积分=随机变量在区间上取值的概率第33页/共49页概率密度函数的性质n非负性n规范性第34页/共49页密度函数和分布函数的关系n积分关系n导数关系第35页/

15、共49页连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续P(X=a)=0P(a X b)=P(aXb)=P(a X b)=P(aXb)X取值在某区间的概率等于密度函数在此区间上的定积分 连续型随机变量的分布函数的性质因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为0第36页/共49页解 Step1:利用密度函数的性质求出 a例：已知密度函数求概率 Step2:密度函数在区间的积分得到此区间的概率第37页/共49页例：已知分布函数求密度函数（2)X 的密度函数（2）密度函数为解 第38页/共49页解 当 x 1 时01 2 3 4 5yxx当1 5 时所以0 1 51第40页/共49页已知连续型随机变量

16、X的概率密度为（2）求 X 的分布函数第41页/共49页（2)求X 的密度函数第42页/共49页均匀分布若连续型随机变量X的概率密度为则称X在区间（a，b）上服从均匀分布记为 X U(a,b)Uniform Distributionn定义n分布函数第43页/共49页 0 a bx X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。0 a bx（）c d n意义第44页/共49页 102电车每5分钟发一班，在任一时刻 某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过2分钟的概率。设随机变量X为候车时间，则X服从（0，5）上的均匀分布解例XU（0，5）几何概型（一维）第45页/共49页设在-1，5上服从均匀分布，求方程有实根的概率。解 方程有实数根 即 而 的密度函数为 所求概率为 第46页/共49页指数分布若连续型随机变量X的概率密度为Exponential Distributionn定义n分布函数则称X服从参数为 的指数分布.第47页/共49页例设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数 及和解X的概率密度第48页/共49页感谢您的观看！第49页/共49页