一维双原子链的晶格振动.pptx

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1、第1页/共38页设设U U1 1（nana）表示平衡位置为表示平衡位置为nana的的A A原子原子 的绝对位移，的绝对位移，U U2 2（nana）表示平衡位置表示平衡位置 为（为（na+dna+d）的的B B原子的绝对位移。原子的绝对位移。仍采用简谐近似和近邻作用近似，则仍采用简谐近似和近邻作用近似，则 运动方程为运动方程为第2页/共38页m （na）2U1(na)U2(na)1U1(na)U2（(n-1）a）m (na)2 U2(na)U1(na)1U2(na)U1(n+1)a)(3-20)该方程组有该方程组有2 2N N个方程，应有个方程，应有2 2N N个解，个解，此时该晶体的总自由度

2、数也为此时该晶体的总自由度数也为2 2N N。第3页/共38页与一维单原子链比较，这里的近似条件相同，求解与一维单原子链比较，这里的近似条件相同，求解方法类似，而前者有式（方法类似，而前者有式（3 38 8）解的形式，它启发）解的形式，它启发我们作类似的试探解：我们作类似的试探解：U U1 1(na)(na)A A1 1e ei(qnai(qnat)t)U U2 2(na)(na)A A2 2e eiq(na+d)iq(na+d)tt (3-21)(3-21)将将其其代代入入方方程程（3 32020），并并消消去去公公因因子子e ei(qna-t)i(qna-t)得到得到 第4页/共38页 m

3、m2 2（1 1 2 2）AA1 1（1 1e e-iqa-iqa 2 2）e eiqdiqdA A2 20 0（1 1e eiqaiqa 2 2）e e-iqd-iqdA A1 1mm2 2（1 1 2 2）AA2 20 0 （3 32222）注意注意:该代数方程组与该代数方程组与n n无关。无关。A A1 1、A A2 2有非零有非零 解的条件是其系数行列式为零解的条件是其系数行列式为零：mm2 2 (1 1 2 2)()(1 1e e-iqa-iqa 2 2）e eiqd iqd 0 0 （1 1e eiqaiqa 2 2）e e-iqd-iqd m m2 2(1 1 2 2)解得解得第

4、5页/共38页 2 2=（1 1 2 2）/m(/m(1 12 2 2 22 2 2 21 1 2 2cosqa)cosqa)1/21/2/m/m （3 32323）即有两支即有两支 q q 的色散关系。的色散关系。当取当取“”号时，号时，记为记为 A A，称为声学支称为声学支 取取“”号时，号时，记为记为 0 0，称为光学支称为光学支第6页/共38页第7页/共38页声学支（声学支（AcousticbranchAcousticbranch）A2 2=（1 12 2）/m-(/m-(1 12 22 22 22 21 12 2cosqa)cosqa)1/21/2/m /m 它具有它具有q=0q=0

5、时，时，A A 0 0的特征。的特征。而光学支（而光学支（Optical branchOptical branch）格波格波O2 2=（1 12 2）/m+(/m+(1 12 22 22 22 21 12 2cosqa)cosqa)1/21/2/m /m 它具有它具有q q0,0,0 000的特征。的特征。第8页/共38页二、关于声学波和光学波的讨论二、关于声学波和光学波的讨论（一）格波数（一）格波数 与一维单原子链类似，可得：与一维单原子链类似，可得：/a/a q/a (3-24)q/a (3-24)q q2m/Na m2m/Na m：整数整数 (3-2(3-25)5)在第一布里渊区内，可取

6、的在第一布里渊区内，可取的q q点数为点数为第9页/共38页注意注意:这里的这里的N N为一维晶格的初基原胞数。为一维晶格的初基原胞数。每个每个q q对应两个频率（对应两个频率（A A和和 0 0），），则共有则共有2 2N N组组,q,q），），所以一维双原子链有所以一维双原子链有2 2N N个格波，或说有个格波，或说有2 2N N个简正模式个简正模式。晶体中任何一原子的。晶体中任何一原子的运动，为这运动，为这2 2N N个格波所确定的谐振动的线性叠加。这时，个格波所确定的谐振动的线性叠加。这时，晶体的总自由度数也为晶体的总自由度数也为2 2N N，推广的结论：推广的结论：第10页/共38页

7、 允许的波矢数晶体的初基原胞数允许的波矢数晶体的初基原胞数 格波总数晶体振动的总自由度数格波总数晶体振动的总自由度数 以后可以看到，此结论对三维晶体也是适用的。以后可以看到，此结论对三维晶体也是适用的。第11页/共38页(二二).).长波极限长波极限 当当|q0,q0,时时,相邻原胞间的振动相位差相邻原胞间的振动相位差qa0qa0。利用利用 cosqa 1 cosqa 1（1/21/2）（）（qaqa）2 2 （1 1x x）1/21/2 1 1(x/2)(x/2)（x x为小量）为小量）式（式（3 32 23 3）中）中 A2 2=（1 12 2）/m-(/m-(1 12 22 22 22

8、21 12 2cosqa)cosqa)1/21/2/m/m可简化为可简化为(3-28)第12页/共38页(3-29)由此可知，在长波情况下，声学支格波具有声波的由此可知，在长波情况下，声学支格波具有声波的线性色散关系：线性色散关系：A A 0 0 q,q,而且它的频率很低，可而且它的频率很低，可以用超声波来激发，故得此名。光学支格波在以用超声波来激发，故得此名。光学支格波在q q0 0的附近的附近 0 0几乎与几乎与q q无关，在无关，在q q0 0处有极大值。处有极大值。第13页/共38页 入入射射红红外外光光波波与与离离子子晶晶体体中中长长光光学学波波的的共共振振能能够够引引起起对对入入射

9、射波波的的强强烈烈吸吸收收，这这是是红红外外光光谱谱学学中中一一个个重重要要的的效效应应。因因为为长长光光学学波波的的这这种种特特点点，所所以以称称 0 0 所所对对应应的的格格波波为为光学波。光学波。现在来考察一下两种原子的振幅比。把现在来考察一下两种原子的振幅比。把 式（式（3 32323）代入（）代入（3 32 22 2）可得）可得(3-30)自推第14页/共38页正号对应声学支，负号对应光学支。当正号对应声学支，负号对应光学支。当q0q0时时 A A2 2A A1 1 声学支声学支 A A2 2A A1 1 光学支光学支在长波极限情况下，在长波极限情况下，声学格波描写原胞内原子的同相运

10、动，声学格波描写原胞内原子的同相运动，光学格波描写原胞内原子的反相运动。光学格波描写原胞内原子的反相运动。两支格波最重要的差别：两支格波最重要的差别：分别描述了原子不同的运动状态。分别描述了原子不同的运动状态。第15页/共38页45参见FD动画第16页/共38页（三）三）.q q趋近第一布里渊区边界趋近第一布里渊区边界当当q/aq/a时，时，因因 2 2 1 1，由式（由式（3 32 23 3）O2 2=（1 12 2）/m+(/m+(1 12 22 22 22 21 12 2cosqa)cosqa)1/21/2/m/m可得对于光学支格波可得对于光学支格波(3-32)第17页/共38页 对于声

11、学支格波对于声学支格波,由由(3-2(3-23)3)式A2 2=（1 12 2）/m-/m-(1 12 22 22 2 2 21 12 2cosqa)cosqa)1/21/2/m/m(3-33)即在第一布里渊区边界上，存在格波频率即在第一布里渊区边界上，存在格波频率“间隙间隙”在第一布里渊区边界上，由式（在第一布里渊区边界上，由式（3 33030）第18页/共38页可得可得对光学支对光学支 A A2 2A A1 1 当当d da,Aa,A2 2A A1 1 对声学支对声学支 A A2 2A A1 1 当当d da,Aa,A2 2AA1 1 由于由于q/aq/a，相邻原胞运动的相位差相邻原胞运动

12、的相位差 qaqa。声学支格波仍描述原胞内原子的同相整体运动声学支格波仍描述原胞内原子的同相整体运动光学支格波仍描述原胞内原子的反相运动。光学支格波仍描述原胞内原子的反相运动。第19页/共38页第20页/共38页三三 、三维晶格振动、三维晶格振动 设设实实际际三三维维晶晶体体沿沿基基矢矢a a1 1、a a2 2、a a3 3方方向向的的初初基基原原胞胞数数分分别别为为N N1 1、N N2 2、N N3 3，即即晶晶体体由由N NN N1 1 N N2 2 N N3 3初基原胞组成，每个初基原胞内含初基原胞组成，每个初基原胞内含s s个原子。个原子。1.1.原子振动方向原子振动方向 一维情况

13、下，波矢一维情况下，波矢q q和原子振动方向相同，所以只有纵波。和原子振动方向相同，所以只有纵波。三维情况下，有纵波也有横波。三维情况下，有纵波也有横波。第21页/共38页2.2.格波支数格波支数 原原则则上上讲讲，每每支支格格波波都都描描述述了了晶晶格格中中原原子子振振动动的的一一类类运运动动形形式式。初初基基原原胞胞有有多多少少个个自自由由度度，晶晶格格原原子子振振动动就就有有多多少少种种可可能能的的运运动动形形式式，就就需需要要多多少少支支格格波波来来描描述。述。一维一维单单原子链：仅存在原子链：仅存在一支格波一支格波，且为，且为声学格波声学格波。一维一维双双原子链：存在原子链：存在两支

14、格波两支格波声学波和光学波声学波和光学波。第22页/共38页 定性地说，初基原胞定性地说，初基原胞质心的运动质心的运动主要主要由由声学格波代表声学格波代表，初基原胞内，初基原胞内两原子两原子的相对运动的相对运动主要由主要由光学格波代表光学格波代表 一一维维S S原原子子链链：存存在在S S支支格格波波其中其中一支声学波一支声学波，S S1 1支光学波支光学波。第23页/共38页 三维三维晶体：原胞的晶体：原胞的总自由度数为总自由度数为3 3S S,则晶体中则晶体中原子振动可能存在的运动形原子振动可能存在的运动形式就有式就有3 3S S种，用种，用3 3S S支格波来描述支格波来描述。其。其中在

15、三维空间中在三维空间定性地描述原胞质心运定性地描述原胞质心运动的格波应有动的格波应有3 3支支，也就是说，也就是说应有应有3 3支支声学格波声学格波，其余，其余3 3（S-1S-1）支则为光学支则为光学格波格波。例如硅晶体属于金刚石结构，。例如硅晶体属于金刚石结构，每个初基原胞含两个原子，即每个初基原胞含两个原子，即S=2,S=2,它有它有3 3支声学格波和支声学格波和3 3支光学格波。支光学格波。第24页/共38页3.3.格波个数格波个数 三三维维晶晶格格：3 3S S支支格格波波，一一个个q q对对应应3 3S S个个 值值，即即对对应应3 3S S个个格格波波，允允许许的的q q取取值值

16、数数仍仍为为初初基基原原胞胞数数N N，则则共共有有3 3NSNS组组（i i,q,q）数数组组，晶晶体体中中有有3 3NSNS个个格格波波。格波数晶格的总自由度数格波数晶格的总自由度数3 3NSNS 晶格振动理论中的普适结论。晶格振动理论中的普适结论。晶晶体体中中任任何何一一原原子子的的实实际际运运动动是是这这3 3NSNS个个格格波波所所确定的谐振动的线性叠加。确定的谐振动的线性叠加。第25页/共38页4 4波矢取值波矢取值一维一维：/a/a q/a q/a v 在在第第一一布布里里渊渊区区内内,q q点点的的分分布布均均匀匀,每每个个q q 点点的的“体体 积积”为为2 2(a)(a)b

17、/N;b/N;v在第一布里渊区内在第一布里渊区内q q可取可取N N个值；个值；m m为整数为整数三三维维：q q仍仍在在第第一一布布里里渊渊区区内内取取值值，共共有有N N个个值值（初初基基原胞数）原胞数）第26页/共38页(3-42)其中其中L L1 1、L L2 2、L L3 30 0，1,2 1,2 ，b b1 1、b b2 2、b b3 3是是倒格子基矢，倒格子基矢，N N1 1，N N2 2，N N3 3是是a a1 1,a,a2 2,a,a3 3方向的初基原方向的初基原胞数。胞数。第27页/共38页每一组整数（每一组整数（L L1 1,L,L2 2,L,L3 3 ）对应一个波矢量

18、对应一个波矢量q q。将这将这些波矢在倒空间逐点表示出来，它们仍是均匀分些波矢在倒空间逐点表示出来，它们仍是均匀分布的。每个点所占的布的。每个点所占的“体积体积”等于等于“边长边长”为为(b b1 1/N/N1 1)、（b b2 2/N/N2 2）、）、(b b3 3/N/N3 3)的平行六面体的的平行六面体的“体积体积”，它，它等等于：于：（343）第28页/共38页式中式中*是倒格子是倒格子初基原胞的的“体积体积”，也就是第，也就是第一布里渊区的一布里渊区的“体积体积”，而，而*（22）3 3/，所以每个波矢所以每个波矢q q在倒空间所占的在倒空间所占的“体积体积”为为：(3-44)其中其

19、中V=NV=N为晶体体积为晶体体积。第29页/共38页在倒空间，波矢在倒空间，波矢q q的密度为的密度为(3-45)第30页/共38页（四）格波的态密度函数（四）格波的态密度函数 格格波波的的态态密密度度函函数数g(g()，又又称称为为模模式式密密度度，其其定定义义为为:对对给给定定体体积积的的样样品品，在在 附附近近单单位位频频率率间间隔隔内内的的格格波总数波总数。对对于于第第i i支支格格波波，在在频频率率 到到 d d 之之间间的的格格波波数数，就就等等于于在在q q空空间间频频率率为为 到到 d d 这两个等频率面之间所包含的这两个等频率面之间所包含的q q点数，即点数，即第31页/共

20、38页(3-46)其中其中d d q q为倒空间体积元。为倒空间体积元。第32页/共38页第33页/共38页 其中其中dSdS 是等频率面上的面元，是等频率面上的面元，dqdqn n是是dqdq在等频率面法线方向上的分量。因此对于在等频率面法线方向上的分量。因此对于一支格波一支格波第34页/共38页 由梯度的意义，由梯度的意义，d d 可表示成可表示成 d=d=q q(q)dq(q)dqn n(3-47)积分已变换到等频率面上了。积分已变换到等频率面上了。第35页/共38页 考虑到三维晶体中共有考虑到三维晶体中共有3 3S S支格波，则格支格波，则格波态密度函数为波态密度函数为(3-48)第36页/共38页作业：1，2，3 思考题：思考题：1.1.二维单原子阵列有几支声学支二维单原子阵列有几支声学支格波？格波？2.2.声学格波是否就是声波？声学格波是否就是声波？第37页/共38页谢谢您的观看！第38页/共38页