数值分析 非线性方程组的数值方法幻灯片.ppt

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1、数值分析 非线性方程组的数值方法第1页，共62页，编辑于2022年，星期六非线性方程组解的复杂性非线性方程组解的复杂性第2页，共62页，编辑于2022年，星期六clear,clfx1=-2:.2:2;y2=-2:.2:2;y1=f1(x1);x2=f2(y2);plot(x1,y1,r:,x2,y2,b)xlabel(x),ylabel(y)(3)a=0(4)a=-1(1)a=1(2)a=1/4第3页，共62页，编辑于2022年，星期六几类典型非线性问题几类典型非线性问题第4页，共62页，编辑于2022年，星期六第5页，共62页，编辑于2022年，星期六例：半线性椭圆型边值问题例：半线性椭圆型

2、边值问题解解:(1)剖分求解域剖分求解域.YN+1N:2100 1 2 .N N+1 X第6页，共62页，编辑于2022年，星期六(2)对微分算子进行离散对微分算子进行离散.在每个点在每个点(xi,yj)上的有限差分方程为上的有限差分方程为在边界上在边界上第7页，共62页，编辑于2022年，星期六对非边界点进行编号对非边界点进行编号:顺序为顺序为-从下往上从下往上,从左往右从左往右相应的解向量和右端向量分别为相应的解向量和右端向量分别为 第8页，共62页，编辑于2022年，星期六第9页，共62页，编辑于2022年，星期六 多元向量值函数的导数多元向量值函数的导数第10页，共62页，编辑于202

3、2年，星期六第11页，共62页，编辑于2022年，星期六第12页，共62页，编辑于2022年，星期六 多元向量值函数的导数多元向量值函数的导数第13页，共62页，编辑于2022年，星期六第14页，共62页，编辑于2022年，星期六第15页，共62页，编辑于2022年，星期六多元实函数的高阶导数多元实函数的高阶导数第16页，共62页，编辑于2022年，星期六 研究非线性方程组解的存在唯一性问题可转化研究非线性方程组解的存在唯一性问题可转化为研究不动点的存在唯一性。为研究不动点的存在唯一性。二、简单迭代法及其收敛性二、简单迭代法及其收敛性第17页，共62页，编辑于2022年，星期六第18页，共62

4、页，编辑于2022年，星期六证明：证明：则对正整数则对正整数p p有有第19页，共62页，编辑于2022年，星期六第20页，共62页，编辑于2022年，星期六第21页，共62页，编辑于2022年，星期六第22页，共62页，编辑于2022年，星期六第23页，共62页，编辑于2022年，星期六第24页，共62页，编辑于2022年，星期六第25页，共62页，编辑于2022年，星期六第26页，共62页，编辑于2022年，星期六第27页，共62页，编辑于2022年，星期六第28页，共62页，编辑于2022年，星期六局部收敛性原理局部收敛性原理原理的局限性：原理的局限性：（1）收敛域）收敛域 很难找很难找

5、（2）对非线性问题这是一个充分性原理，不是充分）对非线性问题这是一个充分性原理，不是充分必要的，只有对线性问题，才是充分必要条件必要的，只有对线性问题，才是充分必要条件.如：如：第29页，共62页，编辑于2022年，星期六第30页，共62页，编辑于2022年，星期六P=1，C1为线性收敛，为线性收敛，P=2为平方收敛。为平方收敛。收敛速度收敛速度第31页，共62页，编辑于2022年，星期六 第四节第四节 非线性方程组的非线性方程组的NewtonNewton型算法型算法一、一、Newton-RaphsonNewton-Raphson方法的迭代格式方法的迭代格式第32页，共62页，编辑于2022年

6、，星期六第33页，共62页，编辑于2022年，星期六第34页，共62页，编辑于2022年，星期六第35页，共62页，编辑于2022年，星期六第36页，共62页，编辑于2022年，星期六二、同伦算法二、同伦算法第37页，共62页，编辑于2022年，星期六第38页，共62页，编辑于2022年，星期六第39页，共62页，编辑于2022年，星期六第40页，共62页，编辑于2022年，星期六第41页，共62页，编辑于2022年，星期六第42页，共62页，编辑于2022年，星期六 求解非线性方程组的同伦算法求解非线性方程组的同伦算法%文件名：文件名：Homotopy.mfunction root=Homo

7、topy(funcF,funcH,x,N,tol,Nmax)%功能功能:求解非线性方程组的同伦算法求解非线性方程组的同伦算法%输入输入:%funcF-原始方程函数句柄原始方程函数句柄%funcH-同伦方程函数句柄同伦方程函数句柄%x -初始迭代点初始迭代点%N(可选可选)-同伦参数同伦参数t的划分数（默认是的划分数（默认是10）%tol(可选可选)-精度要求（默认是精度要求（默认是1e-4）%Nmax(可选可选)-最大迭代次数（默认最大迭代次数（默认100次）次）%输出输出:%root-解向量解向量 第43页，共62页，编辑于2022年，星期六 if size(x,1)=1;x=x;end i

8、f nargin6;Nmax=100;endif nargin5|isempty(tol);tol=1e-4;endif nargintol&norm(f0)tol)&ktol&kN x1=x+dx;s=dx;f1=feval(myfun,x1);y=f1-f0;B1=B0+(y-B0*s)*s/(s*s);B0=B1;f0=f1;x=x1;dx=B0(-f0);k=k+1;endroot=x;if k=N,warning(已达最大迭代次数已达最大迭代次数);endfprintf(迭代次数为迭代次数为:k=%dn,k);第51页，共62页，编辑于2022年，星期六例例 用用Broyden秩秩1

9、拟牛顿法求解如下非线性方程组拟牛顿法求解如下非线性方程组在（在（1.5，0.75）附近的解）附近的解首先定义方程函数首先定义方程函数function y=fex8_5(x)y(1)=x(1)+2*x(2)-3;y(2)=2*x(1)2+x(2)2-5;y=y;然后运行以下主程序然后运行以下主程序x0=1.5,0.75;root=QuasiNewton(fex8_5,x0)迭代次数迭代次数:k=1root=1.4881 0.7560 第52页，共62页，编辑于2022年，星期六第五节第五节 无约束优化算法无约束优化算法第53页，共62页，编辑于2022年，星期六第54页，共62页，编辑于2022年，星期六一、高斯一、高斯-牛顿法牛顿法第55页，共62页，编辑于2022年，星期六构造模函数构造模函数 第56页，共62页，编辑于2022年，星期六第57页，共62页，编辑于2022年，星期六第58页，共62页，编辑于2022年，星期六二、搜索法二、搜索法第59页，共62页，编辑于2022年，星期六第60页，共62页，编辑于2022年，星期六第61页，共62页，编辑于2022年，星期六习题八习题八 P322-8数值实验题八数值实验题八 P322-9第62页，共62页，编辑于2022年，星期六