MATLAB实验四求微分方程的解.pptx

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1、q 自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。q 由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程。然而能够求得解析解的微分方程十分有限，绝大多数微分方程需要利用数值方法来近似求解。q 本实验主要研究如何用 Matlab 来计算微分方程（组）的数值解，并重点介绍一个求解微分方程的基本数值解法Euler折线法。问题背景和实验目的第1页/共24页q 考虑一维经典初值问题u 基本思想：用差商代替微

2、商根据 Talyor 公式，y(x)在点 xk 处有Euler 折线法第2页/共24页初值问题的Euler折线法q 具体步骤：等距剖分：步长：u 分割求解区间u 差商代替微商得方程组：分割求解区间，差商代替微商，解代数方程 为分割点k=0,1,2,.,n-1yk 是 y(xk)的近似第3页/共24页Euler 折线法举例例：用 Euler 法解初值问题取步长 h=(2-0)/n=2/n，得差分方程当，即 n=5 时，Matlab 源程序见 解：第4页/共24页Euler 折线法源程序clearf=sym(y+2*x/y2);a=0;b=2;h=0.4;n=(b-a)/h+1;%n=(b-a)/

3、h;x=0;y=1;szj=x,y;for i=1:n-1%i=1:n y=y+h*subs(f,x,y,x,y);x=x+h;szj=szj;x,y;endszjplot(szj(:,1),szj(:,2),or-)第5页/共24页 Euler折线法举例（续）解析解：解析解近似解y=1/3*(-18-54*x+45*exp(3*x)(1/3)第6页/共24页Runge-Kutta 方法q 为了减小误差，可采用以下方法：u 让步长 h 取得更小一些；u 改用具有较高精度的数值方法：q 龙格-库塔方法Runge-Kutta(龙格-库塔)方法u 是一类求解常微分方程的数值方法u 有多种不同的迭代格

4、式第7页/共24页Runge-Kutta 方法q 用得较多的是 四阶R-K方法（教材第 98 页）其中第8页/共24页四阶 R-K 方法源程序clear;f=sym(y+2*x/y2);a=0;b=2;h=0.4;n=(b-a)/h+1;%n=(b-a)/h;x=0;y=1;szj=x,y;for i=1:n-1%i=1:n l1=subs(f,x,y,x,y);l2=subs(f,x,y,x+h/2,y+l1*h/2);l3=subs(f,x,y,x+h/2,y+l2*h/2);l4=subs(f,x,y,x+h,y+l3*h);y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;x=x+h

5、;szj=szj;x,y;endplot(szj(:,1),szj(:,2),dg-)第9页/共24页Runge-Kutta 方法第10页/共24页Euler 法与 R-K法误差比较第11页/共24页Matlab 解初值问题q 用 Maltab自带函数 解初值问题u 求解析解：dsolveu 求数值解：ode45、ode23、ode113、ode23t、ode15s、ode23s、ode23tb第12页/共24页dsolve 求解析解q dsolve 的使用y=dsolve(eq1,eq2,.,cond1,cond2,.,v)其中 y 为输出，eq1、eq2、.为微分方程，cond1、cond

6、2、.为初值条件，v 为自变量。例 1：求微分方程 的通解，并验证。y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x)syms x;diff(y)+2*x*y-x*exp(-x2)第13页/共24页dsolve 的使用q 几点说明l 如果省略初值条件，则表示求通解；l 如果省略自变量，则默认自变量为 t dsolve(Dy=2*x,x);dy/dx=2xdsolve(Dy=2*x);dy/dt=2xl 若找不到解析解，则返回其积分形式。l 微分方程中用 D 表示对 自变量 的导数，如：Dy y；D2y y；D3y y第14页/共24页dsolve 举例例 2：求微分方程 在初值条件

7、 下的特解，并画出解函数的图形。y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1),x)ezplot(y);第15页/共24页dsolve 举例例3：求微分方程组 在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形。x,y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0,.x(0)=1,y(0)=0,t)ezplot(x,y,0,1.3);注：解微分方程组时，如果所给的输出个数与方程个数相同，则方程组的解按词典顺序输出；如果只给一个输出，则输出的是一个包含解的结构（structure）类型的数据。第16页/共24页v dsolve 举例举例例：x,y=dso

8、lve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0,.x(0)=1,y(0)=1,t)r=dsolve(Dx+5*x=0,Dy-3*y=0,.x(0)=1,y(0)=1,t)这里返回的 r 是一个 结构类型 的数据r.x%查看解函数 x(t)r.y%查看解函数 y(t)只有很少一部分微分方程（组）能求出解析解。大部分微分方程（组）只能利用数值方法求数值解。dsolve的输出个数只能为一个 或 与方程个数相等。第17页/共24页Matlab函数数值求解T,Y=solver(odefun,tspan,y0)其中 y0 为初值条件，tspan为求解区间；Matlab在数值求解时自动对求解区间进行分割，T(列

9、向量)中返回的是分割点的值(自变量)，Y(数组)中返回的是这些分割点上的近似解，其列数等于因变量的个数。solver 为Matlab的ODE求解器（可以是 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb）没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，因此MATLAB 提供了多种ODE求解器，对于不同的ODE，可以调用不同的求解器。第18页/共24页Matlab提供的ODE求解器求解器求解器 ODE类型类型特点特点说明说明ode45非刚性非刚性单步法；单步法；4，5 阶阶 R-K 方法；方法；累计截断误差为累计截断误差为(x)3大部分场合的大部分

10、场合的首选方法首选方法ode23非刚性非刚性单步法；单步法；2，3 阶阶 R-K 方法；方法；累计截断误差为累计截断误差为(x)3使用于精度较低的情形使用于精度较低的情形ode113非刚性非刚性多步法；多步法；Adams算法；高低精算法；高低精度均可到度均可到 10-310-6计算时间比计算时间比 ode45 短短ode23t适度刚性适度刚性 采用梯形算法采用梯形算法适度刚性情形适度刚性情形ode15s刚性刚性多步法；多步法；Gears 反向数值微反向数值微分；精度中等分；精度中等若若 ode45 失效时，可失效时，可尝试使用尝试使用ode23s刚性刚性单步法；单步法；2 阶阶Rosebroc

11、k 算算法；低精度法；低精度当精度较低时，计算时当精度较低时，计算时间比间比 ode15s 短短ode23tb刚性刚性梯形算法；低精度梯形算法；低精度当精度较低时，计算时当精度较低时，计算时间比间比ode15s短短第19页/共24页参数说明odefun 为显式常微分方程，可以用命令 inline 定义，或在函数文件中定义，然后通过函数句柄调用。fun=inline(-2*y+2*x2+2*x,x,y);x,y=ode23(fun,0,0.5,1);注：也可以在 tspan 中指定对求解区间的分割，如：x,y=ode23(fun,0:0.1:0.5,1);%此时 x=0:0.1:0.5T,Y=s

12、olver(odefun,tspan,y0)求初值问题 的数值解，求解范围为 0,0.5例：第20页/共24页数值求解举例如果需求解的问题是高阶常微分方程，则需将其化为一阶常微分方程组，此时必须用函数文件来定义该常微分方程组。令 ，则原方程可化为 求解 Ver der Pol 初值问题例：第21页/共24页数值求解举例l 先编写函数文件 function xprime=verderpol(t,x)global mu;xprime=x(2);mu*(1-x(1)2)*x(2)-x(1);l 再编写脚本文件，在命令窗口直接运行该文件。clear;global mu;mu=7;y0=1;0;t,x=ode45(verderpol,0,40,y0);plot(t,x(:,1),r-,t,x(:,2),b-);第22页/共24页Matlab 求解微分方程小结q Matlab 函数u 求解析解（通解或特解），用 dsolveu 求数值解（特解），用 ode45、ode23.q Matlab 编程u Euler 折线法u Runga-Kutta 方法第23页/共24页感谢您的观看！第24页/共24页