数学建模数学规划模型幻灯片.ppt

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1、数学建模数学规划模型第1页，共57页，编辑于2022年，星期六数学规划模型的一般表达式：为目标函数,为约束函数，为约束函数，为可控变量，为已知参数，为随机参数。数学规划分为线性规划、非线性规划、动态规划、随机规划、整数规划、分式规划、几何规划、目标规划、平衡规划、参数规划、多目标规划等十几种。当然这么多规划其中亦有交叉。又可经过组产生新的规划，每一种规划有专著问世。第2页，共57页，编辑于2022年，星期六第一节线性规划模型（1）目标函数是决策变量的线性函数。（2）约束条件都是决策变量的线性等式或不等式。第3页，共57页，编辑于2022年，星期六MATLAB命令命令输入格式及线性规划模型如下：

2、其中：x0是算法迭代的初始点；nEq表示等式约束的个数。第4页，共57页，编辑于2022年，星期六三、建模举例营养配餐问题每种蔬菜含有的营养素成份是不同的，从医学上知道，每人每周对每种营养成分的最低需求量。某医院营养室在制定下一周菜单时，需要确定表6-1中所列六种蔬菜的供应量，以便使费用最小而又能满足营养素等其它方面的要求。规定白菜的供应一周内不多于20千克，其它蔬菜的供应在一周内不多于40千克，每周共需供应140千克蔬菜，为了使费用最小又满足营养素等其它方面的要求，问在下一周内应当供应每种蔬菜各多少千克？第5页，共57页，编辑于2022年，星期六表2-3第6页，共57页，编辑于2022年，星

3、期六问题分析与模型建立设分别表示下一周内应当供应的青豆、胡萝卜、菜花、白菜、甜菜及土豆的量，费用目标函数为：约束条件：铁的需求量至少6个单位数：磷的需求量至少25个单位数：第7页，共57页，编辑于2022年，星期六维生素A的需求量至少17500个单位：维生素C的需求量至少245个单位：烟酸的需求量至少5个单位数：每周需供应140千克蔬菜，即第8页，共57页，编辑于2022年，星期六0 x1400 x2400 x3400 x4200 x5400 x640第9页，共57页，编辑于2022年，星期六问题是满足营养素要求的条件下，所需费用最小，是一个线性规划模型。利用Matlab软件编程序：%营养配餐

4、ch21%文件名：ch21mc=5;5;8;2;6;3;A=(-1)*1,1,1,1,1,1;0.45,0.45,1.05,0.40,0.50,0.50;10,28,59,25,22,75;415,9065,2550,75,15,235;第10页，共57页，编辑于2022年，星期六8,3,53,27,5,8;0.30,0.35,0.60,0.15,0.25,0.80;b=(-1)*140;6;25;17500;245;5;xLB=zeros(6,1);xUB=40;40;40;20;40;40;nEq=1;x0=0*ones(6,1);x=lp(c,A,b,xLB,xUB,x0,nEq);di

5、sp(青豆需要的份数)x(1)第11页，共57页，编辑于2022年，星期六disp(胡罗卜需要的份数)x(2)disp(菜花需要的份数)x(3)disp(白菜需要的份数)x(4)disp(甜菜需要的份数)x(5)disp(土豆需要的份数)x(6)第12页，共57页，编辑于2022年，星期六执行后输出青豆需要的份数ans=40胡罗卜需要的份数ans=40.0000菜花需要的份数ans=0第13页，共57页，编辑于2022年，星期六白菜需要的份数ans=20.0000甜菜需要的份数ans=0土豆需要的份数ans=40最小费用ans=560.0000第14页，共57页，编辑于2022年，星期六背景：

6、0-1规划是数学规划的组成部分，起始20世纪30年代末，七八十年代是数学规划飞速发展时期，无论是从理论上还是算法方面都得到了进一步完善。时至今日数学规划仍然是运筹学领域中热点研究问题，从国内外的数学建模竞赛的试题中看，有近1/2的问题可用数学规划进行求解。其中利用0-1规划及0-1型变量的数学建模问题也为数不少，如98年的投资的收益和风险，2004年的DVD在线租赁等问题，下面我们就来学习0-1规划,0-1型变量在数学建模中的应用。第15页，共57页，编辑于2022年，星期六2.20-1规划,0-1型变量在数学建模中的应用1、0-1规划规划数学规划模型的一般表达式：整数规划中决策变量只取0或1

7、的特殊情况是0-1规划。下面通过几个例子说明0-1规划在实际问题中的应用。例例2.1 背包问题背包问题有几件物品，编号为1，2，n。第件重为kg，价值为元。今有一位装包者欲将这些物品装入一包，其质量不能超过kg，问应装入哪几件价值最大？第16页，共57页，编辑于2022年，星期六解解引入变量，将物品装包，不将物品装包于是得问题的模型为取0或1，i=1，2，n背包问题看似简单，但应用很广，例如某些投资问题即可归入背包问题模型。此类问题可以描述为：第17页，共57页，编辑于2022年，星期六投资问题：投资问题：设有总额为元的资金，投资几项事业，第项事业需投资元，利润为元，问应选择哪些项投资总利润为

8、最大？例例2.2某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为，相应的钻探费用为，并且井位选择要满足下列限制条件：（1）或选和，或选；（2）选择了或就不能选，反之亦然；（3）在中最多只能选两个。试建立其数学模型：第18页，共57页，编辑于2022年，星期六解解引入变量选择不选择于是以上问题的数学模型为：第19页，共57页，编辑于2022年，星期六投资的收益和风险这是1998年全国大学生数学建模竞赛的A题问题如下：市场上有n种资产（股票、债券、）Si（i=1，n）供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时间的投资。公司财务分析

9、人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si有平均收益率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若第20页，共57页，编辑于2022年，星期六干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是r0，且既无交易费又无风险（r0=5%）。（1）已知n=4时的相关数据如下：第21页，共57页，编辑于2022年，星期六试给该公司设计一种投资组合方案即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存

10、银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。（2）试就一般情况对以上问题进行讨论，利用以下数据进行计算。第22页，共57页，编辑于2022年，星期六在AD边等距地设置7个波源Ri（i=1，7），BC边对等地安放7个接收器S j（j=1，7），记录由Ri发出的弹性波到达Sj的时间ij秒），见表2-3。第23页，共57页，编辑于2022年，星期六2、0-1型变量在数学建模中的应用型变量在数学建模中的应用1、空洞探测问题、空洞探测问题1.1 问题的提出问题的提出这是2000年全国大学生数学建模竞赛的D题。山体、隧洞、坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。一个简化问题可描述为，一块均匀介质构成

11、的矩形平板内有一些充满空气的空洞，在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源，在它们的对边对等地安放同样多的接收器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间，根据弹性波在介质中和空气中不同的传播速度，来确定板内空洞的位置。现考察如下的具体问题：第24页，共57页，编辑于2022年，星期六一块240（米）240（米）的平板（如图21）在AB边等距地设置7个波源Pi（i=1，7），CD边对等地安放7个接收器Q j（j=1，7），记录由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij（秒），第25页，共57页，编辑于2022年，星期六见表2-2；第26页，共57页，编辑于2022年，星期六在AD边等距地设置7

12、个波源Ri（i=1，7），BC边对等地安放7个接收器S j（j=1，7），记录由Ri发出的弹性波到达Sj的时间ij秒），见表2-3。第27页，共57页，编辑于2022年，星期六已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880（米/秒）和320（米/秒），且弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。1）确定该平板内空洞的位置。2）只根据由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij（i，j=1，7），能确定空洞的位置吗？讨论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法。1.2模型的假设及符号说明（1）模型的假设波源和接收器的设置仅按图中的设置来考虑，不考虑其它情况。在图中的一个小方格要

13、么全是空气，要么全。第28页，共57页，编辑于2022年，星期六是介质。（2）符号说明符号说明n+1：x轴方向等距地放置波源Pi（i=17）的个数，相应地n是x轴方向的方格数（已知的n=6）；m+1：y轴方向等距地放置波源Ri（i=17）的个 数，相应地m是y轴方向的方格数（已知的 m=6）；d1：x轴方向方格的边长（已知的，d1=40米）；d2：y轴方向方格的边长（已知的，d2=40米）；tij（i=06；j=06）：由波源Pi发生的弹性波到达 接收器Qj的时间；第29页，共57页，编辑于2022年，星期六pij（i=06；j=06）：波线PiQj经历的介质的总长度；qij（i=06；j=0

14、6）：波线PiQj经历的空洞的总长度；v1：弹性波在介质中的传播速度（已知的v1=2880米/秒）；v2：弹性波在空气中的传播速度（已知的v2=320米/秒）；第30页，共57页，编辑于2022年，星期六1.3问题的分析及数学模型问题的分析及数学模型（1）问题的分析这是一个反问题，不妨先看它正问题。已知空洞的位置及弹性波在介质和空气中的传播速度，求由波源Pi发出的弹性波到达接收器Qj的时间tij，为了求出tij，可先算出波线PiQj经历的每个小方格的长度，根据该方格是介质还是空洞，分别除以波在介质和空气中的传播速度，对经历的所有方格求和，即得tij。上述的正问题等价于：算出波线PiQj经历的各

15、个小方格的长度，根据该方格是介质还是空洞，分别乘以0和1，对经历的所有方格求和，即可得到波线PiQj经历的空洞的长度。第31页，共57页，编辑于2022年，星期六反问题可以这样求解：先由波源Pi发出的弹性波到达接收器Qj的时间tij及弹性波在介质和空气中的传播速度，算出波线PiQj经历的空洞的总长度，再由PiQj经历的每个方格的长度，即可解出每个方格是介质还是空洞（即是0还是1）。（2）数学建模）数学建模建立坐标系如图2-2，X、Y轴上分别等距地放置n+1，m+1个波源（本题n=m=6），将平板划分为个方格，则1）波线PiQj经历的介质的总长度pij和空洞的总长度qij满足下面两个式子：第32

16、页，共57页，编辑于2022年，星期六126781231323634513（如图22）第33页，共57页，编辑于2022年，星期六2）波线PiQj的方程为(3）直线方程(3)与的交点可算出,从而求得PiQj经历的每个方格长度。3）将个方格如图示顺序排列，第i个方格的特征量记为(4）全体方格的特征向量记为。第34页，共57页，编辑于2022年，星期六4）由AB至CD的波线PiQj共条，其中n+1条PiQj是无用的，去掉无用波线后n(n+1）条波线PiQj的顺序按，；,；排列，每条波线经历的各个方格的长度排成一行向量，于是得到条波线经历mn个方格的长度矩阵5）将1）得到的波线PiQj经历空洞的总长

17、度qij，按照4）中波线的顺序构成空洞长度（列）向量，则应有（5）第35页，共57页，编辑于2022年，星期六6）完全类似地处理波线RkSl，得到m（m+1）条波线经历mn个方格的长度矩阵和空洞长度（列）向量，构造,则（6）当Rank(A)=mn时可求出该方程最小二乘意义下的解（7）第36页，共57页，编辑于2022年，星期六7）取适当的（8）取的小方格为介质，小方格为空洞，其余的（如果有的话）无法确定。2.3.4模型求解模型求解%空洞探测ch23.m%文件名：ch23.m%计算PiQj在每个格子中的线段长度。clearn=1;第37页，共57页，编辑于2022年，星期六fori=0:6for

18、j=0:6ai=i;aj=j;ifi=jaj=j+1;ifaj=7break;endendChudian=ai,0;Modian=aj,6;Dianwei=ai,0;pp=;form=1:6第38页，共57页，编辑于2022年，星期六x=Chudian(1)+(Modian(1)-Chudian(1)*(m-Chudian(2)/.(Modian(2)-Chudian(2);Dianwei=Dianwei;x,m;endifajaip=aj;aj=ai;ai=p;endifabs(aj-ai)=2fork=(aj+1):(ai-1)y=Chudian(2)+(Modian(2)-Chudian

19、(2)*(k-Chudian(1)/.(Modian(1)-Chudian(1);pp=pp;k,y;endend第39页，共57页，编辑于2022年，星期六Jiaodian=Dianwei;pp;hang,lie=size(Jiaodian);aa=Jiaodian(:,1);bb=unique(aa);hang1,lie1=size(bb);Zuobiao=;forii=1:hang1forjj=1:hangifJiaodian(jj,1)=bb(ii)Zuobiao(ii,:)=Jiaodian(jj,:);break;end;end;end;forpp=1:hang1-1d=sqrt(

20、sum(Zuobiao(pp,:)-Zuobiao(pp+1,:).2);ifj=2ifdistance_PQ(n,:)=distance_PQ(n-1,:);distance_PQ(n,:)=;elsen=n+1;endelsen=n+1;endendend第42页，共57页，编辑于2022年，星期六%计算矩阵A1的秩A1=distance_PQ;disp(矩阵A1的秩)rank(A1)%计算RiSj在每个格子中的线段长度。n=1;fori=0:6forj=0:6ai=i;aj=j;ifi=jaj=j+1;ifaj=7break;end第43页，共57页，编辑于2022年，星期六endChu

21、dian=0,ai;Modian=6,aj;Dianwei=0,ai;pp=;form=1:6y=Chudian(2)+(Modian(2)-Chudian(2)*(m-Chudian(1)/.(Modian(1)-Chudian(1);Dianwei=Dianwei;m,y;endifajaip=aj;aj=ai;ai=p;endifabs(aj-ai)=2第44页，共57页，编辑于2022年，星期六fork=(aj+1):(ai-1)x=Chudian(1)+(Modian(1)-Chudian(1)*(k-Chudian(2)/.(Modian(2)-Chudian(2);pp=pp;x

22、,k;endendJiaodian=Dianwei;pp;hang,lie=size(Jiaodian);aa=Jiaodian(:,2);bb=unique(aa);hang1,lie1=size(bb);Zuobiao=;forii=1:hang1forjj=1:hangifJiaodian(jj,2)=bb(ii)第45页，共57页，编辑于2022年，星期六Zuobiao(ii,:)=Jiaodian(jj,:);break;end;end;end;forpp=1:hang1-1d=sqrt(sum(Zuobiao(pp,:)-Zuobiao(pp+1,:).2);ifj=2ifdist

23、ance_RS(n,:)=distance_RS(n-1,:);distance_RS(n,:)=;elsen=n+1;end第47页，共57页，编辑于2022年，星期六elsen=n+1;endendend%对矩阵进行合并操作，计算系数矩阵AA=distance_PQ;distance_RS;disp(矩阵A的秩)rank(A)%首先输入时间矩阵,并给出b第48页，共57页，编辑于2022年，星期六b1=0.08950.19960.20320.41810.49230.5646;0.09890.44130.43180.47700.52420.3805;0.30520.41320.41530.4

24、1560.35630.1919;0.32210.44530.40400.17890.07400.2122;0.34900.45290.22630.19170.17680.1810;0.38070.31770.23640.30640.22170.1031;0.43110.33970.35660.19540.07600.0688;b2=0.06020.08130.35160.38670.43140.5721;0.07530.28520.43410.34910.48000.4980;0.34560.32050.40930.42400.45400.3112;0.36550.32890.42470.32

25、490.21340.1017;0.31650.24090.32140.32560.18740.2130;0.27490.38910.58950.30160.20580.0706;0.44340.49190.39040.07860.07090.0914;第49页，共57页，编辑于2022年，星期六lie1=;lie2=;fori=1:7m=b1(i,:);n=b2(i,:);lie1=lie1;m;lie2=lie2;n;endb=lie1;lie2;%计算方程Ax=b最小二乘意义下解x=Ab;tushi=;fori=0:5pp=x(i*6+1:(i+1)*6);tushi=tushi;pp;第

26、50页，共57页，编辑于2022年，星期六endx=tushi;disp(输出结果X)x%进行空洞判断a=0.11;b=-0.11;fori=1:6forj=1:6iftushi(i,j)b&tushi(i,j)axx(i,j)=0;else第51页，共57页，编辑于2022年，星期六xx(i,j)=1;endendendxx执行后输出矩阵A1的秩ans=29矩阵A的秩ans=36输出结果X第52页，共57页，编辑于2022年，星期六x=0.00980.01800.00580.00700.01810.01370.01450.12330.13250.01400.01370.01250.02030

27、.11960.12040.02170.11550.01740.02550.01280.12730.12460.01730.00740.01270.12710.01450.01340.00690.01340.00540.01590.01340.00750.01850.0173第53页，共57页，编辑于2022年，星期六取=0.1有xx=0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0对应于平板上的空洞位置如图23（注意:相对于x的排列，上下正相反）。图23ABCD第54页，共57页，编辑于2022年，星

28、期六2.3.5问题的进一步讨论1）只根据由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij，可得长度矩阵，若(5)式有解则能确定空洞的位置，但，(5)式无解，故不能确定空洞的位置。2）在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法：设在BC边仍安放7个接收器Sl，而AD边设置波源Rk的数量一个一个地增加（由下而上），发现设置两个波源时有，虽然（7）式有解，但由（7）式的解无法选取得到。直到设置5个波源时由（7）式才得到满意的解。第55页，共57页，编辑于2022年，星期六x=-0.0324 0.0485 -0.0889 -0.0959 0.0231 0.0661 0.0181 0.9766 1.0

29、591 0.0345 0.0201 -.0688 0.0563 0.9402 0.9846 0.1003 0.9100 -0.0468 0.0588 0.0430 1.0429 0.9694 0.0085 -0.0198 0.1416 0.9766 -0.1041 -0.0225 -0.0726 -.0070 -0.2188 0.0021 0.0664 -0.0444 0.0680 0.0376取=0.22，即得到与前面同样的结果。另外，也可试验在AB和AD边的各7个点上，选取不同位置设置波源，并类似地考虑接收器，找出减少波源（和接收器）的方案。第56页，共57页，编辑于2022年，星期六2.1.3MATLAB求解对于方程组，若A是满秩方阵，则MATLAB求解命令为：MATLAB中常用的矩阵运算命令1、求解方程组若A是满秩的方阵，求解命令为：它等价于2、求解方程组若A不是满秩的方阵，求解命令为：rrefC,其中C=Ab3、矩阵A的秩rank（A）4、V，D=eig(A)输出的D是矩阵A的特征值构成的对角矩阵，输出的V是矩阵A的特征向量构成的特征向量矩阵；第57页，共57页，编辑于2022年，星期六