测量不确定度评定与表示nev.pptx

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1、1059.1测量不确定度评测量不确定度评定与表示定与表示北京理工大学北京理工大学周桃庚周桃庚主要内容主要内容1第一部分 测量不确定度概念的产生和发展2第二部分 实验室认可和资质认定政策对测量不确定度评估的要求3第三部分 统计学的基本知识4第四部分 名词术语5第五部分 测量不确定度评定第三部分第三部分统计学的基本知识统计学的基本知识随机变量随机变量作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示，可把这些数看作为某变量X的取值范围，变量X称为“随机变量”，即实验结果可用随机变量X来表示。通俗地讲，表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，它们的取值用

2、相应的小写字母x，y，z表示。定义：如果某一量(例如测量结果)在一定条件下，取某一值或在某一范围内取值是一个随机事件，则这样的量称作随机变量。随机变量根据其值的性质不同，可分为离散型和连续型两种，如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值，则称随机变量X为离散型随机变量。如果随机变量的所有可能取值充满为某范围内的任何数值，且在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的，则称X为连续型随机变量。概率概率()概率是一个0和1之间隶属于随机事件的实数概率与在一段较长时间内的事件发生的相对频率有关或与事件发生的可信程度()有关 3358.1-2009 统计学词汇

3、及符号统计学词汇及符号 第第1部分：一般统计术部分：一般统计术语与用于概率的术语语与用于概率的术语概率的频率解释概率的频率解释若对某一个被测量重复测量，我们可以得到一系列测量数据，这些数据称测量值或观测值测量值是随机变量，它们分散在某个区间内，概率是测量值在区间内出现的相对频率，即出现的可能性大小的度量在此定义的基础上奠定了测量不确定度A类评定的理论基础。概率的可信程度的解释概率的可信程度的解释由于测量的不完善或人们对被测量及其影响量的认识不足，概率是测量值落在某个区间内的可信度大小的度量在这个定义中，对于那些我们不知道其大小的系统误差，可以认为是以一定的概率落在区间的某个位置，认为也属于随机

4、变量或者说，某项未知的系统误差落在该区间内的可信程度也可以用概率表征。这是测量不确定度B类评定的理论基础概率概率测量值x落在()区间内的概率可以表示为概率的值在0到1之间概率分布概率分布()一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率随取值而变化的函数1.随机变量在整个集合中取值的概率等于12.一个概率分布与单一(标量)随机变量有关时称为单变量概率分布，与随机变量的向量有关时称为 多变量概率分布。多变量概率分布也称联合分布3.一个概率分布可以采用分布函数或概率密度函数的形式分布函数分布函数对于每个x值给出了随机变量X小于或等于x的概率的一个函数称分布函数，用F(x)表示 F(x)=P(X

5、x)0 1 2 31F(x)x10 F(x)是一个不减是一个不减的函数的函数 20概率密度函数概率密度函数分布函数的导数（当导数存在时）称（连续随机变量的）概率密度函数，用p(x)表示，p(x)(x)p(x)称“概率元素”p(x)P(xX )离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布要了解离散型随机变量X的统计规律，就必须知道它的一切可能值及取每种可能值的概率如果将离散型随机变量X的一切可能取值及其对应的概率，记作 P()=，1,2,.则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布X-1 2 3概率密度函数概率密度函数若已知某个随机变量的概率密度函数p(x),则测量值x落在()区间内的概率p

6、可用下式计算数学上，积分代表了面积。由此可见，概率p是概率分布曲线下在区间()内包含的面积当0.9，表明测量值有90%的可能性落在该区间内，该区间包含了概率分布下总面积的90%当1，表明测量值以100%的可能性落在该区间内，也就是测量值必定在此区间内。3.概率分布的特征参数概率分布的特征参数尽管概率分布反映了该随机变量的全貌，但在实际使用中更关心代表该该概率分布的若干数字特征量。期望方差标准偏差期望期望期望又称(概率分布或随机变量的)均值()或期望值(),有时又称数学期望。常用符号 表示，也用E(X)表示。测量值的期望离散随机变量连续随机变量通俗地说：期望值是无穷多次测量的平均值。期望期望对于

7、单峰、对称的概对于单峰、对称的概率分布来说，期望值率分布来说，期望值在分布曲线峰顶对应在分布曲线峰顶对应的横坐标的横坐标正因为实际上不可能正因为实际上不可能进行无穷多次测量，进行无穷多次测量，因此，测量中期望值因此，测量中期望值是可望而不可得的。是可望而不可得的。期望是概率分布曲线与横坐标轴构成面积期望是概率分布曲线与横坐标轴构成面积的重心所在的横坐标，因此它是决定随机的重心所在的横坐标，因此它是决定随机变量分布的位置的量变量分布的位置的量期望期望 三条三条测测量量值值分布曲分布曲线线的精密度的精密度相同，但正确度不同。相同，但正确度不同。期望与真值之差即期望与真值之差即为系统误差，如果为系统

8、误差，如果系统误差可以忽略，系统误差可以忽略，则期望则期望 就是被测就是被测量的真值量的真值 期望代表了测量的期望代表了测量的最佳估计值，或相最佳估计值，或相对真值的系统误差对真值的系统误差大小大小方差方差对于一个随机变量，仅用数学期望还不足以充分描述其特性。比如，两组测量数据：28,29,30,31,32数学期望30，各个数据在28和32之间波动10,20,30,40,50数学期望30，各个数据在10和50之间波动两组数据具有相同的数学期望为30，但它们具有重要的差别。第2组数据比第一组数据分散得多。方差方差(随机变量或概率分布的)方差用符号 表示测量值与期望之差是随机误差，方差就是随机误差

9、平方的期望值方差说明了随机误差的大小和测量值的分散程度。但由于方差的量纲是单位的平方，使用不方便，因此引出了标准偏差这个术语标准偏差标准偏差概率分布或随机变量的标准偏差是方差的正平方根值，用符号表示标准偏差是无穷多次测量的随机误差平方的算术平均值的正平方根值的极限，标准偏差标准偏差标准偏差是表明测标准偏差是表明测得值分散性的参数，得值分散性的参数，小表明测得值比较小表明测得值比较集中，集中，大表明测得大表明测得值比较分散。通常，值比较分散。通常，测量的重复性或复现测量的重复性或复现性是用标准偏差性是用标准偏差 来来表示的。表示的。三条误差分布曲线的正确三条误差分布曲线的正确度相同，但精密度不同

10、度相同，但精密度不同 标准偏差标准偏差由于标准偏差由于标准偏差 是无穷多是无穷多次测量时的极限值，所次测量时的极限值，所以又称总体标准偏差。以又称总体标准偏差。可见：期望和方差可见：期望和方差(或标或标准偏差准偏差)是表征概率分布是表征概率分布的两个特征参数。理想的两个特征参数。理想情况下，应该以期望为情况下，应该以期望为被测量的测量结果，以被测量的测量结果，以标准偏差表示测得值的标准偏差表示测得值的分散性分散性三条误差分布曲线的正确三条误差分布曲线的正确度相同，但精密度不同度相同，但精密度不同 标准偏差标准偏差由于期望、方差由于期望、方差和标准偏差都是和标准偏差都是以无穷多次测量以无穷多次测

11、量的理想情况定义的理想情况定义的，因此都是概的，因此都是概念性的术语，无念性的术语，无法由测量得到法由测量得到，2和和。三条误差分布曲线的正确三条误差分布曲线的正确度相同，但精密度不同度相同，但精密度不同 4.有限次测量时有限次测量时和和的估计值的估计值算数平均值()期望的最佳估计值在相同测量条件下，对某被测量在相同测量条件下，对某被测量X X进进行有限次独立重复测量，得到一系列行有限次独立重复测量，得到一系列测量值测量值,算术平均值为算术平均值为算术平均值是期望的最佳估计值算术平均值是期望的最佳估计值由大数定理证明，测量值的算术平均值是其期望的最佳估计值大数定理：算术平均值算术平均值若干个独

12、立同分布的随机变量的平均值以无限接近于1的概率接近于其期望。所以 是期望 的最佳估计值。即使在同一条件下对同一量进行多组测量，每组的平均值都不相同，说明算术平均值本身也是随机变量。由于有限次测量时的算术平均值是其期望的最佳估计值，因此，通常用算术平均值作为测量结果的值。2）实验标准偏差()有限次测量时标准偏差的估计值实际工作中不可能测量无穷多次，因此无法得到总体标准偏差。用有限次测量的数据得到标准偏差的估计值称为实验标准偏差，用符号s表示。现介绍几种常用的实验标准偏差的估计方法。在相同测量条件下，对某被测量在相同测量条件下，对某被测量X X进进行有限次独立重复测量，得到一系列行有限次独立重复测

13、量，得到一系列测量值测量值,则实验标准偏则实验标准偏差可按以下几种方法估计差可按以下几种方法估计（1）贝塞尔公式式中 n次测量的算术平均值 残差 自由度 (测量值的)实验标准偏差,表征了观测值的变动性，或更确切地说，表征了它们在平均值 周围的分散性残余误差残余误差各个测得值与算术平均值之差，叫作残余误差（也称残差）残余误差性质：残余误差的代数和等于零。残余误差性质：残余误差的代数和等于零。即即这是因为这是因为例：用游标卡尺测某一尺寸例：用游标卡尺测某一尺寸1010次，数据见表（设无系统和次，数据见表（设无系统和粗大误差），求算术平均值及单次测值的实验标准差。粗大误差），求算术平均值及单次测值的

14、实验标准差。测 序22175.01-0.0350.001225275.04-0.0050.000025375.07+0.0250.000625475.00-0.0450.002025575.03-0.0150.000225675.09+0.0450.002025775.06+0.0150.000225875.02-0.0250.000625975.05+0.0050.0000251075.08+0.0350.001225可得可得利用贝塞尔公式求出的实验标准差是上述利用贝塞尔公式求出的实验标准差是上述1010个测值的个测值的测量组中单次测量的实验标准差。如何理解？测量组中单次测量的实验标准差。如

15、何理解？例：测量列为例：测量列为 75.01 75.01，75.0475.04，75.0775.07，75.0075.00，75.0375.03，75.0975.09，75.0675.06，75.0275.02，75.0575.05，75.0875.08；这这1010个测值是等权测量，每一个测值的实验标准个测值是等权测量，每一个测值的实验标准差都是差都是 0.0303 0.0303 。单次测值的实验标准差在数据处理中的意单次测值的实验标准差在数据处理中的意义：义：1）可比较不同测量组的测量可靠性：）可比较不同测量组的测量可靠性：例：对同一被测量进行了两组测量（如由两人），例：对同一被测量进行了

16、两组测量（如由两人），其数据是：其数据是：测量结果一样，哪个测量者的测量水平高、测值测量结果一样，哪个测量者的测量水平高、测值更可靠？更可靠？何时会用单次测量值作为测量结果？何时会用单次测量值作为测量结果？2）当用单次测量值作为测量结果时，可反映单次测）当用单次测量值作为测量结果时，可反映单次测量测量结果的可靠性。量测量结果的可靠性。说明：说明：（1 1）单次测量的实验标准偏差）单次测量的实验标准偏差s s并非只并非只测量一次就能得到的。对于一定的测量方法测量一次就能得到的。对于一定的测量方法或量仪，必须通过多次测试才能获得。（即或量仪，必须通过多次测试才能获得。（即所谓所谓“用统计方法得出用

17、统计方法得出”）（2 2）一旦得出了）一旦得出了s s值，在今后使用该量值，在今后使用该量仪或测量方法时，仪或测量方法时，s s便为已知值，便能对单便为已知值，便能对单次测量给出测量不确定度。次测量给出测量不确定度。（3 3）在有的仪器说明书里或手册表格）在有的仪器说明书里或手册表格中往往也给出了中往往也给出了s s值。此时，在测量过程中值。此时，在测量过程中便可直接引用，而不必自己去求出。便可直接引用，而不必自己去求出。（2 2）极差法）极差法 从有限次从有限次对对立重复立重复测测量的一列量的一列测测量量值值中找出中找出 最大最大值值 ，最小最小值值得到极差得到极差，并根据，并根据测量次数量

18、次数n n查表得到极差系数表得到极差系数值代入下式得到代入下式得到实验标准准偏差偏差（3）较差法 从有限次独立重复测量的一列测量值中，将每次测量值与后一次测量值比较得到差值，利用下式得到实验标准偏差3）实验标准偏差的可靠性与自由度的关系实验标准偏差是标准偏差的估计值，它本身存在着标准偏差，实验标准偏差的标准偏差估计值为实验标准偏差s的相对标准偏差为由此可见，标准偏差估计值的可靠程度是与自由度大小成反比的，自由度越大，评定的标准偏差估计值越可靠。各种估计方法的比较各种估计方法的比较贝塞尔公式法是一种基本的方法，极差法使用起来比较简便，但当数据的概率分布偏离正态分布较大时，应当以贝塞尔公式法的结果

19、为准。较差法更适用于随机过程的方差分析，如频率测量的阿伦方差就属于这种方法。4）算数平均值的实验标准偏差若测量值的实验标准偏差为s()，则算术平均值的实验标准偏差为有限次测量的算术平均值的实验标准偏有限次测量的算术平均值的实验标准偏差与差与 成反比。测量次数增加，成反比。测量次数增加，减小，减小，即算术平均值的分散性减小。一般即算术平均值的分散性减小。一般320通常用算术平均值作为被测量估计值，通常用算术平均值作为被测量估计值，则算术平均值的实验标准偏差是被测量则算术平均值的实验标准偏差是被测量估计值的估计值的A类评定的标准不确定度类评定的标准不确定度概率统计术语概率统计术语无限次测量的理想条

20、无限次测量的理想条件下概率论术语件下概率论术语有限次测量条件下的有限次测量条件下的统计学术语统计学术语数学期望算术平均值标准偏差实验标准偏差s(x)算术平均值的实验标准偏差常用的概率分布常用的概率分布正态分布正态分布又称高斯分布。一个连续随机变量X的正态分布的概率密度函数为式中，是X的期望，为标准偏差。正态分布的特点正态分布的特点单峰性：概率分布曲线在均值 处具有一个极大值对称性：正态分布对称性：正态分布以以 为其对称轴，为其对称轴，分布曲线在均值分布曲线在均值的两侧是对称的的两侧是对称的当当x 或或x-时，概率分布曲线以时，概率分布曲线以x轴轴为渐近线为渐近线正态分布的特点正态分布的特点为位

21、置参数，为形状参数。和 能完全表达正态分布的形态常用简略符号常用简略符号(，2)表示正态分表示正态分布布当当=0，=1时，时，(0，1)称为标准正态分称为标准正态分布。布。概率概率概率概率p p=95.45%=95.45%概率概率概率概率p p=68.27%=68.27%等于概率曲线与横等于概率曲线与横等于概率曲线与横等于概率曲线与横坐标围成的面积坐标围成的面积坐标围成的面积坐标围成的面积xp(x)概率概率概率概率p p=99.73%=99.73%2 3 2 3 正态分布正态分布随机变量随机变量随机变量随机变量x x的取值的取值的取值的取值测得值测得值x落在区间落在区间 的置信概率的置信概率

22、68.26%68.26%95.45%95.45%99.73%99.73%置信概率置信概率k 置信因置信因子子正态分布的概率计算正态分布的概率计算已知随机误差服从正态分布，求误差 落在区间 内的概率随机误差服从正态分布，且标准偏差为随机误差服从正态分布，且标准偏差为 ，则，则在该条件下，进行在该条件下，进行100100次测量，可能有次测量，可能有9999次的随次的随机误差落在区间机误差落在区间 内内概率论中正态分布的置信概率与置信因子的关系置信概率置信概率p置信因子置信因子k0.50.6750.682710.91.6450.951.960.954520.992.5760.99733均匀分布均匀分

23、布若随机变量在某一范围中出现的概率相等，称其若随机变量在某一范围中出现的概率相等，称其服从均匀分布，也称为等概率分布。服从均匀分布，也称为等概率分布。概率密度函数概率密度函数 期望期望o o 均匀分布均匀分布概率密度函数概率密度函数 标准偏差标准偏差置信因子置信因子 o o 用用a a表示区间半宽度，即表示区间半宽度，即 方差方差三角分布三角分布概率密度函数概率密度函数 数学期望数学期望标准偏差标准偏差置信因子置信因子 梯形分布梯形分布设梯形的上底半宽度为a，下底半宽度为 a，0 1，概率密度函数标准偏差标准偏差当当=0时时 梯形分布变梯形分布变成三角形分成三角形分布布当当=1时时 梯形分布变梯形分布变成矩形分布成矩形分布反正弦分布反正弦分布概率密度函数概率密度函数 标准偏差标准偏差a a o o 置信因子置信因子 几种非正态分布的标准偏差与几种非正态分布的标准偏差与置信因子的关系置信因子的关系演讲完毕，谢谢观看！