第6章傅立叶变换精选文档.ppt

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1、第6章傅立叶变换本讲稿第一页，共四十一页序序1.变换变换:采用某种手段将问题进行转换从另一角采用某种手段将问题进行转换从另一角 度进行处理与分析度进行处理与分析.2.目的目的:(1)使问题性质更清楚使问题性质更清楚,更便于分析问题更便于分析问题;(2)求解更方便求解更方便,更便于解决问题更便于解决问题.3.与化简的区别与化简的区别:变换必须是可逆的变换必须是可逆的.4.傅里叶变换傅里叶变换:是一种对连续时间函数的积分变换是一种对连续时间函数的积分变换.它既能简化它既能简化计算计算,又具有非常好的物理意义又具有非常好的物理意义.本讲稿第二页，共四十一页 8.1 8.1 傅里叶变换的概念傅里叶变换

2、的概念本讲稿第三页，共四十一页一一.傅里叶级数傅里叶级数1.定理定理:设设 是以是以T为周期的实值函数为周期的实值函数,且在且在-T/2,T/2上满足狄上满足狄 氏条件氏条件,即即 在在-T/2,T/2上满足上满足 (1)连续或只有有限个第一类间断点连续或只有有限个第一类间断点,(2)只有有限个极值点只有有限个极值点.则在则在 的连续点处有的连续点处有 其中其中在间断点在间断点 处为处为本讲稿第四页，共四十一页2.傅里叶级数表示形式傅里叶级数表示形式:1)三角形式三角形式 公式公式:(1)物理意义物理意义:令令 于是于是 则则(1)式变为式变为 实质实质:一周期为一周期为T的信号可分解为简谐波

3、之和的信号可分解为简谐波之和.-基频基频,-振幅振幅,-相位相位.本讲稿第五页，共四十一页2)指数形式指数形式 公式公式 (2)(3)物理意义物理意义:由由 与与 及及 关系得关系得 -离散频谱离散频谱,-离散振幅谱离散振幅谱,-离散相位离散相位 记记本讲稿第六页，共四十一页*例例:求以求以T为周期的函数为周期的函数 的离散频谱和它的傅里叶级数的复数形式的离散频谱和它的傅里叶级数的复数形式.本讲稿第七页，共四十一页二二.傅氏积分与傅氏变换傅氏积分与傅氏变换1.傅里叶积分公式傅里叶积分公式:将非周期函数看成是周期函数当将非周期函数看成是周期函数当T+时转化来时转化来的的,由由(2)式与式与(3)

4、式有式有将间隔将间隔 记为记为 ,节点节点 记为记为 ,并由并由 ,得得上式为和式极限上式为和式极限,即得即得傅氏积分公式傅氏积分公式(傅氏积分傅氏积分)本讲稿第八页，共四十一页 若函数若函数f(t)在在 上任何有限区上任何有限区间间上上满满足狄氏条件足狄氏条件,并且在并且在 上绝对可积则有：上绝对可积则有：2 傅氏积分定理傅氏积分定理 为连续点为连续点 为间断点为间断点本讲稿第九页，共四十一页也叫做也叫做f(t)的的傅氏积分表达式傅氏积分表达式 1)傅里叶变换的概念傅里叶变换的概念3.傅里叶变换傅里叶变换 称称为为f(t)的的傅氏变换傅氏变换(象函数象函数),可可记记=称为称为 的傅氏逆变换

5、的傅氏逆变换(象原函数象原函数),可记可记本讲稿第十页，共四十一页例例3 求函数求函数 的傅氏变换的傅氏变换 解本讲稿第十一页，共四十一页例例4 求函数求函数 的傅氏变换的傅氏变换和傅氏积分表达式和傅氏积分表达式.解解本讲稿第十二页，共四十一页若若 上式右端为上式右端为于是本讲稿第十三页，共四十一页2)傅氏变换的物理意义傅氏变换的物理意义 非周期函数也是由许多不同频率的正非周期函数也是由许多不同频率的正,余弦分量合成余弦分量合成.称称为为f(t)的的频谱函数频谱函数(频谱频谱)可以证明可以证明,频谱为偶函数频谱为偶函数,即即称为称为f(t)的的振幅谱振幅谱 称为称为相位谱相位谱 本讲稿第十四页

6、，共四十一页例例:已知已知f(t)的频谱为的频谱为 求求f(t)本讲稿第十五页，共四十一页 8.2 8.2 单位脉冲函数单位脉冲函数(函数函数)本讲稿第十六页，共四十一页 在物理和工程技术中在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外除了用到指数衰减函数外,还常常还常常会碰到单位脉冲函数会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中因为在许多物理现象中,除了有连续分布的除了有连续分布的物理量外物理量外,还会有集中在一点的量（点源）还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等电脉冲等.在电学中在电学中,我们要研究线性电我们要研

7、究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数有了这种函数,对于许多集中在对于许多集中在一点或一瞬间的量一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那就能够像处理连续分布的量那样样,用统一的方式来加以解决用统一的方式来加以解

8、决.本讲稿第十七页，共四十一页一一.单位脉冲函数的概念单位脉冲函数的概念 1.定义定义:满足下列两个条件的函数称为满足下列两个条件的函数称为 函数：函数：(1)(2)2.注注:1)函数是一广义函数函数是一广义函数 2)函数在现实中不存在函数在现实中不存在,是数学抽象结果是数学抽象结果.本讲稿第十八页，共四十一页1o3.几何意义几何意义:(1)常用一个从原点出发长度为常用一个从原点出发长度为1的有向线段表示的有向线段表示.(2)有向线段的长度代表有向线段的长度代表 函数的积分值函数的积分值,称称冲激强冲激强 度度.本讲稿第十九页，共四十一页1如下如下图图o4 定义为满足下列条件的函数定义为满足下

9、列条件的函数本讲稿第二十页，共四十一页二二.函数的性质函数的性质1.(筛选筛选性性质质)设设f(t)是定义在是定义在R上的有界函数上的有界函数,且在且在t=0处连续处连续,则则 一般地一般地,若若f(t)在点在点t=处连续处连续,则则,2.函数函数为为偶函数偶函数,即即 本讲稿第二十一页，共四十一页3.其中其中,称称为为单单位位阶跃阶跃函数函数.反之反之,有有 .本讲稿第二十二页，共四十一页 三三.函数的傅立叶变换函数的傅立叶变换 1.定定义义 =2.注注:与常数与常数1构成了一个傅氏构成了一个傅氏变换对变换对,即即与与 也构成了一个傅氏也构成了一个傅氏变换对变换对,即即本讲稿第二十三页，共四

10、十一页四四.周期函数的傅氏变换周期函数的傅氏变换定理定理:设设f(t)是以是以T为周期的实值函数为周期的实值函数,且在且在-T/2,T/2上满上满足狄氏条件足狄氏条件,则则f(t)和和 是一组是一组傅氏变换对傅氏变换对,其中其中 是是f(t)的离散频谱的离散频谱.本讲稿第二十四页，共四十一页五五.一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对 例例1 可以可以证证明明单单位位阶跃阶跃函数函数 的傅氏的傅氏变换为变换为 的积分表达式为的积分表达式为 本讲稿第二十五页，共四十一页例例2 2 证明证明的傅氏变换为的傅氏变换为证明证明=所以所以本讲稿第二十六页，共四十一页

11、例例3 求正弦函数求正弦函数的傅氏的傅氏变换变换 可以证明可以证明本讲稿第二十七页，共四十一页 8.3 8.3 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质本讲稿第二十八页，共四十一页一一.基本性质基本性质 1.线性性质线性性质=设设为常数则为常数则=表明函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏表明函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合变换的线性组合.本讲稿第二十九页，共四十一页2.2.平移性质平移性质（1 1）象原函数的平移性质）象原函数的平移性质若若=为实常数为实常数,则则 (2)象函数的平移性质象函数的平移性质 ,表明表明 沿沿 轴向右或向左移轴向右或向左移 的傅氏逆变换等于的傅氏逆变换等于

12、f(t)乘乘以因子以因子 若若=为实常数为实常数,则则 表明表明f(t)沿沿t轴向左或向右位移轴向左或向右位移 的傅氏变换等于的傅氏变换等于f(t)的的傅氏变换乘以因子傅氏变换乘以因子 本讲稿第三十页，共四十一页例例1 求解 因为所以本讲稿第三十一页，共四十一页例例2 已知已知求解显然一般地本讲稿第三十二页，共四十一页且且 则则3.微分性质微分性质（1）象原函数的微分性质）象原函数的微分性质若若=一般地一般地,若若则则 表明一个函数的导数的傅氏变换等于这个函数的傅表明一个函数的导数的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换乘以因子氏变换乘以因子jw.本讲稿第三十三页，共四十一页例例3 证明证明证明 因为

13、所以一般地本讲稿第三十四页，共四十一页（2）象函数的微分性质）象函数的微分性质若若=则则或或例例4 已知已知求 解本讲稿第三十五页，共四十一页4.积分性质积分性质若若=则则在这里在这里 必须满足傅氏积分存在定理的条件必须满足傅氏积分存在定理的条件,若不满足若不满足,则这个广义积分应改为则这个广义积分应改为 表明一个函数积分后的傅氏变换等于这个函数的傅氏变表明一个函数积分后的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换除以因子换除以因子jw.本讲稿第三十六页，共四十一页5.帕塞瓦尔等式帕塞瓦尔等式 设设 ,则有则有=本讲稿第三十七页，共四十一页二二.卷积与卷积定理卷积与卷积定理 1上的卷上的卷积积定定义义 若若给给定两个函数定两个函数,则积分则积分 称为函数称为函数的卷积的卷积,记为记为本讲稿第三十八页，共四十一页2.性性质质 交交换换律律,分配律分配律,结结合律合律本讲稿第三十九页，共四十一页例例4 4 求下列函数卷积求下列函数卷积本讲稿第四十页，共四十一页3卷积定理卷积定理=若若则则本讲稿第四十一页，共四十一页