初等函数的连续性与连续函数的性质.pptx

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1、第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数的连续性 三、复合函数的连续性 四、初等函数的连续性第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第1页/共19页高等数学一、连续函数的和、差、积、商的连续性 在其定义域内连续定理1则它们的设函数和在点连续,积和(差)(当及商时)都在点连续.例如在内连续.第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第2页/共19页高等数学二、反函数的连续性 定理2在上单调增加且连续在 1,1 上也单调增加且连续如果函数在区间上单调增加(或单调减少)且连续,那么

2、它的反函数增加(或单调减少)且连续.也在对应的区间上单调例如第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第3页/共19页高等数学三、复合函数的连续性定理3复合而成 若函数在连续 则 例1 求下列各极限：由函数与函数设函数若当且存在时,有 则 定理6 设函数由函数与函数复合而成(P48)第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第4页/共19页定理4（复合函数的连续性）若函数在点连续,且而函数则复合函数在点也连续 即 在点设函数由函数与函数复合而成 连续,第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的

3、连续性第5页/共19页高等数学例2 求下列各极限：(1)若则有(2)若则有幂指函数第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性说明:第6页/共19页高等数学四、初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续的连续区间为的连续区间为的定义域为第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第7页/共19页高等数学二、零点定理与介值定理 一、有界性与最值定理闭区间上连续函数的性质第十节第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第8页/共19页高等数学

4、一、有界性与最值定理1最大(小)值定义：总有在区间上有定义,若有使得设则称是在区间 上的最大值(最小值),简称最值.第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第9页/共19页高等数学2.最值定理定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上一定即:设则使取得它的最大值和最小值.第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第10页/共19页高等数学第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第11页/共19页高等数学推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第12页/共19页高等数学定理2(零点定理)二

5、、零点定理与介值定理设函数设函数在闭区间异号(即上连续,且与那么在开区间使内至少有一点第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第13页/共19页高等数学定理3(介值定理)及则对 A 与 B 之间的任意一个数 C,在开区间设函数设函数在闭区间上连续,且在这区间的端点取不同的函数值使得内至少有一点推论在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第14页/共19页高等数学例1 证明方程一个根.说明:内必有方程的根取的中点内必有方程的根二分法在区间内至少有则则取的中点第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连

6、续函数的性质第15页/共19页例2 设试证：且使得例3 任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它一刀剪为面积相等的两片.第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第16页/共19页高等数学内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.1.连续函数的运算与初等函数的连续性内容小结内容小结第17页/共19页在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在2.闭区间上连续函数的性质设则内容小结内容小结 作业P69 3 (2),(3),(6),(7);4(2),(4),(6);6P74 2;3;5第18页/共19页感谢您的观看！第19页/共19页