第一节留数定理精选文档.ppt

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1、第一节留数定理本讲稿第一页，共十八页 1.留数留数如果函数如果函数f(z)在在z0的邻域内解析的邻域内解析,那么根据柯西定理那么根据柯西定理但是但是,如果如果z0为为f(z)的一个孤立奇点的一个孤立奇点,则沿在则沿在z0的某的某个去心邻域个去心邻域0|z-z0|R内包含内包含z0的任意一条正向简单的任意一条正向简单闭曲线闭曲线l的积分的积分一般就不等于零一般就不等于零.4.1 留数定理留数定理一一.留数及留数定理留数及留数定理本讲稿第二页，共十八页f(z)=.+a-n(z-z0)-n+.+a-1(z-z0)-1+a0+a1(z-z0)+.+an(z-z0)n+.其中其中a-1就称为就称为f(z

2、)在在z0的的留数留数,记作记作Resf(z0),即即因此将因此将f(z)在此邻域内在此邻域内展开为洛朗级数展开为洛朗级数后后,两端沿两端沿l逐项积分逐项积分,右端各项积分除留下右端各项积分除留下的一项等于的一项等于 外外,其余各项积分都等于零其余各项积分都等于零,所所以以=-)(,1)(,0)(21aap包围不包围lldzazil-1本讲稿第三页，共十八页 2 留数定理留数定理 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 b1,b2,.,bn 外处处解析.l是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则Db1b2b3bnl1l2l3lnl留数定理将回路留数定理将回路积分化为被积函积分化为被积函数在回

3、路所围区数在回路所围区域上各奇点留数域上各奇点留数之和之和本讲稿第四页，共十八页证证 把在把在l内的孤立奇点内的孤立奇点zj(j=1,2,.,n)用互不包含的正向用互不包含的正向简单闭曲线简单闭曲线lj围绕起来围绕起来,则根据复合闭路定理有则根据复合闭路定理有 l 包围一个f(Z)的孤立奇点0Z时)(zf=-+-=kkkzza)(0 Cauchy 定理知：ldzzf)(=0)(ldzzf 又Qip21-lzdza=)(1(0aa包围）不包围ll dzzfl)(=-+-=0)0(lkkkdzazz=1-a2ip=2ip1-a 1-a=Resf(0z)本讲稿第五页，共十八页求函数在奇点求函数在奇点

4、z0处的留数即求它在以处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内为中心的圆环域内洛朗级数中洛朗级数中a-1(z-z0)-1项的系数即可项的系数即可.但如果知道奇点的但如果知道奇点的类型类型,对求留数可能更有利对求留数可能更有利.l包围多个孤立奇点时：包围多个孤立奇点时：=njjlbfizzf1).(Res2d)(即+=nlbfbfbfzzfi21)(Res)(Res)(Resd)(21L+=llllzzfzzfzzfzzfn.d)(d)(d)(d)(21L本讲稿第六页，共十八页设函数设函数f(z)在无限远点的邻域上解析在无限远点的邻域上解析,来计算绕来计算绕 的正向回的正向回路路积分积分在在l以外

5、的区域上没有以外的区域上没有f(z)的有限远奇点的有限远奇点,将将f(z)在在无限远的邻域上展为洛朗级数无限远的邻域上展为洛朗级数,并代入积分式并代入积分式,可得可得除除k=-1项外项外,其他各项为零其他各项为零,则有则有-a-1定义为定义为f(z)在无限远点的留数在无限远点的留数,留数定理对于无限留数定理对于无限远点也成立远点也成立,但要注意但要注意,即使无限远点不是奇点即使无限远点不是奇点,也可不为零也可不为零3.无穷远点的留数无穷远点的留数(1)本讲稿第七页，共十八页 (1)+(2)可得可得即函数在即函数在全平面上所有各点的留数之和为零全平面上所有各点的留数之和为零,这里所有的点这里所有

6、的点包括无限远点和有限远的奇点包括无限远点和有限远的奇点.如果如果f(z)只有有限个奇点只有有限个奇点,则所有有限远奇点必在某个圆的内部则所有有限远奇点必在某个圆的内部在环域在环域内任取一个回路内任取一个回路l,则由留数定理得则由留数定理得(2)本讲稿第八页，共十八页（一）可去奇点的留数：一）可去奇点的留数：对于可去奇点由定义知：对于可去奇点由定义知：Resf(z0)=0 1.如果如果z0为为f(z)的一阶极点（单极点）的一阶极点（单极点）,则则（二）（二）极点的留数极点的留数二二.留数的计算方法留数的计算方法)(zf=-=1)(0kkkzza =1-a)(01zz-+0a+1a)(0zz-+

7、2a)(02zz-+)(0zz-f(z)=1-a+0a)(0zz-+1a)(02zz-+2a)(03zz-+)()(lim00zfzzzz-=1-a=Resf(0z)本讲稿第九页，共十八页对于对于 f(z)可表示为形式可表示为形式f(z)=)()(zQzP时，且时，且P(z),Q(z)在在0z点是解析的点是解析的，Q(0z)=0,)(0zQ0,P(0z)0 则有：则有：)()(lim00zfzzzz-=)()()(lim0000zQzPzzzz-=罗毕达法则罗毕达法则本讲稿第十页，共十八页2 如果如果z0为为f(z)的的m阶极点阶极点,则则LL010011010)()()()(-+-+-+-+

8、-+-=-m-mmmzzaazzazzazzazf)()(lim00zfzzmzz=-非零有限值LL1010010101)()()()(+-+-+-+-+-+=mmmmmzzazzazzazzaa0)()(-mzfzz+求求 得，得，)()(lim00zfzzzz-=非零有限值)()(lim00zfzzmzz=-非零有限值判断极点的阶判断极点的阶)()(lim00zfzzzz-=)()()(lim0000zQzPzzzz-=)()()!1(1lim)(Re01100zfzzdzdmzsfmmmzz-=-)()()!1(1lim)(Re01100zfzzdzdmzsfmmmzz-=-求留数求留数

9、本讲稿第十一页，共十八页有了以上法则有了以上法则,我们就可以不必把函数我们就可以不必把函数f(z)展开为洛朗级数就展开为洛朗级数就可以判断极点的阶可以判断极点的阶,而且还可以算出函数而且还可以算出函数f(z)在极点的留数在极点的留数.例例例例1 1求求f(z)=1/(zn-1)在在z0=1的留数的留数解解z0=1是函数的极点是函数的极点,由此可得由此可得z0=1是单极点是单极点另解另解本讲稿第十二页，共十八页例例例例2 2确定函数确定函数f(z)=1/sinz的极点的极点,求出函数在这些极点的留数求出函数在这些极点的留数解解因此可以确定因此可以确定,是极点是极点应用罗毕达法则可以确定上式的极限

10、应用罗毕达法则可以确定上式的极限(-1)n是非零有限值是非零有限值,因此因此 是是f(z)=1/sinz的单极点的单极点,且且f(z)在在单极点的留数就是单极点的留数就是(-1)n本讲稿第十三页，共十八页例例例例3 3确定函数确定函数f(z)=(z+2i)/(z5+4z3)的极点的极点,求出函数在这些求出函数在这些极点的留数极点的留数.解解对分母先进行处理对分母先进行处理,分离出因式分离出因式,并约分并约分z0=2i是极点是极点z0=2i是单极点是单极点,在此点留数为在此点留数为i/8(1)(1)(2)(2)z0=0是极点是极点z0=0是三级极点是三级极点由此我们按照计算由此我们按照计算m级极

11、点留数的法则级极点留数的法则,可得可得:本讲稿第十四页，共十八页例例例例4 4计算沿单位圆计算沿单位圆|z|=1的回路积分的回路积分解解令被积函数令被积函数的分母为零的分母为零,可以得到可以得到二次代数方程二次代数方程其两根为其两根为就是函数就是函数f(z)的两个单极点的两个单极点单极点单极点 的模的模故此单极点在单位圆外故此单极点在单位圆外,也在积分回路外也在积分回路外,计算积分不用考虑计算积分不用考虑本讲稿第十五页，共十八页单极点单极点 的模的模故此单极点在单位圆内故此单极点在单位圆内,计算积分时必须考虑计算积分时必须考虑,我们可以得到我们可以得到然后应用留数定理可得结果如下然后应用留数定理可得结果如下本讲稿第十六页，共十八页本讲稿第十七页，共十八页则结果为则结果为.2,)1(2，正向为计算练习练习2.2.=-zCdzzzeCz 本讲稿第十八页，共十八页