最小二乘法介绍幻灯片.ppt

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1、最小二乘法介绍第1页，共24页，编辑于2022年，星期六用示波器显示二极管的伏安特性用示波器显示二极管的伏安特性 用用UJ31型电位差计校正电表型电位差计校正电表 灵敏电流计的特性研究灵敏电流计的特性研究 霍尔效应霍尔效应 电子射线的电偏转和磁偏转电子射线的电偏转和磁偏转 应变式非平衡电桥实验应变式非平衡电桥实验示波器介绍示波器介绍最小二乘法线性拟合最小二乘法线性拟合第2页，共24页，编辑于2022年，星期六一、实验预习一、实验预习要求：要求：掌握原理、实验内容，写出预习报告。掌握原理、实验内容，写出预习报告。预预习习报报告告内内容容包包括括：实实验验名名称称、实实验验目目的的、实验原理、实验

2、内容及数据表格。实验原理、实验内容及数据表格。物理实验课基本程序物理实验课基本程序实验操作实验操作实验报告实验报告实验预习实验预习第3页，共24页，编辑于2022年，星期六二、实验操作及观测二、实验操作及观测要求：要求：正确操作，认真观测。正确操作，认真观测。实验数据必须由教师检查签字。实验数据必须由教师检查签字。三、写实验报告三、写实验报告实实验验报报告告内内容容：实实验验名名称称、实实验验目目的的、实实验验原原理理、实实验验内内容容、数数据据记记录录和和处处理理、实实验验结结论论、实验讨论。实验讨论。要要求求：版版面面工工整整，图图表表规规范范，结结果果正正确确，讨讨论论认真。认真。用实验

3、报告纸写报告，交报告及时。用实验报告纸写报告，交报告及时。物理实验课基本程序物理实验课基本程序实验操作实验操作实验报告实验报告实验预习实验预习第4页，共24页，编辑于2022年，星期六一、平时实验考核一、平时实验考核1、每个实验项目一考核，给出成绩。、每个实验项目一考核，给出成绩。2、每个实验项目分三段进行考核，一般实验预习、每个实验项目分三段进行考核，一般实验预习20，实，实验操作验操作40%，实验报告，实验报告40%。二、期末考试二、期末考试实验操作考试实验操作考试(60%)和简答题和简答题(40%)三、期末总成绩三、期末总成绩平时成绩、实验报告成绩、期末考试成绩按比例计算平时成绩、实验报

4、告成绩、期末考试成绩按比例计算物理实验课的考核办法物理实验课的考核办法第5页，共24页，编辑于2022年，星期六基本的数据处理方法有列表法作图法逐差法最小二乘法第6页，共24页，编辑于2022年，星期六列表法列表法列列表表法法是是实实验验中中常常用用的的记记录录数数据据、表表示示物物理理量量之之间间关关系系的的一一种种方法。方法。1.列表法的特点列表法的特点（1）记记录录和和表表示示数数据据简简单单明明了；了；（2）便便于于表表示示物物理理量量之之间间对对应关系；应关系；（3）便便于于随随时时检检查查数数据据是是否否合合理理，及及早早发发现现问问题题，提提高高数据处理效率等。数据处理效率等。2

5、.列表的要求列表的要求（1）栏目清楚，项目分明。）栏目清楚，项目分明。（2）写明表的序号和名称，标明）写明表的序号和名称，标明物理量、单位及数量级。物理量、单位及数量级。（3）表表中中所所列列数数据据应应是是正正确确反反映结果的有效数字。映结果的有效数字。（4）注注明明测测量量日日期期、说说明明和和必必要的实验条件。要的实验条件。第7页，共24页，编辑于2022年，星期六3.列表举例列表举例表表1 伏安法测伏安法测100 电阻数据表电阻数据表 2008/2/10注注：（1）电压表量程电压表量程 7.5V，精度等级，精度等级 1.0。（2）电流表量程）电流表量程 50mA，精度等级，精度等级 1

6、.0。（3）常温常压条件下测量。）常温常压条件下测量。（4）采用电流表外接法。）采用电流表外接法。第8页，共24页，编辑于2022年，星期六作图法作图法作作图图法法是是将将测测量量数数据据之之间间的的关关系系及及其其变变化化情情况况作作成成图图线线直直观观地地表表示示出出来来，并并且且通通过过所所作作图图线线求求解解未未知知量量或或经经验验方方程程，是是一一种种最最常常用用的的粗粗略略的的数数据据处理方法。处理方法。1.作图法的优点作图法的优点（1）能能够够直直观观地地反反映映各各物物理理量量之之间间的变化规律，帮助找出合适的经验公式。的变化规律，帮助找出合适的经验公式。（2）可从图上用外延、

7、内插方法求得实验点以外的其它点。）可从图上用外延、内插方法求得实验点以外的其它点。（3）可以消除某些恒定系统误差。）可以消除某些恒定系统误差。（4）有取平均、减小随机误差对结果的影响的作用。）有取平均、减小随机误差对结果的影响的作用。2.作图要求作图要求作作图图对对于于初初学学着着是是一一种种困困难难的的科科学学技技巧巧，必必须须认认真真遵遵守守作作图图规规则则，才才能能绘绘制制出合格的图线。出合格的图线。第9页，共24页，编辑于2022年，星期六（1）根根据据各各变变量量之之间间的的变变化化规规律律，选选择择相相应应类类型型的的坐坐标标纸纸。鼓鼓励励使使用用优优秀秀的软件，如的软件，如Ori

8、gin,Excel计算机绘图。计算机绘图。（2）正确选择坐标轴的比例和标度。）正确选择坐标轴的比例和标度。（3）注注明明图图名名，坐坐标标轴轴代代表表的的物物理理量、单位和数值的数量级量、单位和数值的数量级。（4）测量数据点应采用比较明显测量数据点应采用比较明显的标志符号，如的标志符号，如“、”等，等，不能用不能用“”。（5）变变化化规规律律容容易易判判断断的的曲曲线线平平滑滑连连线线，曲曲线线不不必必通通过过每每个个实实验验点点，但但应应均均匀匀分分布布在在曲曲线线两两边边；难难以以确确定定规规律律的的曲线可以用折线连接。曲线可以用折线连接。第10页，共24页，编辑于2022年，星期六逐差法

9、逐差法逐逐差差法法是是为为了了改改善善实实验验数数据据结结果果，减减小小误误差差影影响响而而引引入入的的一种实验及数据处理方法。一种实验及数据处理方法。1.逐差法的应用条件逐差法的应用条件（1）自变量等间隔变化，自变量等间隔变化，y=f(x)，xi+1-xi=c。（2）函数关系可以写为多项式关系：函数关系可以写为多项式关系：y=a0+a1x+a2x2+a3x3+2.逐差法的应用逐差法的应用（1）逐项逐差逐项逐差 判断函数关系判断函数关系对函数对函数y=f(x)，测得测量列：，测得测量列：xi（i=1,2,n）、）、yi（i=1,2,n）若若yi+1 yii，基本相等，函数关系为，基本相等，函数

10、关系为：y=a0+a1x。第11页，共24页，编辑于2022年，星期六（2）隔项逐差）隔项逐差 求取物理量求取物理量例如：对下表伏安法测量电阻的数据进行处理，应用逐差例如：对下表伏安法测量电阻的数据进行处理，应用逐差法求电阻值。法求电阻值。表表1 伏安法测伏安法测100 电阻数据表电阻数据表 2008/2/10注：电压表量程注：电压表量程 7.5V，精度等级精度等级 1.0；电流表量程电流表量程 50mA 精度等级精度等级 1.0是否可以利用逐项求差法?第12页，共24页，编辑于2022年，星期六 利利用用逐逐差差法法求求取取物物理理量量，可可以以充充分分利利用用数数据据，消消除除一一些些定定

11、值值系系统统误误差差，减减小小随随机机误误差差的的影影响响，但但必必须须采采用用隔隔项项逐差方法，否则会失去效果。逐差方法，否则会失去效果。数据分为两组，隔数据分为两组，隔3 3项逐差，再取平均。即：项逐差，再取平均。即：第13页，共24页，编辑于2022年，星期六在在i2=最小最小的条件下求出的未知量的值，是未知量的最佳值。的条件下求出的未知量的值，是未知量的最佳值。最最小小二二乘乘法法是是应应用用最最小小二二乘乘法法原原理理处处理理数数据据的的方方法法。最最小小二二乘乘法法原原理理建建立立在在数数理理统统计计理理论论基基础础上上的的一一个个数数学学原原理理，被被广广泛泛地地应应用用于于许许

12、多多学学科科领领域域。如如数数据据处处理理中中的的实实验验曲曲线线的的拟拟合合、经经验验公公式式的的确确定定等等。最最小小二二乘乘法法应应用用非非常常广广泛泛，不不仅仅适适用用于于线线性性函函数数，也也可可应应用用于于非非线线性性函函数数.但但一一些些非非线线性性的的问问题题也也可可以以转转化化为为线线性性问问题题，所所以以我我们们只只讨讨论论一元线性函数的最小二乘法。一元线性函数的最小二乘法。一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理 i 为残差，定义为为残差，定义为线性函数的最小二乘法线性函数的最小二乘法第14页，共24页，编辑于2022年，星期六二、一元线性函数的最小二乘法二、一元线性函数的最

13、小二乘法直线方程 一般可表示为 从数学上看，要求 和 ，似乎只要测量两次，得 和 即可。由可求出 和 但是实际上是行不通的。如果只考虑 的误差，那么从图可见，作出直线的斜率和截距 的差别很大。由此可见测量的次数太少是不行的，只要增加测量次数可以解决问题。第15页，共24页，编辑于2022年，星期六设设y=bx+a，测测得得 x1，x2xn和和 y1，y2yn，求求a、b。根根据据测测量量数数据据可可以以得到一组观测方程：得到一组观测方程：一一般般情情况况下下，观观测测方方程程个个数数大大于于未未知知量量的的数数目目时时，a和和b的的解解不不能能确确定定。因因此此，现现在在的的问问题题是是如如何

14、何从从观观测测方程中确定方程中确定a和和b的最佳值，这就需要采用最小二乘法。的最佳值，这就需要采用最小二乘法。假定最佳方程为：假定最佳方程为：y=b0 x+a0，其中其中a0和和b0是最佳系数。为了简化计算，设测量是最佳系数。为了简化计算，设测量中中x方向的误差远小于方向的误差远小于 y 方向，可以忽略，只研究方向，可以忽略，只研究 y 方向的差异。残差方程组为：方向的差异。残差方程组为：第16页，共24页，编辑于2022年，星期六根据上式计算出最佳系数根据上式计算出最佳系数a0和和b0，得到最佳方程为：，得到最佳方程为：y=a0+b0 x一般计算器上都有上述计算功能，计算很方便。一般计算器上

15、都有上述计算功能，计算很方便。第17页，共24页，编辑于2022年，星期六 必须指出，任何一组观测值 都可以通过上式得到系数 和 ，也就是说 和 之间存在线性函数关系是预先设定好的，因此这种关系是否可靠需要验证。可以通过相关系数 来描述两个变量 、的线性关系的明显程度。是绝对值 的数，越大，说明两个变量的线性关系越明显。若 ，说明 与 间线性相关强烈；，说明实验数据点分散，与 无线性关系；(或 ）表示 随 增加而增加（或 随 增加而减小）第18页，共24页，编辑于2022年，星期六 根据数理统计理论，对于一定的n值，要大于某一临界值 时，才可以认为存在线性关系，下表中给出了各n值对应的 值。n

16、34567890.99980.9900.9590.9170.8740.8340.798n101112131415160.7650.7350.7080.6840.6610.6410.623n1718192021220.6060.5900.5750.5610.5490.537第19页，共24页，编辑于2022年，星期六三、最小二乘法应用举例三、最小二乘法应用举例为为确确定定电电阻阻随随温温度度变变化化的的关关系系式式，测测得得不不同同温温度度下下的的电电阻阻如如表表一一。试用最小二乘法确定关系式：试用最小二乘法确定关系式：R=a+b t。表一表一 电阻随温度变化的关系电阻随温度变化的关系t/19.

17、025.030.136.040.045.150.0R/76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：解：1.列表算出：列表算出：2.写出写出a、b的最佳值满足方程的最佳值满足方程第20页，共24页，编辑于2022年，星期六nt/R/t2/2R t/119.176.303651457225.077.806251945330.179.509062400436.080.8012962909540.082.3516003294645.183.9020343784750.085.1025004255n=7 =245.3 =566.00 =9326 =20044第21页，共24

18、页，编辑于2022年，星期六3.写出待求关系式：写出待求关系式：用用Excel可以很方便的求出拟合方程可以很方便的求出拟合方程 例例第22页，共24页，编辑于2022年，星期六四、非线性问题变换成线性问题四、非线性问题变换成线性问题1、乘幂函数 曲线改直为2、指数函数 曲线改直为应用：PN结物理特性实验中求经验公式用用Excel处理实验数据常用的函数有处理实验数据常用的函数有 1 求平均值 AVERAGE 2 求和 SUM3 求线性回归拟合方程的斜率 SLOPE 4 求截距 INTERCERT 5 求相关系数 CORREL第23页，共24页，编辑于2022年，星期六欢迎您提出宝贵意见欢迎您提出宝贵意见谢谢！谢谢！第24页，共24页，编辑于2022年，星期六