函数的插值法PPT讲稿.ppt

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1、函数的插值法第1页，共95页，编辑于2022年，星期五第第7 7章章 插值法插值法 插插值值法法是是函函数数逼逼近近的的重重要要方方法法之之一一，有有着着广广泛泛的的应应用用 。在在生生产产和和实实验验中中，函函数数f f(x x)或或者者其其表表达达式式不不便便于于计计算算复复杂杂或或者者无无表表达达式式而而只只有有函函数数在在给给定定点点的的函函数数值值(或或其其导导数数值值)，此此时时我我们们希希望望建建立立一一个个简简单单的的而而便便于于计计算算的的函函数数(x x)，或或为为各各种种离离散散数数据据建建立立连连续续模模型型，使使其其近近似似的的代代替替f f(x x)，具具体体有有很

2、很多多种种插插值值法法，其其中中以以拉拉格格朗朗日日(L La ag gr ra an ng ge e)插插值值和和牛牛顿顿(N Ne ew wt to on n)插插值值为为代代表表的的多多项式插值最有特点，常用的插值还有项式插值最有特点，常用的插值还有HermitHermit插值，分段插值，分段插值和样条插值。插值和样条插值。第2页，共95页，编辑于2022年，星期五 求近似函数的方法求近似函数的方法:由实验或测量的方法得到所求函数由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x)y=f(x)在互在互异点异点x x0 0,x,x1 1,.,x,.,xn n 处的值处的值 y y0 0,y,y1

3、1,y,yn n ,构造一个简单函数构造一个简单函数 p(x)p(x)作为函数作为函数 y=f(x)y=f(x)的近似表达式的近似表达式y=f(x)y=f(x)p(x)p(x)使使 p(x p(x0 0)=y)=y0 0,p(x,p(x1 1)=y)=y1 1,p(x,p(xn n)=y)=yn n ,(a)(a)这类问题称为这类问题称为插值问题插值问题。f(x)f(x)称为称为被插值函数被插值函数，p(x)p(x)称为称为插值函插值函数数，x x0 0,x,x1 1,.,x,.,xn n 称为称为插值节点插值节点。(a)(a)式称为式称为插值条件插值条件。常用的插值函数是多项式。常用的插值函

4、数是多项式。基本概念基本概念第3页，共95页，编辑于2022年，星期五第4页，共95页，编辑于2022年，星期五 估计估计f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b中某点中某点 的值时，的值时，当当 属于包含结点属于包含结点 的最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则称为的最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则称为外插。外插。在某一逼近函数类中选取的一组线性无关的函在某一逼近函数类中选取的一组线性无关的函数数 ，此时对应的插值函数，此时对应的插值函数 为：为：由插值条件确定由插值条件确定函数组函数组 称为插值基函数。称为插值基函数。第5页，共95页，编辑于2022年，星期五 最简单的插值函数是代数

5、多项式最简单的插值函数是代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+anxn,.(1)这时插值问题变为这时插值问题变为:求求n次多项式次多项式Pn(x),使满足插值条件使满足插值条件 pn(xi)=yi,i=0,1,2,，n,(2)只要求出只要求出Pn(x)的系数的系数a0,a1,an即可即可,为此由插值条件为此由插值条件(2)(2)知知P Pn n(x)(x)的系数满足下列的系数满足下列n+1n+1个代数方程构成的线性方程组个代数方程构成的线性方程组 a0+a1x0+anx0n=y0 a0+a1x1+anx1n=y1 .a0+a1xn+anxnn=yn (3)第6页，共95页，编辑于2022年，星

6、期五 而而ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是的系数行列式是Vandermonde行列式行列式 =(4)由于由于xi互异，所以互异，所以(4)右端不为零，从而方程组右端不为零，从而方程组(3)的解的解 a0,a1,an 存在且唯一。解出存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,n),Pn(x)就可构造出就可构造出来了。但遗憾的是方程组来了。但遗憾的是方程组(3)是病态方程组是病态方程组,当阶数当阶数n越高时，越高时，病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x)的方法的方法-Lagrange插值和插值和Newton插值。插值。第7页，共95页，编辑于20

7、22年，星期五Lagrange插值插值第8页，共95页，编辑于2022年，星期五 一、一、Lagrange插值多项式插值多项式 先从最简单的线性插值先从最简单的线性插值(n=1)(n=1)开始。这时插值开始。这时插值问题问题(2)(2)就是求一次多项式就是求一次多项式L1(x)=a0+a1x 使它满足条件使它满足条件L1(x0)=y0,L1(x1)=y1,令令L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1,由于由于l0(x0)=1,l0(x1)=0,l1(x0)=0,l1(x1)=1.第9页，共95页，编辑于2022年，星期五这样这样l0(x)含有因子含有因子x-x1,令令 l0(x)=(x-x1

8、),再利用再利用 l0(x0)=1确定其中的系数，结果得到确定其中的系数，结果得到x-x1 l0(x)=-,x0-x1类似的可得到类似的可得到 x-x0 l1(x)=-,x1-x0这样这样 。(5)l0(x),l1(x)称为以称为以x0,x1 为节点的为节点的插值基函数插值基函数。第10页，共95页，编辑于2022年，星期五 线性插值仅仅用两个节点以上的信息，精确度较差。线性插值仅仅用两个节点以上的信息，精确度较差。为了提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值问题为了提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值问题：作二次多项式作二次多项式 L2(x)=a0+a1x+a2x2使其满足条件使其满足条

9、件L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2令令 L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2。由。由l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=0,l1(x0)=0,l1(x1)=1,l1(x2)=0,l2(x0)=0,l2(x1)=0,l2(x2)=1.第11页，共95页，编辑于2022年，星期五这样这样 l0(x)含有含有 x-x1,x-x2 两个因子，令两个因子，令 l0(x)=(x-x1)(x-x2),利用利用 l0(x0)=1 确定其中的系数确定其中的系数，得，得 (x-x1)(x-x2)l0(x)=-,(x0-x1)(x0-x2)类似的可以得出

10、类似的可以得出 l1(x),l2(x):(x-x0)(x-x2)(x-x0)(x-x1)l1(x)=-,l2(x)=-.(x1-x0)(x1-x2)(x2-x0)(x2-x1)于是于是 (x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2)(x-x0)(x-x1)L2(x)=-y0+-y1+-y2 .(6)(x0-x1)(x0-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x2-x0)(x2-x1)l0(x),l1(x),l2(x)称为以称为以 x0,x1,x2为节点的为节点的插值基函数插值基函数。第12页，共95页，编辑于2022年，星期五 仿照线性插值和二次插值的办法，仿照线性插值和二次插值的办法，进一步

11、讨论一般形式的进一步讨论一般形式的 n 次多项次多项式式 Ln(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,使其满足使其满足 Pn(x0)=y0,Pn(x1)=y1,.,Pn(xn)=yn (7)我们仍从构造插值基函数着手，先对某个固定的下标我们仍从构造插值基函数着手，先对某个固定的下标 i，作，作 n 次多项式次多项式 li(x),使其满足条件使其满足条件 (8)容易求得容易求得 (x-x0)(x-x1).(x-xi-1)(x-xi+1).(x-xn)li(x)=-=(xi-x0)(xi-x1).(xi-xi-1)(xi-xi+1).(xi-xn)第13页，共95页，编辑于2022年，星期五 .

12、(9)公式（公式（9）就是）就是Lagrange插值多项式，插值多项式，li(x)称为以称为以x0,x1,.,xn为节点的为节点的Lagrange插值基函数。插值基函数。第14页，共95页，编辑于2022年，星期五 二二、Lagrange插值的截断误差插值的截断误差定理定理:设设Ln(x)是过点是过点x0，x1，x2，xn的的 n 次插值多次插值多项式，项式，f(n+1)(x)在在a，b上存在，上存在，其中其中a，b是包含点是包含点x0，x1，x2，,xn的任一区间，的任一区间，则对任意给定的则对任意给定的x a，b，总存在一点，总存在一点（a，b）（依赖于）（依赖于x）使）使 (10)其中其

13、中 ，f(n+1)()是是f(x)的的n+1阶微商在阶微商在 的值。的值。第15页，共95页，编辑于2022年，星期五证明证明:记记Rn(x)=f(x)-Ln(x)显然显然 Rn(xi)=0,i=0,1,n,故可设故可设Rn(x)=K(x)n+1(x)现在现在a,b上任意固定一点上任意固定一点x,引进辅助函数引进辅助函数 g(t)=f(t)-Ln(t)-K(x)n+1(t),(*)则则g(t)在在a,b上上具具有有n阶阶连连续续导导数数，在在(a,b)内内存存在在n+1阶阶导导数数，在在 t=x0,x1,xn,x诸诸点点处处皆皆等等于于零零,即即g(t)在在a,b中中有有n+2个个零零点点,由

14、由Rolle定定理理知知g(t)在在a,b中中有有n+1个个零零点点,如如此此反反复复，最最后后可可推推知知g(n+1)(t)在在a,b中有中有1个零点个零点,，即有，即有 g(n+1)()=0,a b.第16页，共95页，编辑于2022年，星期五因因为为 n+1(t)是是 n+1次次 多多 项项 式式，n+1(n+1)(t)=(n+1)!,又又因因为为Ln(t)是是次次数数为为n的的多多项项式式,因因此此Ln(n+1)(t)=0。这这样样，由由(*)式便有式便有 由此得由此得 K(x)=f(n+1)()/(n+1)!.代入代入Rn(x)=K(x)n+1(x),定理得证定理得证.第17页，共9

15、5页，编辑于2022年，星期五上上式式称称为为带带余余项项的的Lagrange插插值值公公式式,只只要要f(x)具具有有n+1阶阶导导数数,就有上式成立就有上式成立,其余项为其余项为 特别，当特别，当n=1时，取时，取x0=a,x1=b，则有，则有令令x1-x0=b-a=h,x=x0+t h,0 t 1 则则易证，当易证，当0 t 1时时,|t(1-t)|的最大值为的最大值为1/4，第18页，共95页，编辑于2022年，星期五 应当指出，余项表达式只有在应当指出，余项表达式只有在 f(x)的高阶导数存在时才的高阶导数存在时才能应用。能应用。在在（a，b）内的具体位置通常不可能给出，如果）内的具

16、体位置通常不可能给出，如果我们可以求出我们可以求出 那么插值多项式那么插值多项式pn(x)逼近逼近f(x)的截断误差是的截断误差是(11)性性质质：假假设设x0,x1,xn 是是n+1个个互互异异节节点点,函函数数f(x)在在这这组组节节点点的的值值f(xk)(k=0,1,n)是是给给定定的的，那那么么存存在在唯唯一一的的n 次次次次多多项式项式pn(x)满足满足 pn(xk)=f(xk),k=0,1,n第19页，共95页，编辑于2022年，星期五 三、三、三、三、例题：例题：已给已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插

17、值及抛物插值计算用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差。的值并估计截断误差。解：解：由题意取由题意取x0=0.32,y0=0.314567,x1=0.34,y1=0.333487,x2=0.36,y2=0.352274。用线性插值及抛物插值计算，取用线性插值及抛物插值计算，取 x0=0.32 及及 x1=0.34,又又由公式得由公式得 y1-y0sin0.3367 L1(0.3367)=y0+(0.3367-x0)x1-x0 0.01892=0.314567+(0.0167)=0.330365.0.02第20页，共95页，编辑于2022年，星期五其截断误差得其截断误差

18、得其中其中 ，因，因 f(x)=sinx，f/(x)=-sinx，可取可取，于是，于是 R1(0.3367)=sin 0.3367 L1(0.3367)1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033)0.92 105，若取若取x1=0.34，x2=0.36为节点，则线性插值为为节点，则线性插值为，第21页，共95页，编辑于2022年，星期五其截断误差为其截断误差为，其中其中于是于是 用抛物插值计算用抛物插值计算 sin0.3367时，可得时，可得第22页，共95页，编辑于2022年，星期五这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这

19、说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差得时用二次插值精度已相当高了。其截断误差得其中其中于是于是第23页，共95页，编辑于2022年，星期五例例2:已测得某地大气压强随高度变化的一组数据已测得某地大气压强随高度变化的一组数据高度高度(m)0 100 300 1000 1500 2000 .压强压强(kgf/m2)0.9689 0.9322 0.8969 0.8515 0.7984 0.7485 试用二次插值法求试用二次插值法求1200米处的压强值米处的压强值.2023/4/12第24页，共95页，编辑于2022年，星期五解：设解：设x为高度，为高度，y为大气压强的值，为大气压强的值，选

20、取选取(1000,0.8515),(1500,0.7984),(2000,0.7485)三点构造二三点构造二次插值多项式次插值多项式 (x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2)(x-x0)(x-x1)p2(x)=-y0+-y1+-y2 (x0-x1)(x0-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x2-x0)(x2-x1)代入已知的数值，得代入已知的数值，得 p2(1200)=0.8515(1200-1500)(1200-2000)/(1000-1500)(1000-2000)+0.7984(1200-1000)(1200-2000)+0.7485(1200-1000)(1200-1500)

21、/(2000-1000)(2000-1500)=300*800*0.8515/500/1000+200*800*0.7984/500/500-200*300*0.7485/500/1000=0.82980所以所以 y(1200)p2(1200)=0.82980(kgf/m2)第25页，共95页，编辑于2022年，星期五 插值函数，插值节点n次插值基函数范德蒙(Vandermonde)行列式拉格朗日(Lagrange)插值多项式插值余项第26页，共95页，编辑于2022年，星期五 用代数多项式作为研究插值的工具，就是所谓的代数插值。用代数多项式作为研究插值的工具，就是所谓的代数插值。对代数插值来

22、说，问题的提法是这样的，当给出了对代数插值来说，问题的提法是这样的，当给出了n+1个个点上的一张函数表后，要构造一个多项式点上的一张函数表后，要构造一个多项式p(x)，满足下面两个条，满足下面两个条件：件：(1)p(x)是一个不超过是一个不超过 n 次的多项式；次的多项式；(2)在给定的点在给定的点xi(I=0,1,n)上与上与 f(xi)取相同值，即取相同值，即 p(xi)=yi (I=0,1,n)。我们称我们称p(x)为为 f(x)的的插值函数插值函数插值函数插值函数，点，点 xi 为为插值节点插值节点插值节点插值节点。插值函数是计算方法的基本工具。插值函数是计算方法的基本工具。第27页，

23、共95页，编辑于2022年，星期五若若 n 次多项式次多项式 li(x)(i=0,1,.,n)在在n+1个节点个节点 x0 x1.xn上满足条件上满足条件就称这就称这n+1个个n次多项式次多项式l0(x),l1(x),ln(x)为节点为节点x0，x1，,xn上的上的n 次插值基函数。次插值基函数。第28页，共95页，编辑于2022年，星期五 插值余项插值余项：若在：若在a，b上用上用pn(x)近似近似 f（x）,则截断误差为则截断误差为 Rn(x)=f(x)-pn(x),也称为插值多项也称为插值多项式的式的余项余项。第29页，共95页，编辑于2022年，星期五 Vandermonde行列式行列

24、式 =第30页，共95页，编辑于2022年，星期五形如形如的插值多项式的插值多项式Ln(x)称为称为拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值多项式插值多项式。第31页，共95页，编辑于2022年，星期五插值基函数性质插值基函数性质第32页，共95页，编辑于2022年，星期五第33页，共95页，编辑于2022年，星期五第34页，共95页，编辑于2022年，星期五则有：则有：第35页，共95页，编辑于2022年，星期五Newton插值第36页，共95页，编辑于2022年，星期五 拉格朗日插值多项式形式对称，计算较方便但由于拉格朗日插值多项式形式对称，计算较方便但由于p(x)依赖于全部基点，若算出所

25、有依赖于全部基点，若算出所有p(x)后又需要增加基点，则必后又需要增加基点，则必须重新计算，为了克服这个缺点，我们引进牛顿差商插值须重新计算，为了克服这个缺点，我们引进牛顿差商插值多项式。多项式。为为了了使使Newton插插值值多多项项式式具具有有承承袭袭性性，令令插插值值函函数数具具有有下列形式：下列形式：式中式中称称为为Newton插插值值基基函函数数。为为求求出出Nn(x),利利用用插插值值条条件件，我我们们先先给给出差商概念。出差商概念。第37页，共95页，编辑于2022年，星期五差商及其性质差商及其性质定义给定一个函数表定义给定一个函数表记记 一般的一般的,f(x)关于关于xi,xi

26、+1,xi+k的的k 阶差商记作阶差商记作 fxi,xi+1,xi+k 第38页，共95页，编辑于2022年，星期五第39页，共95页，编辑于2022年，星期五 定理定理:差商具有如下性质差商具有如下性质 (1)差商与函数值的关系为差商与函数值的关系为(2)差商的值与结点排列顺序无关差商的值与结点排列顺序无关第40页，共95页，编辑于2022年，星期五第41页，共95页，编辑于2022年，星期五第42页，共95页，编辑于2022年，星期五第43页，共95页，编辑于2022年，星期五第44页，共95页，编辑于2022年，星期五第45页，共95页，编辑于2022年，星期五第46页，共95页，编辑于

27、2022年，星期五 因因此此，每每增增加加一一个个结结点点，NewtonNewton插插值值多多项项式式只只增加一项，克服了增加一项，克服了 Lagrange Lagrange插值的缺点。插值的缺点。必须注意，n次代数插值问题的解是存在且唯一的，因此，Newton插值与Lagrange 插值只是形式上不同，若将它们按x的幂展开，所得的多项式是完全一样的。第47页，共95页，编辑于2022年，星期五第48页，共95页，编辑于2022年，星期五第49页，共95页，编辑于2022年，星期五第50页，共95页，编辑于2022年，星期五插插 商商 表表第51页，共95页，编辑于2022年，星期五 例例1

28、:给定数据表给定数据表f(x)=lnx数据表数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00f(xi)0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1.构造差商表构造差商表 2.用用二二次次Newton差差商商插插值值多多项项式式，近近似似计计算算f(2.65)的值的值 3.写出四次写出四次Newton差商插值多项式差商插值多项式N4(x)解解:差商表差商表第52页，共95页，编辑于2022年，星期五第53页，共95页，编辑于2022年，星期五第54页，共95页，编辑于2022年，星期五N2(x)=0.87547+0.40010(x-2.40)-

29、0.073875(x-2.40)(x-2.60)f(2.65)N2(2.65)N4(x)=0.78846 +0.43505(x-2.20）-0.087375(x-2.20)(x-2.40)+0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)-0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80)第55页，共95页，编辑于2022年，星期五第56页，共95页，编辑于2022年，星期五第57页，共95页，编辑于2022年，星期五第58页，共95页，编辑于2022年，星期五第59页，共95页，编辑于2022年，星期五第60页，共95页，编辑于2022年，星期五第61

30、页，共95页，编辑于2022年，星期五第62页，共95页，编辑于2022年，星期五第63页，共95页，编辑于2022年，星期五所以有：第64页，共95页，编辑于2022年，星期五结论成立。第65页，共95页，编辑于2022年，星期五第66页，共95页，编辑于2022年，星期五第67页，共95页，编辑于2022年，星期五余项为：第68页，共95页，编辑于2022年，星期五第69页，共95页，编辑于2022年，星期五 在实际问题中，往往会遇到某函数在实际问题中，往往会遇到某函数f(x)是用表格表示的，用通常的导数定义无是用表格表示的，用通常的导数定义无法求导，因此要寻求其他方法近似求导。法求导，因

31、此要寻求其他方法近似求导。插值法是我们找到的一个最简单的方法插值法是我们找到的一个最简单的方法.因为用因为用f(x)的代数插值函数的代数插值函数p(x)来代替来代替它，提醒我们用它，提醒我们用p(x)的导数来代替的导数来代替f(x)导导数作近似计算数作近似计算。第70页，共95页，编辑于2022年，星期五插值型求导公式插值型求导公式 设设pn(x)是是f(x)的过点的过点x0，x1，x2，xn a，b的的 n 次插值多项式，由次插值多项式，由Laglange插值余项知对任插值余项知对任意给定的意给定的x a，b，总存在如下关系式，总存在如下关系式:若取数值微分公式若取数值微分公式第71页，共9

32、5页，编辑于2022年，星期五误差为误差为:第72页，共95页，编辑于2022年，星期五第73页，共95页，编辑于2022年，星期五 因此插值型求导公式常用因此插值型求导公式常用于求节点处的导数值。于求节点处的导数值。第74页，共95页，编辑于2022年，星期五 常用的数值微分公式是常用的数值微分公式是n=1,2,3的的插值型微分公式插值型微分公式,如如:当当n=1时时,有有第75页，共95页，编辑于2022年，星期五当当n=2时时,有有第76页，共95页，编辑于2022年，星期五Hermite 插值第77页，共95页，编辑于2022年，星期五v一.问题描述 v二.定义v三.定理v四.构造函数

33、v五.例题v六.一般插值第78页，共95页，编辑于2022年，星期五 假设函数假设函数y=f(x)y=f(x)是在是在a,ba,b上有一定光滑上有一定光滑性的函数性的函数,在在x xo oxxn n处是处是n+1n+1个异点个异点,f(x),f(x)在在这些点上取值这些点上取值y yo o.y.yn n.求一个确定的函求一个确定的函数数p(x)p(x)在上面在上面n+1n+1个点上满足个点上满足p(xp(xi i)=y)=yi i i=0,1,n.i=0,1,n.这是最简单的插值问题这是最简单的插值问题,如果除如果除了知道了知道f(x)f(x)在插值基点上的取值外在插值基点上的取值外,还知道还

34、知道f(x)f(x)在插值基点上的其他描述在插值基点上的其他描述(如知道如知道f(x)f(x)在插值基点上的导数值在插值基点上的导数值)。如何来构造插值。如何来构造插值函数呢函数呢?一一.问题描述问题描述第79页，共95页，编辑于2022年，星期五 Hermite插值插值也叫带指定微商值也叫带指定微商值的插值，它要构造一个插值函数，不的插值，它要构造一个插值函数，不但在给定节点上取函数值，而且取已但在给定节点上取函数值，而且取已知微商值，使插值函数和被插函数的知微商值，使插值函数和被插函数的密和程度更好密和程度更好。第80页，共95页，编辑于2022年，星期五 f(x)是区间是区间 a,b 上

35、上 n+1个互异节点个互异节点a=x0 x1x2xn=b，定义在定义在a,b上的函数上的函数f(x)在节点上满足在节点上满足 f(xi)=yi f(xi)=y i i=0,1,2n 求一个次数不高于求一个次数不高于2n+1次的插值多项式次的插值多项式H(x)满足满足2n+2个条件个条件 H(xi)=yi H(xi)=y i i=0,1,2n 若若H(x)存在，则称为函数存在，则称为函数f(x)的的Hermite插值多项式。因为插值多项式。因为 H(x)是一个次数不高于是一个次数不高于2n+1次的多项式，常记为次的多项式，常记为H2n+1(x).二二.定义定义第81页，共95页，编辑于2022年

36、，星期五定理一定理一:满足插值条件满足插值条件 H(xi)=yi H(xi)=yi i=0,1,2n 且次数不大于且次数不大于2n+1的多项式是唯一的。的多项式是唯一的。三三.定理定理第82页，共95页，编辑于2022年，星期五证明证明:令令p(x)和和q(x)是两个次数不高于是两个次数不高于2n+1的多项式且在插值基点都满足以上的多项式且在插值基点都满足以上插值条件插值条件,即即:p(xi)=q(xi)=yi,p(xi)=q(xi)=y i,i=0,1,2n令令 F(x)=p(x)-q(x),有有F(xi)=0,F(xi)=0,i=0,1,2,.n故故F(x)有有2n+2个根。由于个根。由于

37、p(x),q(x)都是都是次数不高于次数不高于2n+1的多项式的多项式,由代数基本定理由代数基本定理知知F(x)=p(x)-q(x)0,所以有所以有 p(x)q(x),多项式唯一。多项式唯一。第83页，共95页，编辑于2022年，星期五 定理二定理二:f(x)在区间在区间a,b存在存在2n+2阶导阶导数数,则其则其Hermite插值余项为插值余项为:第84页，共95页，编辑于2022年，星期五第85页，共95页，编辑于2022年，星期五第86页，共95页，编辑于2022年，星期五第87页，共95页，编辑于2022年，星期五第88页，共95页，编辑于2022年，星期五 设设Hermite插值函数

38、插值函数 n n H2n+1(x)=Li(x)yi+hi(x)yi i=0 i=0 Li(x)，hi(x)都是不高于都是不高于2n+1次的多项式，类似次的多项式，类似Lagrange插值，利用插值，利用Hermite插值条件可得：插值条件可得：Li(xj)=ij hi(xj)=0 Li(xj)=0 hi(xj)=ij i,j=0,1,2n 从而可设从而可设 Li(x)=(aix+bi)li(x)2 hi(x)=(cix+di)li(x)2四四.构造函数构造函数第89页，共95页，编辑于2022年，星期五这里这里 l li i(x)(x)=(x-x=(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)(x

39、-x(x-xi-1i-1)(x-x)(x-xi+1i+1)(x-x(x-xn n)a ai i,b,bi i,c,ci i,d,di i为待定系数为待定系数,分别由分别由L Li i(x(xi i)=1)=1 和和L Li i(x(xi i)=0)=0 及及h hi i(x(xi i)=1)=1 (i=0,1,2 (i=0,1,2,n),n)确定确定.三次三次HermiteHermite插值函数的构造插值函数的构造(n=1,2n+1=3(n=1,2n+1=3)已知数表：已知数表：x xx x0 0 x x1 1 y y y y0 0 y y1 1 y y y y0 0 y y1 1 求一个三次

40、求一个三次HermiteHermite插值函数插值函数H H3 3(x).(x).解解:H:H3 3(x)=(x)=y y0 0L L0 0(x)+(x)+y y1 1L L1 1(x)+(x)+y y0 0h h0 0(x)+(x)+y y1 1h h1 1(x)(x)对对 x=x x=x0 0,有有 L L0 0(x(x0 0)=1 )=1 L L1 1(x(x0 0)=0)=0 h h0 0(x(x0 0)=0)=0 h h1 1(x(x0 0)=0)=0 L L0 0(x(x0 0)=0 )=0 L L1 1(x(x0 0)=0)=0 h h0 0(x(x0 0)=1 )=1 h h1

41、 1(x(x0 0)=0)=0 对对 x=x x=x1 1,有有 L L0 0(x(x1 1)=0)=0 L L1 1(x(x1 1)=1 )=1 h h0 0(x(x1 1)=0)=0 h h1 1(x(x1 1)=0)=0 L L0 0(x(x1 1)=0)=0 L L1 1(x(x1 1)=0)=0 h h0 0(x(x1 1)=0)=0 h h1 1(x(x1 1)=1 )=1 第90页，共95页，编辑于2022年，星期五L L0 0(x)=(a(x)=(a0 0 x+bx+b0 0)(x-x)(x-x1 1)2 2h h0 0(x)=a(x-x(x)=a(x-x0 0)(x-x)(x

42、-x1 1)2 2解之得解之得L L0 0(x)=1+2*(x-x(x)=1+2*(x-x0 0)/(x)/(x1 1-x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)/(x)/(x0 0-x-x1 1)2 2h h0 0(x)=(x-x(x)=(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)/(x)/(x0 0-x-x1 1)2 2同理有同理有L L1 1(x)=1+2*(x-x(x)=1+2*(x-x1 1)/(x)/(x0 0-x-x1 1)(x-x)(x-x0 0)/(x)/(x1 1-x-x0 0)2 2h h1 1(x)=(x-x(x)=(x-x1 1)(x-x)(x-x0 0)/(x)/(x1

43、 1-x-x0 0)2 2第91页，共95页，编辑于2022年，星期五 求过求过0,1两点构造一个三次插值多项式两点构造一个三次插值多项式,满足条件满足条件 f(0)=1,f(0)=1/2,f(1)=2,f(1)=1/2 解解:设设 H3(x)=Y0l0(x)+y1l 1(x)+y 0 h0(x)+y1h 1(x)因为因为 l0(x)=(ax+b)(x-1)2 利用利用 l0(0)=1和和l0 (0)=0,得得 b=1,a=2.所以有所以有l0(x)=(2x+1)(x-1)2 同理可得同理可得 l1(x)=(3-2x)x2 h0(x)=x(x-1)2 h1(x)=x2(x-1)所以所以 H3(

44、x)=(1+2x)(x-1)2+2(3-2x)x2+0.5(x-1)2x+0.5(x-1)x2 =-x3+1.5x2+0.5x+1五五.例题例题:第92页，共95页，编辑于2022年，星期五 实际问题中还会有其他的插值问题实际问题中还会有其他的插值问题,这类问题可用这类问题可用LagrangeLagrange插值插值基函数的方法解决基函数的方法解决.如已知数据表：如已知数据表：x 0 1 x 0 1 y y y y0 0 y y1 1 y y y y0 0 求过求过0,10,1两点构造一个插值多项式两点构造一个插值多项式p(x)p(x),满足条件满足条件 p(0)=p(0)=y y0 0,p,

45、p(0)=(0)=y y0 0,p(1)=,p(1)=y y1 1 解解:他有三个条件他有三个条件,故故p(x)p(x)可设为二次多项式可设为二次多项式 p p(x)=y(x)=y0 0 L L0 0(x)+y(x)+y1 1 L L1 1(x)(x)+y+y0 0 h h0 0(x)(x)这里这里L L0 0(x),L(x),L1 1(x),(x),h h0 0(x)(x)都是二次多项式都是二次多项式,由插值条件得由插值条件得对对 x=x x=x0 0=0=0有有 L L0 0(0)=1 L(0)=1 L1 1(0)=0 h(0)=0 h0 0(0)=0 (0)=0 L L0 0(0)=0

46、L(0)=0 L1 1(0)=0 h(0)=0 h0 0(0)=1 (0)=1 对对 x=x x=x1 1=1=1有有 L L0 0(1)=0 L(1)=0 L1 1(1)=1 h(1)=1 h0 0(1)=0 (1)=0 六六.一般插值一般插值第93页，共95页，编辑于2022年，星期五 由条件由条件 L L0 0(0)=1,L(0)=1,L0 0(0)=0,L(0)=0,L0 0(1)=0,(1)=0,可设可设 L L0 0(x)=(ax+b)(x-1)(x)=(ax+b)(x-1)利用利用L L0 0(0)=1,L(0)=1,L0 0(0)=0,(0)=0,得得 b=a=-1.b=a=-1.所以所以:L:L0 0(x)=(-x-1)(x-1)=1-x(x)=(-x-1)(x-1)=1-x2 2 同理可得同理可得L L1 1(x)=x(x)=x2 2 h h0 0(x)=x(1-x)(x)=x(1-x)所以所以 p(x)=p(x)=y y0 0(1-x(1-x2 2)+)+y y1 1 x x2 2+y y0 0(1-x)x(1-x)x 其余项表达式为其余项表达式为 第94页，共95页，编辑于2022年，星期五第95页，共95页，编辑于2022年，星期五