D92二重积分的计算12746.pptx

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1、同样,曲顶柱体的底为则其体积可按如下两次积分计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共23页二、利用直角坐标计算二重积二、利用直角坐标计算二重积分分且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共23页说明说明:(1)若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型型区域区域,为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共23页例例1.计算计算其中D 是直线 y1,x

2、2,及yx 所围的闭区域.解法解法1.将D看作X型区域,则解法解法2.将D看作Y型区域,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共23页例例2.计算计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共23页例例3.计算计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:先对 x 积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共23页例例4.交换下列积分顺序交换下列积分顺序解解:积分域由两部分组成:视为Y型区域,则机动 目

3、录 上页 下页 返回 结束 第7页/共23页例例5.计算计算其中D 由所围成.解解:令(如图所示)显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共23页P95 1(1),(4);2(3),(4);5;6(2),(4);8.作业作业第9页/共23页对应有三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆 r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数,分划区域D 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共23页即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共23页设设则特别特别,对机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共23页若

4、 f 1 则可求得D 的面积思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:问 的变化范围是什么?(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共23页例例6.计算计算其中解解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共23页注注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D 为 R2 时,利用例6的结果,得故式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共23页例例7.求球体求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解解:设由对称性可知机

5、动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共23页内容小结内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为则 若积分区域为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共23页则极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为若积分区域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共23页(2)计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共23页1.交换积分顺序交换积分顺序提示提示:积分域如图机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习第20页/共23页2.计算计算其中D 为由圆所围成的及直线解：解：平面闭区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共23页作业作业P95 11(2),(4);13(3),(4);14(2),(3);15(1),(4)第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共23页感谢您的欣赏！第23页/共23页