Chebyshev多项式学习教程.pptx

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1、记集合记集合为所有首项系数为为所有首项系数为1 1的的n次代数多项式的全体。次代数多项式的全体。则上述最佳逼近问题等价于问题：则上述最佳逼近问题等价于问题：求求使之满足使之满足因此，常称上述最佳逼近问题为与零偏差最小问题。因此，常称上述最佳逼近问题为与零偏差最小问题。第1页/共20页一、一、Chebyshev多项式多项式 考虑变换考虑变换它为它为上的一一映射，上的一一映射，令令由三角恒等式由三角恒等式第2页/共20页性质性质1 1性质性质2 2 第3页/共20页第4页/共20页第5页/共20页第6页/共20页由上式知，由上式知，由由Chebyshev定理知定理知 ：第7页/共20页定理定理3.

2、5 3.5 在首项系数为在首项系数为1 1的所有的所有n次多项式中次多项式中,对零的偏差最小。对零的偏差最小。则则 推论推论 设设是首项系数为是首项系数为1 1的的n次多项式，次多项式，Chebyshev多项式多项式第8页/共20页第9页/共20页1 1、代数插值多项式余项的极小化代数插值多项式余项的极小化二、二、Chebyshev多项式的两个重要应用多项式的两个重要应用 所谓代数插值多项式余项的极小化问题是：所谓代数插值多项式余项的极小化问题是：第10页/共20页使使尽可能地小。尽可能地小。如何选取节点如何选取节点 换句话说，是在首项系数为换句话说，是在首项系数为1 1的的n+1次多项式中，

3、次多项式中，寻找与零偏差最小的代数多项式。寻找与零偏差最小的代数多项式。第11页/共20页由定理由定理3.53.5知，知，当插值节点取成当插值节点取成n+1次次Chebyshev多项式的零点时多项式的零点时即即这时有截断误差估计这时有截断误差估计 可达到最小，可达到最小，第12页/共20页注 由上面误差估计式知：第13页/共20页2 2、利用利用Chebyshev多项式降低近似多项式项数多项式降低近似多项式项数 可提高计算效率和改善其整体逼近效果。可提高计算效率和改善其整体逼近效果。Taylor逼近是一种局部逼近，逼近是一种局部逼近，利用利用Chebyshev多项式对它进行改造多项式对它进行改

4、造第14页/共20页上式可由上式可由Chebyshev多项式多项式表成表成 第15页/共20页可见可见k越大越大的系数就越小，的系数就越小，由于由于因此可略去含次数高的因此可略去含次数高的的项。的项。降低逼近多项式的次数，降低逼近多项式的次数，从而大大节省了计算工作量。从而大大节省了计算工作量。第16页/共20页则有则有而若按而若按Taylor展式截断到展式截断到x5这一项则有这一项则有则则约为前者绝对误差的约为前者绝对误差的3333倍。倍。第17页/共20页两种近似的误差曲线如下图所示两种近似的误差曲线如下图所示第18页/共20页由图可知：由图可知：当x在原点附近时，Taylor逼近误差非常小，但越偏离原点，其误差就越大。而运用Chebyshev多项式调整后，误差分布显得均匀，较一致较一致地逼近 。第19页/共20页谢谢您的观看！第20页/共20页