D常数项级数同济大学高等数学上.pptx

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1、常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节第一节 第十一章 第1页/共25页一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积 A.设 a0 表示即内接正三角形面积,ak 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共25页引例引例2.小球从 1 米高处自由落下,每次跳起的高度减少一半,问小球是否会在某时刻停止运动?说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为(s)设 tk

2、 表示第 k 次小球落地的时间,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共25页定义定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称 S 为级数的和,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共25页当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共25页例例1.讨论等比级数讨论等比级数(又称几何级数)(q 称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共

3、25页2).若因此级数发散;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共25页例例2.判别下列级数的敛散判别下列级数的敛散性性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共25页(2)所以级数(2)收敛,其和为 1.技巧:利用“拆项相消”求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共25页 例例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共25页二、无穷级数的基本性质

4、二、无穷级数的基本性质 性质1.若级数收敛于 S,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为 c S.说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为 c S.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共25页性质性质2.设有两个收敛级设有两个收敛级数数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数也收敛,其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共25页说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共25页性质性质3.在级

5、数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.证:将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共25页性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共25页例例4.判断级数的敛散判断级数

6、的敛散性性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共25页三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 设收敛级数则必有证:可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共25页注意注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于 S,则但矛盾!所以假设不真.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共25页例例5.判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性,若收敛求其若收敛求其和和:解:(1)令则故从而这说明级数

7、(1)发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共25页因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共25页这说明原级数收敛,其和为 3.(3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共25页的充要条件是:*四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 定理.有证:设所给级数部分和数列为因为所以,利用数列 的柯西审敛原理(第一章第六节)即得本定理的结论.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共25页例例6.解:有利用柯西审敛原理判别级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共25页当 nN 时,都有由柯西审敛原理可知,级数 作业 P192 1(1),(3)；2(2),(3),(4)；3(2)；4(1),(3),(5);*5(3),(4)第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共25页感谢您的欣赏！第25页/共25页