弹性系统的二维和三维振动分析.ppt

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1、第二篇第二篇 连续系统的线性振动连续系统的线性振动第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析 薄膜变形后，其势能的增加薄膜变形后，其势能的增加可借薄膜表面积的增大与均可借薄膜表面积的增大与均匀拉力的乘积来得到：匀拉力的乘积来得到：9-1 膜的振动膜的振动 图图9.1.1 矩形薄膜及其薄膜力矩形薄膜及其薄膜力一、薄膜的变形势能一、薄膜的变形势能 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析三、运动微分方程：三

2、、运动微分方程：二、薄膜的动能：二、薄膜的动能：薄膜所受的横向荷载薄膜所受的横向荷载：四、自由振动方程：四、自由振动方程：设解：设解：，得特征方程：，得特征方程：FT为截面单位长度上的均匀拉力为截面单位长度上的均匀拉力,m为薄膜单位面积上的质量为薄膜单位面积上的质量 运动微分方程运动微分方程 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析9.1.1 矩形薄膜矩形薄膜 薄膜在矩形边界上的挠度薄膜在矩形边界上的挠度 w=0，设解：，设解：代入特征方程得固有频率：代入特征方程得固有频率：薄膜振动的一般解：薄膜振动的一般解：根据薄膜的初始条件或所受的动荷载，并应用振型函数的正交根

3、据薄膜的初始条件或所受的动荷载，并应用振型函数的正交性条件，可以容易地求出系统的自由振动或受迫振动响应。性条件，可以容易地求出系统的自由振动或受迫振动响应。9.1.1 矩形薄膜矩形薄膜 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析矩形薄膜的模态振型矩形薄膜的模态振型 当当m=n=1时，得四边固定膜的基频和相应振型函数时，得四边固定膜的基频和相应振型函数:高阶频率与振型高阶频率与振型:矩形薄膜的模态振型矩形薄膜的模态振型 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析对于方膜，有对于方膜，有f12=f21，并存在组合模态：，并存在组合模态：图图9.1

4、.2 矩形薄膜的振型矩形薄膜的振型(a)：Y12=0，W=W21；(b)：Y21=0，W=W12；(c)：组合模态，：组合模态，Y12=Y21；(d)：组合模态，：组合模态，Y12=Y21；方膜的组合模态方膜的组合模态 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析9.1.2 圆形薄膜圆形薄膜柱坐标系下的运动方程：柱坐标系下的运动方程：设设解：解：其中：其中：代入方程得：代入方程得：9.1.2 圆形薄膜圆形薄膜 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析薄膜自由振动的解薄膜自由振动的解整理得整数贝塞尔整理得整数贝塞尔(Bessel)方程方程 其中

5、：其中：整数贝塞尔方程的解为整数贝塞尔方程的解为:根据第二类贝塞尔函数的性质：根据第二类贝塞尔函数的性质：为使解在膜的圆心处为有限值：为使解在膜的圆心处为有限值：故得圆形薄膜自由振动的解：故得圆形薄膜自由振动的解：第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析图图9.1.3 圆形薄膜的振型圆形薄膜的振型圆膜的振型圆膜的振型当当r=a时，圆膜周边固定，即：时，圆膜周边固定，即：频率方程：频率方程：Jn(x)的零点即为圆膜的固有频率，振型见下图。的零点即为圆膜的固有频率，振型见下图。第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析表表9.1.1 9.1.1

6、 J Jn n(x x)的零点的零点 Sn=0n=1n=2n=3n=4n=512.4053.8325.1366.3807.5868.78025.5207.0168.4179.76111.06412.33938.65410.17311.620 13.017 14.37315.700411.79213.32314.796 16.224 17.61618.982514.93116.47017.960 19.410 20.82722.220618.07119.61621.117 22.583 24.01825.431721.21222.76024.270 25.749 27.20028.628824.

7、35325.90327.421 28.909 30.37131.813表表9.1.1 Jn(x)的零点的零点其中其中n表示圆膜的节线数，表示圆膜的节线数，S 表示圆膜的节圆数。表示圆膜的节圆数。第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析9-2 薄板的横向振动薄板的横向振动 9-2 薄板的横向振动薄板的横向振动 忽略剪切变形，采用直法线假设，位移函数可取为：忽略剪切变形，采用直法线假设，位移函数可取为：应变分量：应变分量：图图9.2.1 矩形薄板及其坐标系矩形薄板及其坐标系 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析薄板内力计算过程薄板内力计算

8、过程1.由弹性力学平面应变问题的物理方程得到相由弹性力学平面应变问题的物理方程得到相应的应力分量应的应力分量x、y和和xy；2.代入三维弹性力学平衡方程可解出两个横向代入三维弹性力学平衡方程可解出两个横向剪应力剪应力xz和和yz;3.应力分量沿厚度方向积分得应力分量沿厚度方向积分得 x 和和 y 两个方向两个方向横截面上的弯矩、扭矩和剪力；横截面上的弯矩、扭矩和剪力；薄板内力计算过程：薄板内力计算过程：第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析薄板内力计算公式薄板内力计算公式薄板内力计算公式：薄板内力计算公式：图图9.2.1 薄板截面上的内力薄板截面上的内力其中其中:

9、第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析第二篇第二篇 连续系统的线性振动连续系统的线性振动薄板的边界条件，以薄板的边界条件，以x=0边为例边为例:简支边：简支边：固支固支边边：自由自由边边：弯矩和等效剪力的边界条件写成：弯矩和等效剪力的边界条件写成：第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析运动微分方程运动微分方程薄板横向振动时的动能和弯曲变形的势能薄板横向振动时的动能和弯曲变形的势能:其中其中h为单位面积上的质量。为单位面积上的质量。假设板上表面受法向荷载假设板上表面受法向荷载 q(x,y,t)的作用，根的作用，根据哈密顿原理可以得到以下

10、的运动微分方程据哈密顿原理可以得到以下的运动微分方程:第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析9.2.1 矩形板的自由振动矩形板的自由振动 9.2.1 矩形板的自由振动矩形板的自由振动 令令q(x,y,t)=0，设解，设解w(x,y,t)=W(x,y)cos(t)，有，有 或或 式中，式中，2为拉普拉斯算子。为拉普拉斯算子。分离变量法求解，设：分离变量法求解，设：第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析分离变量求解分离变量求解如果如果满满足条件：足条件：即即:则则:Y(y)由由y方向两条边的边界条件求出。方向两条边的边界条件求出。一般情况

11、下，上面的方程不能进行变量分一般情况下，上面的方程不能进行变量分离，只有满足一定的条件才可以。离，只有满足一定的条件才可以。第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析变量分离的条件变量分离的条件 类似地，另一个平行的能够使变量分离的条件是：类似地，另一个平行的能够使变量分离的条件是：下列两种边界，矩形板才能够采用分离变量法求解：下列两种边界，矩形板才能够采用分离变量法求解：(1)X=0,a 两端简支时，取：两端简支时，取：(2)y=0,b 两端简支时，取：两端简支时，取：第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析四边简支矩形板四边简支矩形板四

12、边简支矩形板，设解：四边简支矩形板，设解：满足下列简支边的所有边界条件：满足下列简支边的所有边界条件：代入自由振动的运动微分方程得：代入自由振动的运动微分方程得：第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析四边简支矩形板动挠度四边简支矩形板动挠度由振型函数的正交性可得：由振型函数的正交性可得：即：即：相应的振型函数：相应的振型函数：板作弯曲振动时的动挠度可按振型函数展开为：板作弯曲振动时的动挠度可按振型函数展开为：Ymn(t)为广义坐标，自由振动时由初始条件确定，为广义坐标，自由振动时由初始条件确定，受迫振动时由外荷载确定。受迫振动时由外荷载确定。第第9章章 弹性系统的

13、二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析对边简支，另对边任意支承板对边简支，另对边任意支承板x=0,a两端简支两端简支,y=0,b两端任意支承矩形板，设解：两端任意支承矩形板，设解：代入自由振动的运动微分方程得：代入自由振动的运动微分方程得：时，上式的解为：时，上式的解为：式中，式中，m和和m为特征值，由为特征值，由y=0,b两端的边界条件确定。两端的边界条件确定。第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析例例例例9.2.1 三边简支，三边简支，y=0,b 固支的矩形板，求固支的矩形板，求自由振动的频率方程。自由振动的频率方程。根据下列边界条件根据下列边界条件:

14、得频率方程得频率方程:即即:第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析例例9.2.1(续续)根据边界条件类似可得频率方程根据边界条件类似可得频率方程:用牛顿法或其它数值方法解频率方程，可得对应于用牛顿法或其它数值方法解频率方程，可得对应于每个每个m的一系列频率参数值的一系列频率参数值k。第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析9.2.2 矩形板的受迫振动矩形板的受迫振动 9.2.2 矩形板的受迫振动矩形板的受迫振动 受迫振动的运动方程受迫振动的运动方程:满足边界条件的固有振型函数满足满足边界条件的固有振型函数满足:归一化振型函数的正交性条件

15、归一化振型函数的正交性条件:设设解：解：代入运动方程得代入运动方程得:第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析受迫振动解答受迫振动解答两边同乘以两边同乘以Ws(x,y),在板面内积分，由正交条件得在板面内积分，由正交条件得:等效激振力等效激振力:模态坐标的初始条件及其通解模态坐标的初始条件及其通解:截面的动弯矩和动剪力截面的动弯矩和动剪力:第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析例例例例9.2.2 四边简支矩形板在四边简支矩形板在(x0,y0)处受集中力处受集中力:假设板的初位移和初速度均为零，求板的动位移，假设板的初位移和初速度均为零，

16、求板的动位移，并求板中心位置处的弯矩。并求板中心位置处的弯矩。解：归一化后板的振型函数为解：归一化后板的振型函数为 设解设解:等效激振力等效激振力:式中，式中，M=Aab 为薄板的总质量。为薄板的总质量。第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析例（续例（续1）由方程由方程:解出解出Ymn(t)，得最后解答：，得最后解答：其中：其中：板的中心处在两个方向上截面的动弯矩分别为：板的中心处在两个方向上截面的动弯矩分别为：第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析单位脉冲响应函数单位脉冲响应函数若所受的集中力为单位脉冲：若所受的集中力为单位脉冲：则

17、有：则有：求出的动响应称为单位脉冲响应函数：求出的动响应称为单位脉冲响应函数：容易容易发现发现，脉冲响，脉冲响应应函数函数满满足关系：足关系：这这就是位移互等定理。就是位移互等定理。第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析9.2.3 圆板的自由振动圆板的自由振动9.2.3 圆板的自由振动圆板的自由振动圆板自由振动方程：圆板自由振动方程：根据分离变量法，设解：根据分离变量法，设解：可以得到下列两组方程，其中可以得到下列两组方程，其中为特征值：为特征值：由由方向的周期性条件知：方向的周期性条件知：第一个方程变为：第一个方程变为：第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹

18、性系统的二维和三维振动分析圆板的解圆板的解（1）k2前取正号时，为实宗量贝塞尔方程，其解为：前取正号时，为实宗量贝塞尔方程，其解为：（2）k2前取负号时，为虚宗量贝塞尔方程，其解为：前取负号时，为虚宗量贝塞尔方程，其解为：Jn(kr)和和Nn(kr)分别为第一类和第二类贝塞尔函数。分别为第一类和第二类贝塞尔函数。In(kr)和和Kn(kr)为修正的第一类和第二类贝塞尔函数。为修正的第一类和第二类贝塞尔函数。第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析频率方程频率方程一般解为：一般解为：当当r0时时，Nn(kr)和和Kn(kr)都趋于无穷，都趋于无穷，故有：故有：于是得最

19、终的解答于是得最终的解答：根据边界条件来建立频率方程。当圆板周边固定时：根据边界条件来建立频率方程。当圆板周边固定时：频率方程为：频率方程为：第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析第二篇第二篇 连续系统的线性振动连续系统的线性振动周边简支时，边界条件为：周边简支时，边界条件为：周边自由时，边界条件为：周边自由时，边界条件为：其中弯矩其中弯矩Mr和等效剪力和等效剪力 Vr分别为：分别为：对于几种常见边界条件下圆板频率方程的零点，对于几种常见边界条件下圆板频率方程的零点，表给出了前几阶振型所对应的表给出了前几阶振型所对应的ka值。值。第第9章章 弹性系统的二维和三维振

20、动分析弹性系统的二维和三维振动分析表表9.2.1 几种边界条件下圆板频率方程零点几种边界条件下圆板频率方程零点边边界条件界条件Sn=0n=1n=2n=3n=4n=5周周边边固定固定03.1962 4.6109 5.9057 7.1435 8.3466 9.525716.3064 7.7993 9.1969 10.537 11.837 13.10729.3495 10.958 12.402 13.795 15.150 16.475312.577 14.109 15.580 17.005 18.396 19.759周周边简边简支支02.2215 3.7280 5.0160 6.3212 7.539

21、3 8.729415.4516 6.9627 8.3736 9.7236 11.032 12.30928.611410.138 11.589 12.987 14.348 15.677311.76113.297 14.772 16.201 17.596 18.961周周边边自由自由00.0000 0.0000 2.3148 3.5269 4.6728 5.787513.0005 4.5248 5.9380 7.2806 8.5757 9.836426.2002 7.7337 9.1851 10.580 11.934 13.25739.3675 10.907 12.382 13.809表表9.2.

22、1 几种边界条件下圆板频率方程零点的几种边界条件下圆板频率方程零点的ka(=0.3)第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析第二篇第二篇 连续系统的线性振动连续系统的线性振动 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析第二篇第二篇 连续系统的线性振动连续系统的线性振动 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析第二篇第二篇 连续系统的线性振动连续系统的线性振动 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析第二篇第二篇 连续系统的线性振动连续系统的线性振动 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析图图9.5.1 叠层板与坐标系叠层板与坐标系第二篇第二篇 连续系统的线性振动连续系统的线性振动 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析第二篇第二篇 连续系统的线性振动连续系统的线性振动 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析第二篇第二篇 连续系统的线性振动连续系统的线性振动 第第9章章 弹性系统的二维和三维振动分析弹性系统的二维和三维振动分析第二篇第二篇 连续系统的线性振动连续系统的线性振动